16.3乘法公式（第二课时）（思维导图+知识点+习题精练）2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.3乘法公式 一、题型分类 （1）运用完全平方公式进行计算 （2）通过对完全平方公式变形求值 （3）完全平方公式在几何图形中的应用 （4）求完全平方式中的字母系数 （5）整式的混合运算 二、分类练习 一、单选题 1．已知一个正方形的面积为，则该正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 2．计算下列各式，其结果是的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（ ） A． B． C． D． 4．若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，在一个周长为50的长方形中，摆放两个面积和为130的正方形，得到三个小长方形，其中重叠部分为长方形，另外两个小长方形的面积分别为，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 6．如图，在大长方形中放入张相同的小长方形，其中小长形的长为，宽为，且，，三点在同一条直线上．若大长方形的周长为，阴影部分的面积为，则一张小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．若是完全平方公式，则m的值为（  ） A． B． C． D．3 8．二次三项式是一个完全平方公式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 9．若是完全平方式，则m的值是（    ） A．11 B．7或 C．11或 D．7或 10．观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题 11．若，则 ． 12．若，则的值为 ． 13．若，，则的值为 ． 14．四张正方形纸片如图放置，使得三点共线．设正方形，正方形的面积分别为． （1）若，则阴影部分的面积 ． （2）若阴影部分的面积与的面积差为5，则 ． 15．已知，，则的值为 ． 16．若，则 ． 17．设，其中，当时，求 ． 三、解答题 18．先化简，再求值：，其中． 19．先化简，再求值：，其中，． 20．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 21．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②：； 公式③：； 公式④：． 图1对应公式___________，图2对应公式___________，图3对应公式___________，图4对应公式___________． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值； (3)两块完全相同的特制直角三角板如图5所示放置，其中，在同一直线上．连接，若，求一块特制直角三角板的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】正方形的面积等于边长的平方，因此将给定的面积表达式分解为完全平方形式即可得到边长．此题考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该正方形的边长为． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式的应用，需对各选项展开后比较结果是否为，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不符合题意；     B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项符合题意；     D. ，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，已知和，要求的值，利用完全平方公式的变形关系，结合已知条件直接计算． 【详解】解：， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键， 利用完全平方公式展开已知等式，联立相加直接求解． 【详解】∴ 和 ， ∴，， 将两式相加：， ， 两边同时除以2，得： 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键． 设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有，则，，根据长方形的周长为50，可得；，，可得，再由，可求得的值． 【详解】解：如图，设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有， ∵， ∴， ∴， ∵长方形的周长为50， ∴，即：，整理得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为2． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的变形求值，先求出大长方形的长，大长方形的宽，由大长方形的周长等于，得，再根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积得，最后通过变形得出小长方形的面积，即的值，从而求出结果，解题的关键是通过观察图形特点并结合已知条件列出代数式，运用完全平方公式求解． 【详解】解：由题意知，大长方形的长，大长方形的宽， ∴大长方形的周长， 化简得， ∵阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ∴，化简得，， ∵， ∴，即， 把代入得，， 解得， ∴一张小长方形的面积， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏解．根据完全平方公式的形式，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的结构特征是解题的关键，根据完全平方式的结构特征得出，进行求解即可． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方公式， ， ， 解得：或． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．完全平方公式：，这里首末两项是和8这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和8积的2倍，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴在中，， 解得：或． 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故选：B． 11． 【分析】本题考查了完全平方公式． 直接根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，利用整体思想解题是关键．根据完全平方公式将变形为，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为： 13．6 【分析】将利用完全平方公式展开，再将，代入计算即可。本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：6． 14． 20 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，数形结合． （1）用正方形和三角形面积之和减去三角形的面积即可得出阴影部分的面积； （2）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的边长为，得出，，根据阴影部分的面积与的面积差为5，得出，根据，整体代入求出结果即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的边长为， ∴， ∴ ， ， ∵阴影部分的面积与的面积差为5， ∴， 整理得：， ∴ ． 故答案为：20． 15．6 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式，掌握完全平方公式的常用变形是解此题的关键． 利用完全平方公式的变形得到，再代入求解即可． 【详解】解：∵ 当时，原式， 故答案为：6． 16． 【分析】本题考查整式乘法，熟记完全平方公式是解题的关键．由已知可得，进而得出，即可求出答案． 【详解】解：由已知可得， 所以， ， 所以，， 故答案为：． 17．12 【分析】本题考查了完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由，可得，，，，结合以及式子，可计算出其值． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则 故答案为：12． 18． 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，先根据完全平方公式，单项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项得出最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19．；12 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，括号内先根据完全平方公式、平方差公式去括号，再合并同类项，然后计算除法即可化简，最后代入、的值即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： 当，时，原式． 20．(1)2 (2)7或 (3)80 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键． （1）由得，即可代值求解； （2）由题意得或，即可求解； （3）由，据此即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， ∴或． 解得或． 所以的值为7或． （3）解：∵， 而， ， ∴． ∴． 21．(1)②，①，③，④ (2)， (3)27 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，多项式乘以多项式的图形问题， 对于（1），根据长方形的面积等于三个小长方形的面积和解答①；根据大长方形的面积等于四个小长方形的面积和解答②；根据大正方形的面积等于两个相等的长方形的面积加上两个小正方形的面积和解答③；最后根据中等正方形的面积等于大正方形的面积加上小正方形的面积减去两个长方形的面积解答④； 对于（2），根据解答，再根据解答即可； 对于（3），设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，由题意可得：，再根据求出，则此题可解． 【详解】（1）解：②①③④； （2）解：由（1）可知：； . ∵， ， ； ∵， ， ； （3）解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， 即一块特制直角三角板的面积为27． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$