第02讲 集合间的基本关系-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第02讲 集合间的基本关系 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．理解集合之间包含与相等的含义,理解子集、真子集的概念;在具体情境中,了解空集的含义． 2．能识别给定集合的子集,掌握列举有限集的所有子集的方法． 3．能用符号和Venn图表示集合间的关系． 一．子集、集合相等、真子集 概念 图示 性质 子集 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中　     元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的　     ,记作　      (或　     ),读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本 身的子集,即A　      A;对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A　     C 集合 相等 一般地,如果集合A的　      元素都是集合B的元素,同时集合B的　     元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作　           A⊆B,且B⊆A⇔A=B; A=B,且B=C,则A=C 真子集 如果集合　     但存在元素x∈B,且  x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A)   A⫋B,且B⫋C,则A⫋C; A⊆B,且A≠B,则A⫋B 二．空集 定义  　     的集合叫做空集 符号  　      规定 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 三．Venn图 在数学中,经常用平面上封闭曲线的　     代表集合,这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表示集合间的关系．常见数集的关系如图所示． 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1．⌀和{⌀}表示的意义相同． (     　) 2．{0,1}={1,0}={(0,1)}． (     　) 3．实数中“≤”类似于集合中“⊆”,“<”类似于“⫋”． (　 　) 4．已知集合B⊆A,如果元素a∉A,那么元素a∉B． (　 　) 5．任何一个集合都至少有2个子集． (     　) 6．若a∈A,则{a}⫋A． (     　) 类型一　子集、真子集和空集 引例 已知集合A={x|x=1},B={x|x2-3x+2=0}． 问题 1．判断集合A与集合B间的关系． 2．若集合A={x|x>1},B={x|x2-3x+2>0},如何判断集合A与B的关系? 3．已知集合M= ,N= ,请阐述判断M,N之间关系的方法． 判断集合关系的方法 1．列举法:对于能用列举法表示的集合,先用列举法将两个集合表示出来,再通过比较两集合中的元素来判断其关系． 2．元素特征法:弄清集合中元素的限制条件,再利用限制条件来判断集合间的关系．即若x是集合A中的元素,则x满足集合A中的限制条件,由限制条件推断x是否满足集合B中的限制条件,若能推出则A是B的子集,否则A不是B的子集;同理可判断B是不是A的子集． 3．图示法:利用数轴或Venn图表示集合,可直观地判断两集合间的关系．  特别注意：0,{0},⌀,{⌀}之间的关系 (1)⌀不含任何元素,所以0不是它的元素． (2){0}表示只含有一个元素0的集合,所以0∈{0}． (3){⌀}并不是空集,而是含有空集这一元素的集合,也就是说{⌀}中有一个元素,这个元素就是⌀,即⌀∈{⌀}．又因为⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以⌀⊆{⌀},⌀⫋{⌀}也正确． 例1． 判断下列集合的关系: (1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}; (2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4}; (3)A={x|x是文学作品},B={x|x是散文},C={x|x是叙事散文}; 例2．下列六个关系式:①{a,b}⊆{b,a};②{a,b}={b,a};③0=⌀;④0∈{0};⑤⌀∈{0};⑥⌀⊆{0},其中正确的个数为(　　) A．6 B．5 C．4 D．少于4 例3．下列四个集合中,是空集的是(　　) A．{x|x+3=3} B．{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2-x+1=0,x∈R} 1．若集合S={x|x=3n+1,n∈N},T={x|x=3k-2,k∈Z},则(　　) A．S⊆T B．T⊆S C．S=T D．S⊈T 2．已知集合U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2-x=0}关系的Venn图是(　　) 3．设集合A={1,2,3},则A的真子集的个数是( ) A．8 B．7 C．4 D．3 4．(多选)下列说法中,正确的是(　　) A．空集是任何集合的真子集 B．若A⫋B,B⫋C,则A⫋C C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D．若不属于B的元素一定不属于A,则A⊆B 5．已知集合M满足{3,4}⊆M⊆{3,4,5,6},则满足条件的集合M有　　　　个． 6．集合M={x|x=3n,n∈N},集合N={x|x=3n,n∈N},则集合M与集合N的关系为(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M=N D．M⊈N且N⊈M 7．已知集合A={-1,0,1},则A的子集中含有元素0的子集共有(　　) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 8．设集合A={1,0},集合B={2,3},集合M={x|x=b(a+b),a∈A,b∈B},则集合M的真子集的个数为(　　) A．7 B．12 C．16 D．15 9．若x∈A,∈A,则称A是伙伴关系集合．集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系集合的个数是(　　) A．31 B．7 C．3 D．1 10．(多选)给出下列选项,其中正确的是(　　) A．⌀∈{{⌀}} B．