第03讲 集合的基本运算-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第03讲 集合的基本运算 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．理解两个集合的并集与交集的含义,理解在给定集合中一个子集的补集的含义, 能求两个集合的并集、交集以及一个集合在给定集合中的补集． 2．能用Venn图表示集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用,培养直观想 象的数学素养． 一．并集与交集 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 并集 一般地,由所有属于集合A　     属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作         (读作“A并B”) A∪B =   A∪B=B∪A,A∪A =A, A∪⌀=⌀∪A=A, A⊆(A∪B),B⊆(A ∪B), A⊆B⇔A∪B=B 交集 一般地,由所有属于集合A         属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作         (读作“A交B”) A∩B=   A∩B=B∩A,A∩A =A, A∩⌀=⌀∩A=⌀, (A∩B)⊆A,(A∩B) ⊆B, A⊆B⇔A∩B=A 二．全集与补集 1．全集 一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的　     ,那么就称这个集合为全集,通常记作U． 2．补集 文字语言 对于一个集合A,由全集U中　     集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作 符号语言 ∁UA= 图形语言   运算性质 ∁UA⊆U,∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A,A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀ 三．三个有限集合的并集中元素个数问题 三个有限集合A,B,C的并集中元素的个数公式是card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)． 四．德·摩根定律 1．∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),利用Venn图表示如下:   2．∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB),利用Venn图表示如下: 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1．∁UA⊆U． (　 　) 2．在全集U中存在某个元素x0,既有x0∉A,又有x0∉∁UA． 　　(     　) 3．若A,B中分别有2个元素,则A∪B中必有4个元素． 　　(     　) 4．根据研究问题的不同,可以指定不同的全集． (　 　) 5．若A∪B=A,B≠⌀,则B中的每个元素都属于集合A． (　 　) 6．若A∩B=C∩B,则A=C． (     　) 类型一　并集与交集的运算 例1．若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则A∪B=(　　) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0} 例2．若集合A={x|0<x<},B={x|1≤x<2},则A∪B=(　　) A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．{x|0≤x≤} D．{x|0<x<2} 例3．设集合M={1,2},则满足条件M∪N={1,2,3,4}的集合N的个数是(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 例4．已知集合M={-1,0,1,2},N={x|1≤x≤3},则M∩N=(　　) A．{-1,0,1,2,3} B．{-1,0,1} C．{1,2} D．{1,2,3} 例5．若集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=(　　) A．{2} B．{2,3} C．{3,4} D．{1,2,3,4} 1．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:今有物,不知其数．三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二．问:物几何?现有如下表示:已知A={x|x=3n+2,n∈N*},B={x|x=5n+3,n∈N*},C={x|x=7n+2,n∈N*},若x∈(A∩B∩C),则整数x的最小值为(　　) A．128 B．127 C．37 D．23 2．设M={x|x∈Z},N=,P={x|x=n+,n∈Z},则下列关系正确的是(　　) A．N⊆M B．N=M∪P C．N⊆P D．N=M∩P 3．设M,P是两个非空集合,定义M与P的差集为M-P={x|x∈M,且x∉P},则M-(M-P)等于(　　) A．P B．M C．M∩P D．M∪P 4．(多选)若集合M⊆N,则下列结论正确的是(　　) A．M∩N=N B．M∪N=N C．N⊆(M∩N) D．(M∪N)⊆N 5．已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}． (1)当x∈R时,若A∪B=A,求实数m的取值范围; (2)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数; (3)当x∈R时,若A∩B=⌀,求实数m的取值范围． 6．已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中a∈R,如果A∪B=A,求实数a的取值范围． 类型二　全集与补集的运算 例6．设集合U={0,1,2,3,4},A={1,2},B={2,3},则(∁UA)∩(∁UB)=(　　) A．{0,4} B．{4} C．{1,2,3} D．⌀ 例7．已知集合A={x∈N|0≤x≤6},B={x|3-x<0},则A∩(∁RB)=(　　) A．{1,2} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{0,1,2,3} 例8．已知全集U=R,集合M={x|-1<x<1},N={x|0<x<2},则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{x|x≤0或x≥1} B．{x|x≤-1或x≥2} C．{x|0<x<1} D．{x|-1<x<2} 例9．已知全集U={x∈N*|x<9},(∁UA)∩B={1,6},A∩(∁UB)={2,3},∁U(A∪B)={5,7,8},则B=(　　) A．{2,3,4} B．{1,4,6} C．{4,5,7,8} D．{1,2,3,6} 例10．已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2}．求: (1)A∩B; (2)(∁UA)∪B． 1．如图,已知I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是(　　) A．[(∁IA)∩B]∩C B．[(∁IB)∪A]∩C C．(A∩B)∩(∁IC) D．[A∩(∁IB)]∩C 2．