第07讲 基本不等式-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第07讲 基本不等式 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．掌握基本不等式≤ (a,b>0)． 2．掌握基本不等式及其变形的应用,能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小． 3．能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题,能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 一．两个重要不等式 不等式 等号成立的条件 注意 a2+b2≥　     当且仅当　    时,等号成立 a,b可以是任意实数 ≤ 　     当且仅当　    时,等号成立 a,b只能是正数 二．基本不等式与最值  1．已知x,y是正数,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,为　    ． 2．已知x,y是正数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,为　    ． 上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大． 3．运用以上结论求最值要注意下列三个条件: ①一正:要求各数均为　    ; ②二定:要求和或积为　    ; ③三相等:要保证具备　    成立的条件． 三．基本不等式链 设a>0,b>0,则有 ≤≤≤ (当且仅当a=b时取等号)． 其中为调和平均数, 为几何平均数, 为算术平均数, 为平方平均数． 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1．当a,b同号时, +≥2． (　 　) 2．函数y=x+的最小值为2． (     　) 3．6和8的几何平均数为2． (     　) 4．当a,b,c∈R时,a2+b2+c2≥ab+bc+ca． (　 　) 5．不等式a2+b2≥2ab与≤有相同的适用范围． (     　) 6．已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18． (　 　) 类型一　对基本不等式的理解 例1．若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A．a2+b2>2ab B．a+b≥2 C．+> D．+≥2 例2．不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 例3．下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是(　　) A．x+1≥2 B．x2+1>2x C．≤1 D．x+≥2 例4． “a,b为正数”是“a+b>2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 类型二 利用基本不等式比较大小　 例5．已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是(　　) A．a2+b2≥2|ab| B．a2+b2=2|ab| C．a2+b2≤2|ab| D．a2+b2>2|ab| 例6．设0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是(　　) A． B．a2+b2 C．2ab D．a 例7．若0<a<b,则下列不等式一定成立的是(　　) A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 例8．若a>b>c,则与的大小关系是　　　　　　　　　　．  类型三　利用基本不等式求最值 例9．已知函数y=x+(x>1),则函数的最小值等于(　　) A．4 B．4+1 C．5 D．9 例10．若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时,x的值为(　　) A．9 B．8 C．6 D．3 例11．对任意正数x,不等式ax≤x2+1恒成立,则实数a的最大值为(　　) A．1 B． C．2 D． 例12．若a,b都是正数,则的最小值为(　　) A．5 B．7 C．9 D．13 例13．若正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为(　　) A． B． C． D． 例14．设0<x<2,则函数y=的最大值为　　　　．  1．已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B．4 C． D．8 2．设a,b满足2a+3b=6(a>0,b>0),则+的最小值为(　　) A． B． C． D．4 3．(多选)若正数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是(　　) A．ab有最大值 B．+有最小值 　　　C．+有最小值4 D．a2+b2有最小值 4．设正数a,b满足a2+4b2+=4,则a=　　　　,b=　　　　．  5．设正数a,b,c满足a+b≥c,则+的最小值为　　　　．  6．已知a>0,b>0,且a+b=8,则的最大值是　　　　．  7．已知x>y>0,求x2+的最小值． 类型四　利用基本不等式证明不等式 例15．设x>0,求证:x+≥． 例16．已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等．求证:++>a+b+c． 例17．已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:>8． 例18．已知a,b,c为不全相等的正数,且abc=1．求证:++<++． 1．已知a,b为正数,求证:+≥． 2．若a>b,且ab=2,求证:≥4． 3．已知a,b,c均为正数,求证:++≥3． 类型五　利用基本不等式解决实际问题 例19．某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是(　　) A．4.6 m B．4.8 m C．5 m D．5.2 m 例20．为满足人民日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2,绿化带的宽分别为2m和5m(如图所示)．当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为(　　) A．20 m B．50 m C．10 m D．100 m 例21．某公司租地建仓库,每月租地费用与仓库到车站的距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．若在距离车站10km处建仓库,则每月的租地费用和运输费用将分别为2万元和8万元．那么要使每月的两项费用之和最小,仓库应建在离车站　　　　处．  例22．某建筑公司用8000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4000平方米的楼房．经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N*)层,则每平方米的平均建筑费用s=3000+50x(单位:元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=) 1．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,因此这种方法也被称之为“无字证明”．如图所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于点E,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A．≤(a>0,b>0) B．<(a>0,b>0,a≠b) C．≤(a>0,b>0) D．<<(a>0,b>0,a≠b) 2．一批货物随17列火车从A市均以v千米/时的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,每两列火车的间距不得小于千米(火车的长度忽略不计),那么这批货物全部运到B市,最快需要 小时．  