第05讲 全称量词与存在量词-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第05讲 全称量词与存在量词 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词． 2．能用数学符号表示含有量词的命题并能判断命题的真假． 3．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 4．能够根据数学实例,正确理解含有一个量词的命题与它们的否定在真假上的关系,能正确地判断含有一个量词命题的真假． 一．全称量词与全称量词命题 全称量词 全称量词命题 全称量词命题的真假判断 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做　     ,并用符号“　  ”表示 含有全称量词的命题,叫做全称量词命题．全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为　     全真为真,一假为假 二．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在量词命题 存在量词命题的真假判断 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做　    ,并用符号“　   ”表示 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为　     一真为真,全假为假 三．命题的否定 1．将一个命题的结论换成原来结论的反面,条件不变,得到一个新的命题,这个命题就是原来命题的否定．如原来的命题为p:若s,则t,则它的否定为¬p: 　     ． 2．一个命题与它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能是　     ． 四．含量词命题的否定 命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型 全称量词命题 p:∀x∈M,p(x) ¬p: 　     　     存在量词命题 p:∃x∈M,p(x) ¬p: 　     　     概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1．“有些”“有一个”“有的”是存在量词． (　　) 2．全称量词命题“自然数都是正整数”是真命题． (　　) 3．在全称量词命题和存在量词命题中,量词都可以省略． (　　) 4．命题p:“∀x∈M,p(x)”的否定是“∃x∈M,¬p(x)”,它们可以同真同假．　 (　　) 5．若命题¬p是存在量词命题,则命题p是全称量词命题． (　　) 类型一　全称量词命题与存在量词命题/全称量词命题和存在量词命题的否定 例1．将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题,下列说法正确的是(　　) A．对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy B．存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy C．对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy D．存在x<0,y<0,使x2+y2≥2xy 例2．下列命题中,存在量词命题的个数是(　　) ①有些自然数是偶数; ②正方形是菱形; ③能被6整除的数也能被3整除; ④对于任意x∈R,总有≤1．　　　　　 　　　　　 　　　　　 A．0 B．1 C．2 D．3 例3．(多选)下列命题是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的有(　　) A．有一个x∈R,使得x2>3成立 B．对有些x∈R,使得x2>3成立 C．任选一个x∈R,都有x2>3成立 D．至少有一个x∈R,使得x2>3成立 例4．设命题p:所有的矩形都是平行四边形,则¬p为(　　) A．所有的矩形都不是平行四边形 B．存在一个平行四边形不是矩形 C．存在一个矩形不是平行四边形 D．不是矩形的四边形不是平行四边形 例5．已知命题p:∀x∈{x|x>1},x2+16>8x,则命题p的否定为(　　) A．¬p:∀x∈{x|x>1},x2+16≤8x B．¬p:∀x∈{x|x>1},x2+16<8x C．¬p:∃x∈{x|x>1},x2+16≤8x D．¬p:∃x∈{x|x>1},x2+16<8x 例6．对于命题p:∃x∈R,使得x2+x+1<0,则¬p是(　　) A．∀x∈R,x2+x+1≥0 B．∃x∈R,x2+x+1≠0 C．∀x∈R,x2+x+1>0 D．∃x∈R,x2+x+1<0 1．命题“有些负数满足(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为　　　　　　　　　　．  2．下列命题中,是全称量词命题的为　　　　;是存在量词命题的为　　　　．(填序号)  ①正方形的四条边相等; ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形; ③正数的平方根不等于0; ④至少有一个正整数是偶数; ⑤存在一对实数x,y,使2x+3y+3>0成立． 3．命题“存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根”的否定是(　　) A．存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0无实数根 B．不存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根 C．对任意实数m,都能使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根 D．至多有一个实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根 4．若命题p:∀x∈R,<0,则¬p:　　　　　　　　．  类型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断/全称量词命题和存在量词命题的否定的真假判断 例7．下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．至少有一个x∈Z,使得x2<3成立 B．对任意a,b∈R,都有a2+b2≥2(a+b-1) C．∃x∈R,=x D．菱形的两条对角线长度相等 例8．选择合适的量词(∀,∃),加在p(x)的前面,使其成为一个真命题． (1)x>2; (2)x是偶数; (3)若x是无理数,则x2是无理数; (4)a2+b2=c2．(这是含有三个变量的语句,用p(a,b,c)表示) 例9．给出下列四个命题: ①有理数是实数; ②有些平行四边形不是菱形; ③∀x∈R,x2-2x>0; ④∃x∈R,2x+1为奇数． 以上命题的否定为真命题的是( ) A．①④ B．②④ C．①②③④ D．③ 例10．下列命题的否定为假命题的是(　　) A．∃x∈Z,1<4x<3 B．∃x∈Z,5x+1=0 C．∀x∈R,x2-1=0 D．∃x∈R,x2+3x+2=0 1．