(多选)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3或4<x<6},集合B={x|2≤x<5},下列集合运算正确的是(　　) A．∁UB={x|x<2或x≥5} B．A∩(∁UB)={x|1≤x<2或5≤x<6} C．(∁UA)∪B={x|x<1或2<x<5或x>6} D．∁U(∁UB)={x|2≤x<5} 3．设全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},A=,B={(x,y)|y=x+1},则(∁UA)∩B=　　　　．  类型三　利用集合的运算解决参数问题 例11．已知集合A={m,2},集合B={2,m2},若A∪B={-1,1,2},则实数m=　　　　．  例12．已知集合A={2,4,a2-4a+6},B={2,a},A∩B=B,则实数a的取值集合为　　　　．  例13．已知全集U={0,1,2},A={x|x-m=0,m∈R},若∁UA={0,1},则实数m=　　　　．  例14．已知集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|x2-ax-b=0}． 若A∪B={2,3,5},A∩B={3},求实数a,b的值． 例15．设全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}． (1)若a=-2,求B∩A,B∩(∁UA); (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围． 1．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座,其中有75人听了数学讲座,68人听了历史讲座,61人听了音乐讲座,17人同时听了数学、历史讲座,12人同时听了数学、音乐讲座,9人同时听了历史、音乐讲座,还有6人听了全部讲座．求听讲座的人数． 2．已知集合U=R,M={x|3a<x<2a+5},P={x|-2≤x≤1},若M⫋∁UP,求实数a的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第03讲 适用学科 适用年级 新高一 一．并集与交集 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 并集 一般地,由所有属 于集合A①　或     属于集合B的元素 组成的集合,称为 集合A与B的并集, 记作②    A∪B     (读作“A并B”) A∪B=③　{x|x∈ A,或x∈B}       A∪B=B∪A,A∪A =A, A∪⌀=⌀∪A=A, A⊆(A∪B),B⊆(A ∪B), A⊆B⇔A∪B=B 交集 一般地,由所有属 于集合A④　且     属于集合B的元素 组成的集合,称为 集合A与B的交集, 记作⑤    A∩B     (读作“A交B”) A∩B=⑥　{x|x∈ A,且x∈B}       A∩B=B∩A,A∩A =A, A∩⌀=⌀∩A=⌀, (A∩B)⊆A,(A∩B) ⊆B, A⊆B⇔A∩B=A 二 全集与补集 1.全集 一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的⑦　所有元素    ,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 2.补集 文字语言 对于一个集合A,由全集U中⑧　不属于    集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作⑨    ∁UA     符号语言 ∁UA=⑩　{x|x∈U,且x∉A}     图形语言   运算性质 ∁UA⊆U,∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A,A∪(∁ UA)=U,A∩(∁UA)=⌀ 1.  (　√　) 2. (    ✕　) 3.  (    ✕　) 4.  (　√　) 5.  (　√　) 6.. (    ✕　) 类型一　并集与交集的运算 例1 A 例2 D 例3 D 例4 C 例5 D 1 D 2 B 3 C 4 BD 5解析　(1)因为A∪B=A,所以B⊆A. 当B=⌀时,m+1>2m-1,则m<2; 当B≠⌀时,根据题意,得解得2≤m≤3. 综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}. (2)当x∈Z时,A={x|-2≤x≤5}={-2,-1,0,1,2,3,4,5},共有8个元素,所以A的非空真子集的个数为28-2=254. (3)当B=⌀时,由(1)知m<2; 当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴, 可得或解得m>4. 综上可得,实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}. 6解析　A={x|x2+4x=0}={0,-4}. ∵A∪B=A,∴B⊆A. ①当B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0, 解得a<-1,此时满足B⊆A. ②当B={0}或B={-4}时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时B={0},满足B⊆A. ③当B={0,-4}时, 解得a=1. 综上所述,实数a的取值范围是{a|a=1或a≤-1}. 类型二　全集与补集的运算 例6 A 例7 D 例8 B 例9 B 例10 解析　(1)将集合A,B表示在数轴上,如图所示, 由图可知,A∩B={x|-2<x≤2}. (2)由题意得∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4}. 将∁UA和集合B表示在数轴上,如图所示, 由图可知,(∁UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}. 1 D 2 ABD 3 {(2,3)} 类型三　利用集合的运算解决参数问题 例11 -1 例12 {3,4} 例13 2 例14解析　集合A={x|x2-8x+15=0}={3,5}. 因为A∪B={2,3,5},A∩B={3}, 所以2∈B,3∈B,故2,3是一元二次方程x2-ax-b=0的两个实数根, 所以a=2+3=5,-b=2×3=6,即b=-6. 例15解析　(1)因为A={x|1≤x<4}, 所以∁UA={x|x<1或x≥4}. 当a=-2时,B={x|-4≤x<5}, 所以B∩A={x|1≤x<4},B∩(∁UA)={x|-4≤x<1或4≤x<5}. (2)若A∪B=A,则B⊆A. ①当B=⌀时,2a≥3-a,解得a≥1; ②当B≠⌀时,解得≤a<1. 综上所述,a的取值范围为a≥. 1解析　解法一:设听了数学讲座、历史讲座、音乐讲座的同学构成的集合分别为A,B,C,因为听了数学讲座的人数为75,所以A中元素的个数为75.同理,B中元素的个数为68,C中元素的个数为61,A∩B中元素的个数为17,A∩C中元素的个数为12,B∩C中元素的个数为9,A∩B∩C中元素的个数为6,那么A∪B∪C中元素的个数为75+68+61-17-12-9+6=172,即听讲座的人数为172. 解法二:作出Venn图.由图知听讲座的人数为52+48+46+11+6+3+6=172. 2 解析　由题意得∁UP={x|x<-2或x>1}. ∵M⫋∁UP,∴分M=⌀和M≠⌀两种情况讨论. ①当M=⌀时,有3a≥2a+5,即a≥5. ②当M≠⌀时,由M⫋∁UP,可得或即a≤-或≤a<5. 综上可知,实数a的取值范围是. $$