第08讲 二次函数-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第08讲 二次函数 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数,了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系． 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 一． 一元二次不等式及其解集 一元二次不等式 只含有一个　     ,并且未知数的最高次数是　 的不等式,称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数, 　     ) 不等式的解 能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解 不等式的解集 不等式所有解的　     称为解集 二．“三个二次”的关系 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表所示． Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象     ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个　     的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个　     的 实数根x1=x2=-  　       ax2+bx+c>0(a>0)的解集 　      　      　      ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}          ⌀          ⌀     三．二次函数的零点 对于二次函数y=ax2+bx+c,把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的　      ,即二次函数y=ax2+bx+c的　      ⇔方程ax2+bx+c=0的实数解⇔函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的　     ． 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1．mx2+5x<0是一元二次不等式． (     　) 2．若不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2},则必有a>0． 　　　 (　 　) 3．函数y=ax2+bx+c的零点就是函数图象与x轴的交点． (     　) 4．若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<x1,或x>x2},则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2． (　 　) 5．若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R． (     　) 类型一　一元二次不等式的解法 例1．不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　　) A．{x|-6≤x≤1} B．{x|2≤x≤3} C．{x|x≥3或x≤2} D．{x|x≥1或x≤-6} 例2．已知集合M={0,1,2,3,4},N={x|(x-2)(x-5)<0},则M∩N=(　　) A．{3,4} B．{2,3,4,5} C．{2,3,4} D．{3,4,5} 例3．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|0<x≤2} C．{x|x<0或x≥2} D．{x|x<0或x>2} 例4．不等式>1的解集为　　　　．  例5．设集合A={x|x2-x-6>0},B={x|-4<3x-7<8}． (1)求A∪B,A∩B; (2)已知集合C={x|a<x<2a+1},若C⊆B,求实数a的取值范围． 类型二 含有参数的一元二次不等式的解法 例6．已知关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x<-1},则关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集是(　　) A．{x|1<x<2} B．{x|-1<x<2} C．{x|x<-1或x>2} D．{x|x>2} 例7．若0<t<1,则关于x的不等式(t-x)>0的解集是(　　) A． B． C． D． 例8．已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是(　　) A．{x|x<5a或x>-a} B．{x|x>5a或x<-a} C．{x|-a<x<5a} D．{x|5a<x<-a} 例9．已知不等式x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0的解集为集合A,集合B={x|-2<x<2}． (1)若a=2,求A∪B; (2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围． 类型三　三个“二次”之间的关系 例10．已知不等式x2+ax+b≤0的解集为{x|2≤x≤3},则a+b=(　　) A．-1 B．1 C．-2 D．2 例11．若y=-x2+mx-1的函数值有正值,则m的取值范围是(　　) A．m<-2或m>2 B．-2<m<2 C．m≠±2 D．1<m<3 例12．不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x<-2或x>3},则m,n的值分别是(　　) A．2,12 B．2,-2 C．2,-12 D．-2,-12 例13．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则y>0的解集为(　　) A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 例14．若集合A={x|x2-ax+2<0}=⌀,则实数a的取值范围是　　　　．  例15．若二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的图象与x轴的两个交点分别为(x1,0),(x2,0),且x1,x2都大于1． (1)求实数k的取值范围; (2)若=,求k的值． 1．已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D．{a|a≠2} 2．(多选)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则能使不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax成立的x可以为(　　) A．{x|0<x<3} B．{x|x<0} C．{x|x>3} D．{x|x<-2或x>1} 3．已知函数y=x2-x+m． (1)当m=-2时,求不等式y>0的解集; (2)若m>0,y<0的解集为{x|a<x<b},求+的最小值． 类型四　一元二次不等式的实际应用 例16．将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围应是(　　) A．90<a<100 B．90<a<110 C．100<a<110 D．80<a<100 例17．某商家一月份至五月份的累计销售额达3860万元,预测六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增长x%,八月份的销售额比七月份增长x%,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等．若一月份至十月份的销售总额至少达7000万元,则x的最小值是　　　　．  例18．现要规划一块长方形绿地,且长方形绿地的长与宽的差为30米．若使长方形绿地的面积不小于4000平方米,则这块绿地的长与宽至少应为多少米? 例19．一个小型服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元． (1)该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1 300元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元? 1．已知不等式-2x2+bx+c>0的解集是{x|-1<x<3},若对于任意x∈{x|-1≤x≤0},不等式-2x2+bx+c+t≤4恒成立,则t的取值范围是(　　) A．{t|t≤2} B．