第08讲 二次函数与幂函数（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第08讲 二次函数与幂函数 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数，，，，的图象，了解它们的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义，图象及性质． 4．能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题． 1．幂函数 （1）定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1． （2）五种幂函数的图象 （3）性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． （2）二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 常用结论 1．幂函数的图象和性质 （1）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性． （2）幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． （3）当α>0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数． 2．一元二次不等式恒成立的条件 （1）ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 （2）ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 一、幂函数的图象及性质 例1．（1）幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是（ ） A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 （2）幂函数f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于 A．3 B．4 C．5 D．6 （3）若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c （4）若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为 A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 规律方法： 幂函数的性质与图象特征的关系 （1）幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． （2）判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． （3）若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0． 二、二次函数的解析式 例2．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 规律方法： 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下： 变式训练： 1．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R.都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为 ． 2．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(－，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是 ． 三、二次函数的图象与性质 角度一：二次函数的图象 例3．已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是 角度二：二次函数的单调性 例4．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a的取值范围是 ． 【迁移探究】若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，求a为何值？ 角度三：二次函数的最值问题 例5．设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． 角度四：二次函数中的恒成立问题 例6．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围为 ． 反思提升： 解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点 （1）抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论． （2）要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)． （3）由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 变式训练： 1．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为 A．{0，－3} B．[－3，0] C．(－∞，－3]∪[0，＋∞) D．{0，3} 2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]． （1）当a＝－2时，求f(x)的最值； （2）求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数． 四、分类讨论思想在二次函数问题中的应用 例7．已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值． 思维升华： 二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x＝－为其最值点的横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况的最值，建立方程求解参数． 变式训练： 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值． 1．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为（ ） A．－1 B．0 C．1 D．－2 2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） 3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则（ ） A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 4．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为（ ） A．－3 B．1 C．2 D．1或2 6．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为 ． 7．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是 ． 8．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是 ． 9．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3． （1）当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； （2）若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． 10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1． （1）求f(x)的解析式； （2）当∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围． 1．定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ） A．(－∞，－2] B．[2，＋∞) C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是（ ） A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．(－∞，0] D．[0，＋∞) 3．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b，其中正确的是（ ） A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 4．（多选）已知幂函数，则下列结论正确的有（ ） A． B．的定义域是 C．是偶函数 D．不等式（2）的解集是，， 5．（多选）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 6．（多选）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，，且（a）（b）的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ） A．， B．， C．， D．， 7．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为 ． 8．若幂函数的图象不经过坐标轴，则实数的值为 ． 9．已知幂函数过点，若，则实数的取值范围 ． 10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)． （1）若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值； （2）若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围． 11．已知幂函数，且(2)(3)． （1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式； （2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数，使函数，在区间，上的最大值为5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第08讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）C；（2）C；（3）D；（4）D 例2．二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7． 变式训练：1．f(x)＝x2－2x＋3 2．f(x)＝－4x2－12x＋40 例3．D 例4．[－3，0] 迁移探究：a＝－3 例5．f(x)min＝ 例6． 变式训练：1．A 2．解：（1）当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]， 所以f(x)在[－4，2]上单调递减，在(2，6]上单调递增， 所以f(x)的最小值是f(2)＝－1， 又f(－4)＝35，f(6)＝15， 故f(x)的最大值是35． （2）由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． 例7．f(x)min＝ 变式训练：a的值为或－3． 1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．y＝x2－2x＋3 7．(0，1] 8．[0，4] 9．解：（1）当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 对称轴x＝－∈[－2，3]， 所以f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， 所以函数f(x)的值域为， （2）对称轴为x＝－， ①当－≤1，即a≥－时， f(x)max＝f(3)＝6a＋3， 所以6a＋3＝1，即a＝－满足题意； ②当－>1，即a<－时， f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， 所以－2a－1＝1， 即a＝－1满足题意． 综上可知，a＝－或－1． 10．解：（1）设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x， 所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1， 因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1， （2）因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方， 所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立； 即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立． 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－， 因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1， 所以m<－1，故实数m的取值范围为(－∞，－1)． 1．B 2．B 3．B 4．ACD 5．AC 6．BC 7．1 8．1或2 9．(2，6) 10．解：（1）由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2， 所以f(x)＝(x＋1)2，所以F(x)＝所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8． （2）由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立， 即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立． 又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0，故b的取值范围是[－2，0]． 11．解：（1）（2）（3）， 幂函数在上单调递增， ，，，，． （2）， 开口方向向下，对称轴， 当时，在区间，上递增，在区间，上递减． ，，均不符合题意舍去， 当时，在区间，上递增，（1）， ，符合题意，综上，． $$