第04讲 充分条件与必要条件-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第04讲 充分条件与必要条件 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系． 2．结合具体问题,利用集合等知识,学会判断充分条件、必要条件和充要条件． 3．分清充分性与必要性,培养等价转化思想 一．充分条件和必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系 由p可以推出q,记为:         由p不能推出q,记为:        条件 关系 p是q的　      p不是q的　      q是p的　      q不是p的　      二．充分条件和必要条件与判定定理和性质定理 1．数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个　     ． 2．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个　     ． 三．逆命题 将命题为“若p,则q”(称为原命题)的条件p和结论q　     就得到一个新的命题“　      ”,称这个命题为原命题的逆命题． 四．充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作　     ．此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的　      ,简称为 　     ．显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件．概括地说,如果p⇔q,那么p与q　     ． 五．四种条件与命题真假的关系 原命题 逆命题 p与q的关系 q与p的关系 真 真 p是q的充要条件 q是p的充要条件 真 假 p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件 假 真 p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件 假 假 p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1．p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同． (　 　) 2．p是q的必要条件的含义是:如果p不成立,则q一定不成立． (　 　) 3．三角形相似是三角形全等的必要条件． (　 　) 4．证明“p的充要条件是q”,则由p⇒q证的是充分性,由q⇒p证的是必要性． (     　) 类型一　充分条件、必要条件与充要条件的判定 例1．若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传颂至今:“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还．”由此推断,最后一句“攻破楼兰”是“返还家乡”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例4．设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x<0或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例5．设A,B是两个非空集合,则“A∩B=A”是“A=B”的　　　　　　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．  例6．判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除; (2)p:x>1,q:x2>1; (3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形; (4)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0． 1．已知a∈R,则“a>1”是“<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．对于实数x,y,若p:x≠2或y≠3;q:x+y≠5,则p是q的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”．其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等．如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2,则“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 　C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 类型二　充分条件、必要条件与充要条件的探究 例7．“x>y”的一个充分条件是(　　) A．|x|>y 　B．x2>y2 C．|x|>|y| D．x>|y| 例8．以下选项中,p是q的充要条件的是(　　) A．p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 B．p:a>2,b<2,q:a>b C．p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D．p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解 例9．设a是实数,则a<5成立的一个必要不充分条件是(　　) A．a<6 B．a<4 C．a2<25 D．> 例10．(多选)设全集为U,在下列选项中,是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∪B=A B．(∁UA)∩B=⌀ C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)=U 例11．求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0． 1．设x,y是两个实数,命题:“x,y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(　　) A．x+y=2 B．x+y>2 　　C．x2+y2>2 D．xy>1 2．(多选)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则符合p是q的充要条件的电路图是(　　) 3．若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件,用序号填空: (1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;  (2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;  (3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　．  类型三　充分条件、必要条件与充要条件的应用 例12．已知p:{x|x+2≥0且x-10≤0},q:{x|4-m≤x≤4+m,m>0}．若p是q的充要条件,则实数m的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 例13．若“x>2”是“x>a”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<2} 　　B．{a|a≤2} C．{a|a>2} D．{a|a≥2} 例14．已知a>0,设p:-a≤x≤3a;q:-1<x<6．若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(　　) A．{a|1<a<2} B．{a|1≤a≤2} C．{a|0<a<1} D．{a|0<a≤2} 1．已知p:-1<x<3,若-a<x-1<a(a>0)是p的一个必要条件,则使a>b恒成立的实数b的取值范围是　　　　．  2．求关于x的方程ax2+2x+1=0的解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件． 1．(多选)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中真命题是(　　) A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 2． “m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的　　　　条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)  3．已知集合A={x∈R|0<ax+1≤3}(a≠0),集合B={x∈R|-1<x≤2}．若命题p:x∈A,命题q:x∈B,且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第04讲 适用学科 适用年级 新高一 一．充分条件和必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系 由p可以推出q,记为:①    p⇒q     由p不能推出q,记为:④    p⇒ /q 条件 关系 p是q的②　充分条件     p不是q的⑤　充分条件     q是p的③　必要条件     q不是p的⑥　必要条件     二．充分条件和必要条件与判定定理和性质定理 1.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个⑦　充分条件    . 2.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个⑧　必要条件    . 三．逆命题 将命题为“若p,则q”(称为原命题)的条件p和结论q⑨　互换    ,就得到一个新的命题“⑩　若q,则p    ”,称这个命题为原命题的逆命题. 四．充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作     p⇔q    .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的　充分必要条件    ,简称为 　充要条件    .显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q 　互为充要条件    . 五．四种条件与命题真假的关系 原命题 逆命题 p与q的关系 q与p的关系 真 真 p是q的充要条件 q是p的充要条件 真 假 p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件 假 真 p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件 假 假 p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1.(　√　) 2.  (　√　) 3.  (　√　) 4.(    ✕　) 类型一　充分条件、必要条件与充要条件的判定 例1 A 例2 B 例3 A 例4 C 例5 必要不充分 例6 　(1)因为“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”,即p⇒q, 但“数a能被3整除”推不出“数a能被6整除”,如a=9,即q⇒ / p,所以p是q的充分不必要条件. (2)因为“x>1”能推出“x2>1”,即p⇒q,但当“x2>1”时,如x=-2,推不出“x>1”,即q⇒ /p,所以p是q的充分不必要条件. (3)因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”,即p⇒/q,但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”,即q⇒p,所以p是q的必要不充分条件. (4)若“a2+b2=0”,则“a=b=0”,即p⇒q;若“a=b=0”,则“a2+b2=0”,即q⇒p,故p⇔q,所以p是q的充要条件. 1 A 2 A 3 B 类型二　充分条件、必要条件与充要条件的探究 例7 D 例8 D 例9 A 例10 ABCD 例11 .证明　①充分性:如果b=0,那么y=kx(k≠0).当x=0时,y=0, 所以一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点. ②必要性:因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点, 所以当x=0时,y=0,即k×0+b=0,所以b=0. 综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0. 1 B 2 BD 3 (1)①②③　(2)④　(3)① 类型三　充分条件、必要条件与充要条件的应用 例12 C 例13 C 例14 C 1{b|b<2} 2 .解析　由方程ax2+2x+1=0的解集中有且最多有一个负实数的元素,得 若a=0,则x=-,符合题意. 若a≠0,方程ax2+2x+1=0有实数根,则Δ=4-4a≥0,解得a≤1, 当a=1时,方程有两个相等的负实数根x1=x2=-1,符合题意. 当a<1且a≠0时,若方程有且最多有一个负实数根,则<0,即a<0. 所以当a≤0或a=1时,关于x的方程ax2+2x+1=0的解集中有且最多有一个负实数元素. 综上,“方程ax2+2x+1=0的解集中有且最多有一个负实数元素”的充要条件为“a≤0或a=1”. 1 CD 2 充分不必要 3 解析　由题意得A⫋B. 由集合A得,-1<ax≤2.(*) ①当a>0时, 由(*)得A=, 因为A⫋B,所以或 解得a>1. ②当a<0时, 由(*)式得A=, 因为A⫋B,所以解得a<-2. 综上,实数a的取值范围是{a|a<-2或a>1}. $$