设语句q(x):|x-1|=1-x． (1)写出q(1),q(2),并判断它们是不是真命题; (2)写出“∀a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题; (3)写出“∃a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题． 2．已知命题p:∃x∈R,x-2>,命题q:∀x∈R,x2>0,则(　　) A．命题p,q都是假命题 B．命题p,q都是真命题 C．命题p,¬q都是真命题 D．命题p,¬q都是假命题 类型三　全称量词命题与存在量词命题的应用/全称量词命题和存在量词命题的否定的应用 例11．(多选)已知命题p:存在实数x,使得数据1,2,3,x,6的中位数为3．则使命题p成立的实数x的取值集合可以为(　　) A．{3,4,5} B．{x|x>2} C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6} 例12．设p:∀x∈R,x2+x+a≥0．若p是真命题,则实数a的取值范围是　　　　．  例13．已知p:∀1≤x≤4,x-a≥0,q:∃x∈R,x2+2x+2-a=0．若命题¬p是真命题,且命题q是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A．a=1 B．a≤1 C．a≥1 D．a>1 1．对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　．  2．若一次函数y=kx+2(x∈R)的图象恒过第三象限,则实数k的取值范围为　　　　．  3．已知命题p:∃x∈R,|x|2-2|x|+m=0．若¬p是假命题,求实数m的取值范围． 1．若命题p:∀a,b∈R,方程ax2+b=0恰有一解,则¬p:　　　　　　　　．  2．(多选)对下列命题进行否定,得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有(　　) A．∃x∈R,x2-x+<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R,x2+2x+2≤0 D．至少有一个实数x,使x3+1=0 3．已知命题p:∀x∈{x|0<x<1},x+m-1<0,命题q:∀x∈{x|x>0},mx2+4x-1≠0．若p是真命题,q是假命题,求实数m的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第05讲 适用学科 适用年级 新高一 一．全称量词与全称量词命题 全称量词 全称量词命题 全称量词命题的真假判断 短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做①　全称量 词    ,并用符号“②    ∀    ”表 示 含有全称量词的命题,叫做全称 量词命题.全称量词命题“对M 中任意一个x,p(x)成立”可用符 号简记为③    ∀x∈M,p(x)     全真为真,一假为假 二．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在量词命题 存在量词命题的真假判断 短语“存在一个”“至少有一 个”在逻辑中通常叫做④　存 在量词    ,并用符号“⑤    ∃     ”表示 含有存在量词的命题,叫做存在 量词命题.存在量词命题“存在 M中的元素x,p(x)成立”可用符 号简记为⑥    ∃x∈M,p(x)     一真为真,全假为假 三．命题的否定 1.将一个命题的结论换成原来结论的反面,条件不变,得到一个新的命题,这个命题就是原来命题的否定.如原来的命题为p:若s,则t,则它的否定为¬p:⑦　若s,则¬t    . 2.一个命题与它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能是⑧　一真一假    . 四．含量词命题的否定 命题的类型 命题的符 号表示 命题的否定 的符号表示 命题的否 定的类型 全称量词命题 p:∀x∈M,p(x) ¬p:⑨    ∃x∈M,¬p(x) ⑩　存在量词命题     存在量词命题 p:∃x∈M,p(x) ¬p:     ∀x∈M,¬p(x)  　全称量词命题     概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1. (　√　) 2. (    ✕　) 3.  (    ✕　) 4.(    ✕　) 5. (　√　) 类型一　全称量词命题与存在量词命题/全称量词命题和存在量词命题的否定 例1 A 例2B 例3 ABD 例4 C 例5 C 例6 A 1 ∃x<0,使(1+x)(1-9x)>0 2 ①②③;④⑤ 3 B 4 ∃x∈R,>0或x-2=0 类型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断/全称量词命题和存在量词命题的否定的真假判断 例7 B 例8(1)∃x∈R,x>2. (2)∃x∈Z,x是偶数. (3)∃x∈R,若x是无理数,则x2是无理数.(如x=) (4)∃a,b,c∈R,a2+b2=c2. 例9 D 例10 D 1 (1)q(1):|1-1|=1-1,真命题. q(2):|2-1|=1-2,因为|2-1|=1,1-2=-1,所以|2-1|≠1-2,假命题. (2)∀a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知,q(2)为假命题,所以“∀a∈R,|a-1|=1-a”为假命题. (3)∃a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知,q(1)为真命题,所以“∃a∈R,|a-1|=1-a”为真命题. 2 C 类型三　全称量词命题与存在量词命题的应用/全称量词命题和存在量词命题的否定的应用 例11 ACD 例12 　 例13 D 1{a|a≤3} 2{k|k>0} 3解析　∵¬p是假命题,∴p是真命题. 也就是∃x∈R,使得|x|2-2|x|=-m,即方程|x|2-2|x|=-m有解. 又|x|2-2|x|=(|x|-1)2-1≥-1,当x=±1时等号成立,因此-m≥-1,即m≤1. ∴实数m的取值范围是{m|m≤1}. 1∃a,b∈R,方程ax2+b=0无解或有两个解 2 AC 3解析　若p是真命题,则x+m-1<0对于0<x<1恒成立,即m-1<-x对0<x<1恒成立. 当0<x<1时,-1<-x<0,所以m-1≤-1,即m≤0. 若命题q是假命题,则¬q:∃x∈{x|x>0},mx2+4x-1=0为真命题. 即关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根. 当m=0时,方程为4x-1=0,有正实数根; 当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4.设两个实数根分别为x1,x2. ①当方程有两个正实数根时,x1+x2=->0,且x1x2=->0,解得m<0,此时-4≤m<0; ②当方程有一正一负两个实数根时,x1x2=-<0,解得m>0,此时m>0. 综上所述,m≥-4. 因为p是真命题,q是假命题,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}. $$