第10讲 单调性与最值-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第10讲 单调性与最大(小)值 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、函数的最大值、函数的最小值. 2.理解单调区间、单调性等概念,会用定义证明函数的单调性. 3.理解函数单调性的作用与实际意义,会求函数的单调区间,并判断单调性. 4.理解函数的最大(小)值的作用和实际意义,会借助单调性求函数的最大(小)值. 一、增函数与减函数的定义 增函数 减函数 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间　      如果　     ,当x1<x2时,都有 　      　      结论 那么就称函数f(x)在区间D上　       那么就称函数f(x)在区间D上　      图示     图象 特征 函数f(x)在区间D上的图象是上升的 函数f(x)在区间D上的图象是下降的 特别地,当函数y=f(x)在它的定义域上　     或　     时,我们就称它是　     或　     . 如果函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的) 　     ,区间D叫做y=f(x)的　     . 二、函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:∀x∈I,都有  　       　      ∃x0∈I,使得 　       结论 那么,称M是函数y=f(x)的最大值 那么,称M是函数y=f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的 　      f(x)图象上最低点的 　      概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线. 请根据曲线图回答1~3题. 1．该天的最高气温为25 ℃,最低气温为-5 ℃. (　 　) 2．该天气温在6时至17时内随着时间增加而增加. (　 　) 3．该天的温差是20 ℃. (     　) 4．函数f(x)取最大值时,对应的x可能有无限多个. (　 　) 5．若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数. (     　) 6．若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f(b)． (　 　) 类型一　单调性的概念及其应用 例1．若函数f(x)在[a,b]上是增函数,则对任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论不正确的是 (　　) A．>0 B．(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．>0 例2．下列说法正确的是(　　) A．定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),且x1<x2,满足f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)上单调递增 B．定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时,有f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)上单调 递增 C．若f(x)在区间I1上单调递增,在区间I2上也单调递增,那么f(x)在I1∪I2上也一定单调递增 D．若f(x)在区间I上单调递增且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),则x1<x2 例3．已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是(　　) 例4．已知函数y=f(x)(x∈[-2,6])的图象如图所示．根据图象写出y=f(x)的单调递减区间为　　　　．  类型二 单调性的判定与证明 例5．函数y=的单调递减区间是(　　) A．[0,+∞) B．(-∞,0] C．(-∞,0)和(0,+∞) D．(-∞,0)∪(0,+∞) 例6．函数y=|x+2|在区间[-3,0]上(　　) A．递减 B．递增 C．先递减后递增 D．先递增后递减 例7．下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0”的是　　　　．(填序号)  ①f(x)=-;②f(x)=-3x+1;③f(x)=x2+4x+3;④f(x)=x-． 例8．已知函数f(x)=． (1)求f(f(3))的值; (2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义法证明; (3)确定x的取值范围,使得函数f(x)=的图象在x轴上方(写出结论即可)． 1．下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是(　　)　 A．f(x)=3-x B．f(x)=x2-3x C．f(x)=- D．f(x)=-|x| 2．函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为(　　) A．[3,+∞) B．(-∞,2),(4,+∞) C．(2,3),(4,+∞) D．(-∞,2],[3,4] 3．函数y=的单调递减区间为(　　) A． B． C．[0,+∞) D．(-∞,-3] 4．已知函数f(x)=,则f(2-x)的单调递增区间为(　　) A． B． C． D． 5．(多选)定义[x]为不大于x的最大整数,对于函数f(x)=x-[x]有以下四个结论,其中正确的是(　　) A．f (2019．67)=0．67 B．在每一个区间[k,k+1)(k∈Z)上,函数f(x)都是增函数 C．f < f D．y=f(x)的定义域是R,值域是[0,1) 类型三　单调性的综合应用 例9．已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是(　　) A．f(4)>f(-π)>f(3) B．f(π)>f(4)>f(3) C．f(4)>f(3)>f(π) D．f(-3)>f(-π)>f(-4) 例10．已知f(x)=是定义在R上的减函数,那么a的取值范围是(　　) A． B． C． D．∪ 例11．(1)若f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[3,+∞),则a的值是　　　　;  (2)若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　．  例12．函数y=f(x)在(-2,2)上为增函数,且f(2m)>f(-m+1),则实数m的取值范围是　　　　．  例13．已知函数f(x)=x2-2x-3． (1)设集合A={x|f(x)>0},B={x|f(x)=0},C={x|f(x)<0},分别指出2,3,4是A,B,C中哪个集合的元素; (2)若∃a∈R,∀x1,x2∈[a,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),求实数a的取值范围． 例14．已知f(x)=(x≠a)． (1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)上单调递增; (2)若a>0,且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求实数a的取值范围． 例15．若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f =f(x)-f(y)． (1)求f(1)的值; (2)若f(6)=1,求不等式f(x+3)-f(2)<1的解集． 例16．已知函数f(x)=(a≠1)． (1)若a>0,求函数f(x)的定义域; (2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数a的取值范围． 1．函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(-2,+∞) D．