3．物联网(Internet of Things,缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络,其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等,具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费为y1(单位:万元),仓库到车站的距离为x(单位:千米),x>0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9千米处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7．2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最少?最少费用是多少? 1． (1)已知a,b,c∈R,求证:++≥(a+b+c); (2)若0<x<1,a>0,b>0,求证:+≥(a+b)2． 2． 2020年1月,在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中,武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施,迅速启动“方舱医院”建设．某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状,高度恒定)改造成方舱医院,假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱,正面用一种复合板隔离,每米造价40元,两侧用砖砌墙,每米造价45元,顶部每平方米造价20元．问: (1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少? (2)为使S达到最大,且实际造价又不超过预算,那么正面复合板应设计为多长? 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第07讲 适用学科 适用年级 新高一 一．两个重要不等式 不等式 等号成立的条件 注意 a2+b2≥ ①　2ab     当且仅当②    a=b    时,等号成 立 a,b可以是任意实数  ≤ ③          当且仅当④    a=b    时,等号成 立 a,b只能是正数 二．基本不等式与最值  1.已知x,y是正数,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,为⑤　2     . 2.已知x,y是正数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,为⑥         .上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大. 3.运用以上结论求最值要注意下列三个条件: ①一正:要求各数均为⑦　正数    ; ②二定:要求和或积为⑧　定值    ; ③三相等:要保证具备⑨　等号    成立的条件. 三．基本不等式链 设a>0,b>0,则有 ≤ ≤ ≤ (当且仅当a=b时取等号).其中 为调和平均数, 为几何平均数, 为算术平均数, 为平方平均数. 1. (　√　) 2. (    ✕　) 3 (    ✕　) 4. (　√　) 5 (    ✕　) 6.(　√　) 类型一　对基本不等式的理解 例1 D 例2 B 例3 C 例4 D 类型二 利用基本不等式比较大小　 例5 A 例6 B 例7 C 例8 　≥ 类型三　利用基本不等式求最值 例9 C 例10 C 例11 C 例12 C 例13 D 例14 4 1 C 2 A 3 AC 4 1; 5- 6 　 7 解析　因为x>y>0,所以x-y>0, 所以0<y(x-y)≤=, 所以x2+ ≥x2+ ≥2=8, 当且仅当即时,等号成立, 故x2+的最小值为8. 类型四　利用基本不等式证明不等式 例15因为x>0,所以x+>0, 所以x+=x+=x++-≥2-=. 当且仅当x+=,即x=时,等号成立.故x>0时,x+≥. 例16证明　∵a>0,b>0,c>0, ∴+≥2=2c, +≥2=2a, +≥2=2b. 当且仅当a=b=c时上式等号均成立, 又a,b,c不全相等, 故上述等号至少有一个不成立. ∴++>a+b+c. 例17 证明　因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1, 所以-1==>,① -1==>,② -1==>,③ 由①×②×③, 得>8. 例18证明　因为a,b,c都是正数,且abc=1,所以+≥2=2, +≥2=2, +≥2=2, 三个不等式左、右两边分别相加,得 2≥2(++), 当且仅当a=b=c时,等号成立. 又因为a,b,c不全相等, 所以++<++. 1证明　因为a>0,b>0, 所以(2a+b)=6++≥6+2=6+4=2(+1)2(当且仅当b=2a时,等号成立). 因为2a+b>0, 所以+≥. 2证明　===(a-b)+≥2=4,当且仅当a=1+,b=-1+或a=1-,b=-1-时等号成立. 所以≥4. 3证明　∵a,b,c均为正数, ∴+≥2(当且仅当a=2b时等号成立), +≥2(当且仅当a=3c时等号成立), +≥2(当且仅当2b=3c时等号成立), 以上三式相加,得+++≥6(当且仅当a=2b=3c时等号成立), ∴+++-1≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立), 即++≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立). 类型五　利用基本不等式解决实际问题 例19 C 例20 B 例21 5 km 例22解析　设楼房每平方米的平均综合费用为y元. 依题意得y=s+=50x++3 000(x≥12,x∈N*). 因为50x++3 000 ≥2×+3 000=5 000, 当且仅当50x=,即x=20时,等号成立, 所以当x=20时,y取得最小值5 000. 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元. 1 D 2 8 3解析　设y1=(k≠0),y2=mx(m≠0),其中x>0. 当x=9时,y1==2,y2=9m=7.2, 解得k=20,m=0.8, 所以y1=,y2=0.8x, 设两项费用之和为z(单位:万元), 则z=y1+y2=+0.8x =+0.8(x+1)-0.8 ≥2-0.8 =7.2. 当且仅当=0.8(x+1),即x=4时,等号成立, 所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最少,最少费用是7.2万元. 1证明　(1)∵≤,∴≥=(a+b)(当且仅当a=b时,等号成立). 同理,≥(b+c)(当且仅当b=c时,等号成立),≥(a+c)(当且仅当a=c时,等号成立). 三式相加得++≥(a+b)+(b+c)+(a+c) =(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立). (2)∵0<x<1,∴1-x>0. 又∵a>0,b>0, ∴左边=(x+1-x)=a2+b2+·b2+·a2≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=(a+b)2=右边当且仅当·b2=·a2,即x=时,等号成立. 故+≥(a+b)2. 2解析　(1)设正面复合板长为x m,侧面长为y m,总造价为z元,则方舱医院的面积 S=xy,总造价z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy. 由条件知z≤188 000,即4x+9y+2xy≤18 800. ∵x>0,y>0, ∴y≤. 令t=9+2x,则x=(t>9), ∴S=xy≤· = =-+9 418 ≤-2+9 418 =-2×3×97+9 418 =8 836, 当且仅当t=,即t=291时等号成立. 故S的最大值为8 836 m2. (2)由(1)知,当S=8 836 m2时,t=291,t=9+2x,∴x=141,则y==. ∴方舱医院的面积S达到最大值8 836 m2,实际造价又不超过预算时,正面复合板的长应设计为141 m. $$