{t|t≤-2} C．{t|t≤-4} D．{t|t≤4} 2．若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解,则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤-2} B．{a|a≥-2} C．{a|a≥-6} D．{a|a≤-6} 3．若kx2-6kx+(k+8)≥0(k为常数)对一切x∈R恒成立,则k的取值范围是(　　) A．0≤k≤1 B．0<k<1 C．0<k≤1 D．k<0或k>1 4．若不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为　　　　．  5．设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1<x<4}． (1)求m和n的值; (2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求a的取值范围． 1．已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M． (1)当M为空集时,求m的取值范围; (2)在(1)的条件下,求的最小值; (3)当M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围． 2．已知关于x的不等式2kx2+kx-<0． (1)若不等式的解集为,求实数k的值; (2)若不等式2kx2+kx-<0恒成立,求实数k的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第08讲 适用学科 适用年级 新高一 一． 一元二次不等式及其解集 一元二次不等式 只含有一个①　未知数    ,并且未知数的最高次数是②　2    的不等式,称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,③    a≠0    ) 不等式的解 能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解 不等式的解集 不等式所有解的④　集合    称为解集 二．“三个二次”的关系 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表所示. Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象       ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个⑤　不相等     的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个⑥　相等    的 实数根x1=x2=-  ⑦　没有实数根     ax2+bx+c>0(a>0)的解 集 ⑧　{x|x<x1,或x>x2}     ⑨          ⑩    R     ax2+bx+c<0(a>0)的解 集  　{x|x1<x<x2}          ⌀          ⌀     三．二次函数的零点 对于二次函数y=ax2+bx+c,把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的 　零点    ,即二次函数y=ax2+bx+c的 　零点    ⇔方程ax2+bx+c=0的实数解⇔函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的 　横坐标    . 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1 (    ✕　) 2.  (　√　) 3.  (    ✕　) 4. (　√　) 5.  (    ✕　) 类型一　一元二次不等式的解法 例1 A 例2 A 例3 B 例4{x|1<x<2} 例5 (1)A∪B={x|x<-2或x>3}∪{x|1<x<5}={x|x<-2或x>1}, A∩B={x|x<-2或x>3}∩{x|1<x<5} ={x|3<x<5}. (2)①当C=⌀时,a≥2a+1,解得a≤-1,满足C⊆B; ②当C≠⌀时,若满足C⊆B,则解得1≤a≤2.由①②可知,满足C⊆B的实数a的取值范围是{a|a≤-1或1≤a≤2}. 类型二 含有参数的一元二次不等式的解法 例6 A 例7 D 例8 A 例9 解析　(1)当a=2时,原不等式可化为x2-5x+6≤0,得(x-3)(x-2)≤0,解得2≤x≤3,所以A={x|2≤x≤3}.又因为B={x|-2<x<2},所以A∪B={x|-2<x≤3}. (2)由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x-a)·(x-a-1)≤0,则A={x|a≤x≤a+1}, 因为A∩B=⌀,所以a+1≤-2或a≥2,即a≤-3或a≥2. 类型三　三个“二次”之间的关系 例10 B 例11 A 例12 D 例13 B 例14-2≤a≤2 例15解析　(1)由题意可知,x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根, ∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1. 又x1>1,x2>1, ∴ 可得k>,且k≠1. ∴实数k的取值范围是kk>且k≠1. (2)由得 ∴x1x2=·=k2+1, 即k2-8k+7=0,解得k1=7,k2=1(舍去). ∴k的值为7. 1 C 2 BC 3 解析　(1)当m=-2时,y=x2-x+m=x2-x-2, 当y>0时,x2-x-2>0. 由x2-x-2=0得x1=-1,x2=2, ∴不等式y>0的解集为{x|x<-1或x>2}. (2)∵y<0的解集为{x|a<x<b}, ∴a,b为方程x2-x+m=0的两个实数根, ∴a+b=1,ab=m. ∵m>0, ∴a>0,b>0, ∴+=(a+b) =++5 ≥5+2=9. 当且仅当a=,b=时,等号成立. 故+的最小值为9. 类型四　一元二次不等式的实际应用 例16 A 例17 20 例18 解析　设长方形绿地的长与宽分别为a米与b米.由题意可得a-b=30①,ab≥4 000②, 由①②可得b2+30b-4 000≥0,即(b+15)2≥4 225, 解得b+15≥65或b+15≤-65(舍去),所以b≥50, 所以b至少为50,则a至少为80, 所以这块绿地的长至少为80米,宽至少为50米. 例19解析　(1)设该厂的月获利为y元,依题意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500. 由y≥1 300知,-2x2+130x-500≥1 300, ∴x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45. ∴当月产量在20件至45件(包括20件和45件)之间时,月获利不少于1 300元. (2)由(1)知y=-2x2+130x-500 =-2+1 612.5. ∵x为正整数,∴当x=32或x=33时,y取得最大值1 612元, ∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润1 612元. 1 B 2 A 3 A 4 {λ|-8≤λ≤4} 5 解析　(1)由题意知x1=1,x2=4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个根, 所以-m=x1+x2=5,n=x1·x2=4, 故m=-5,n=4. (2)由(1)得y=x2-5x+4, 则x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立, 即a≤x+-5对任意x>0恒成立. 又因为x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立), 所以x+-5≥-1,所以a≤-1. 1解析　(1)∵M为空集, ∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0, 解得-1<m<2, ∴实数m的取值范围为{m|-1<m<2}. (2)由(1)知-1<m<2,则0<m+1<3, ∴==(m+1)+≥2=4, 当且仅当m+1=,即m=1时等号成立. ∴的最小值为4. (3)设函数y=x2-2mx+m+2,结合其图象可知, 当M不为空集时,由M⊆{x|1≤x≤4},得 解得2≤m≤. 综上,实数m的取值范围为. 2解析　(1)因为关于x的不等式2kx2+kx-<0的解集为, 所以k≠0,且-和1是关于x的方程2kx2+kx-=0的两个实数根,则-×1=,解得k=. (2)因为关于x的不等式2kx2+kx-<0恒成立,所以k=0或 即k=0或-3<k<0, 故实数k的取值范围为{k|-3<k≤0}. $$