(-∞,-1)∪(1,+∞) 2．函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数,则a的取值范围为(　　) A．0<a≤ B．0≤a≤ C．0<a< D．a> 3．设函数f(x)=是定义在R上的增函数,则实数a的取值范围是(　　) A．[2,+∞) B．[0,3] C．[2,3] D．[2,4] 4．函数f(x)的定义域为D,若对任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D上为非减函数．设f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足:①f(0)=0;②f=f(x);③f(x)+f(1-x)=1．则f=　　　　, f=　　　　．  1．已知函数f(x)=2x+． (1)若a=-2,求满足f(x)=0的x的集合; (2)若a=4,求证:f(x)在(2,+∞)上单调递增． 2．定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1,当x>1时,f(x)<0． (1)求f(1)的值; (2)判断函数f(x)的单调性; (3)解关于x的不等式f(x)+f(x-2)>-1． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第10讲 适用学科 适用年级 新高一 一．增函数与减函数的定义 增函数 减函数 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间①    D⊆I     如果②    ∀x1,x2∈D    ,当x1<x2时,都有 ③    f(x1)<f(x2)     ⑤    f(x1)>f(x2)     结论 那么就称函数f(x)在区间D上④　单调递增     那么就称函数f(x)在区间D上⑥　单调递减     图示     图象 特征 函数f(x)在区间D上的图象是上升的 函数f(x)在区间D上的图象是下降的 特别地,当函数y=f(x)在它的定义域上⑦　单调递增    或⑧　单调递减    时,我们就称它是⑨　增函数    或⑩　减函数    .如果函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的) 　单调性    ,区间D叫做y=f(x)的 　单调区间    . 二．函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:∀x∈I,都有      f(x)≤M          f(x)≥M     ∃x0∈I,使得     f(x0)=M     结论 那么,称M是函数y=f(x)的最大值 那么,称M是函数y=f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的 　纵坐标      f(x)图象上最低点的 　纵坐标      概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1.  (　√　) 2..(　√　) 3. (    ✕　) 4. (　√　) 5(    ✕　) 6..(　√　) 类型一　单调性的概念及其应用 例1 C 例2 D 例3 B 例4 [-1,2] 类型二　单调性的判定与证明 例5 C 例6 C 例7 ①③④ 例8 解析　(1)因为f(3)==, 所以f(f(3))=f==3. (2)函数f(x)在(1,+∞)上单调递减. 证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=- ==, 由x1,x2∈(1,+∞),得(x1-1)(x2-1)>0, 由x1<x2,得x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).由单调性的定义可知,f(x)=在(1,+∞)上单调递减. (3)作出函数f(x)=的图象,如图所示,由图象知,当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)=的图象在x轴上方. 1 C 2 C 3 D 4 D 5 ABD 类型三　单调性的综合应用 例9 D 例10 C 例11 (1)-1　(2) 例12 例13解析　(1)由f(x)=x2-2x-3,得f(2)=22-2×2-3=-3<0,∴2∈C;f(3)=32-2×3-3=0,∴3∈B; f(4)=42-2×4-3=5>0,∴4∈A.故2∈C,3∈B,4∈A. (2)∵f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴f(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.由∃a∈R,∀x1,x2∈[a,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),得函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,∴[a,+∞)⊆[1,+∞),因此a≥1,即a的取值范围是{a|a≥1}. 例14解析　(1)证明:由题意知f(x)=. 任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=- =. ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=. ∵a>0,x2-x1>0, 又f(x)在(1,+∞)上单调递减, ∴(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立, ∴a≤1,∴实数a的取值范围为(0,1]. 例15解析　(1)在f=f(x)-f(y)中,令x=y=1,则有f(1)=f(1)-f(1)=0,∴f(1)=0. (2)∵f(6)=1,∴f(x+3)-f(2)<1=f(6),∴f<f(6). ∵f(x)是(0,+∞)上的增函数, ∴解得-3<x<9. 故不等式的解集为{x|-3<x<9}. 例16解析　(1)当a>0且a≠1时,由3-ax≥0得x≤,即函数f(x)的定义域为. (2)当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1<a≤3. 当a-1<0,即a<1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,且3-a×0≥0,此时a<0. 综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 1 B 2 B 3 D 4 ; 1解析　(1)当a=-2时,f(x)=2x-,则f(x)=2x-=0,解得x=±1,所以满足f(x)=0的x的集合为{-1,1}. (2)证明:当a=4时,f(x)=2x+, 任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=2x1+- =2(x1-x2)+4 =2(x1-x2)+4· =2(x1-x2), ∵2<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>4,∴0<<,∴0<<,∴1->0, ∴f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(2,+∞)上单调递增. 2解析　(1)令x=y=1,则f(1)=2f(1),可得f(1)=0. (2)取y=,则f(x)+f(y)=f(x)+f=f=f(1)=0,∴f=-f(x), 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2, 则f=f=f(x1)+f=f(x1)-f(x2), ∵x1>x2>0,∴>1,则f(x1)-f(x2)=f<0,即f(x1)<f(x2). 因此函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. (3)由(2)知,f(3)=-f=-1. 由f(x)+f(x-2)>-1,可得f(x(x-2))>f(3),即f(x2-2x)>f(3). 由(2)知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,则解得2<x<3. 因此不等式f(x)+f(x-2)>-1的解集为(2,3). $$