⌀⊆{{⌀}} C．⌀∈{⌀} D．⌀⫋{⌀} 11．若规定集合M={a1,a2,…,an}(n∈N*)的子集N={,,…,}(m∈N*)为M的第k个子集,其中k=++…+,例如P={a1,a3}是M的第5个子集,则M的第25个子集是　　　　．  类型二　集合相等 例4．已知集合A=,B=,C=,则下列结论正确的是(　　) A．A=B B．A=C C．B=C D．A=B=C 例5．下列选项中的两个集合,表示同一集合的是(　　) A．A={0,1},B={(0,1)} B．A={2,3},B={3,2} C．A={x|-1<x≤1,x∈N},B={1} D．A=⌀,B={x|≤0} 例6．已知集合A=,B={x|x=k±,k∈Z},则集合A,B之间的关系为　　　　．  类型三　由集合间的关系解决参数问题 例7．已知集合A={1,3,},B={1,m},B⊆A,则m=(　　) A．0或3 B．0或1 C．1 D．3 例8．已知⌀⫋{x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是(　　) A．a< B．a≤ C．a≥ D．a> 例9．已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x≥m},若A⊆B,则实数m的取值范围为　　　　　　．  例10．已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},若M=N,求a与b的值． 例11．设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}． (1)若a=,试判断集合A与B之间的关系; (2)若B⊆A,求实数a的取值集合． 1．集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},若B⊆A,则实数a的值为(　　) A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1 2．(多选)已知集合A={x|mx2-2x+1=0}={n},则m+n的值可能为(　　) A．0 B． C．1 D．2 3．设集合A={x|x2+x-6=0},B={|a+b|+1,ab-1},若A=B,则|a-b|=　　　　．  4．设集合A={a1,a2,a3,a4},若集合A的所有含三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B={2,5,6,8},则集合A=　　　　．  5．已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16}． (1)若A为非空集合,求实数a的取值范围; (2)若A⊆B,求实数a的取值范围． 1．已知集合A={x|ax2-3x+2=0}． (1)若⌀⫋A,求实数a的取值范围; (2)若B={x|x2-x=0},且A⊆B,求实数a的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第02讲 适用学科 适用年级 新高一 一．子集、集合相等、真子集 概念 图示 性质 子集 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中① 　任意一个    元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的②    子集    ,记作③    A⊆B    (或④    B⊇A    ),读 作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本 身的子集,即A⑤    ⊆     A;对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⑥  ⊆    C 集合 相等 一般地,如果集合A的⑦任何一个    元素都是集合B的元素,同时集 合B的⑧　任何一个    元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作⑨    A=B       A⊆B,且B⊆A⇔A=B; A=B,且B=C,则A=C 真子集 如果集合⑩    A⊆B    ,但存在元素x∈B,且    x∉A    ,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A)   A⫋B,且B⫋C,则A⫋C; A⊆B,且A≠B,则A⫋B 二．空集 定义  　不含任何元素    的集合叫做空集 符号      ⌀     规定 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 三．Venn图 在数学中,经常用平面上封闭曲线的 　内部    代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集的关系如图所示. 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1.  (    ✕　) 2. (    ✕　) 3. (　√　) 4.  (　√　) 5. (    ✕　) 6.  (    ✕　) 类型一　子集、真子集和空集 引例：1提示:由于集合A中的元素都在集合B中,但集合B中的元素2不在集合A中,因此A ⫋B. 2.提示:解不等式,利用数轴求解. 3 例1  (1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A. (2)A={x|0<2x-1<1}= ,B={x|1<3x+1<4}={x|0<x<1},用数轴表示集合A,B 如图所示,由图可知A⫋B. (3)画出Venn图,可知C⫋B⫋A. 例2.C　 例3 .D　 1.A　 2.B　 3.B　 4.BD　 5　4 6 D 7 B 8 D 9 B 10 BCD 11 {a1,a4,a5} 类型二　集合相等 例4 A 例5 B 例6 = 类型三　由集合间的关系解决参数问题 例7 A 例8 B 例9 {m|m≤-2} 例10解析　由M=N,得或 解得或或 根据集合中元素的互异性,得不符合题意,故或 例11解析　(1)由x2-8x+15=0,得x=3或x=5,故A={3,5},当a=时,由x-1=0,得x=5,故B={5},∴B⫋A. (2)当B=⌀时,满足B⊆A,此时a=0. 当B≠⌀时,集合B=. ∵B⊆A,∴=3或=5,解得a=或a=. 综上,实数a的取值集合为. 1 D 2 BD 3 3 4 {-1,1,2,5} 5(1)若A≠⌀,则有2a+1≤3a-5,解得a≥6, 故实数a的取值范围为{a|a≥6}. (2)若A⊆B,则有如下几种情况: ①当A=⌀时,即3a-5<2a+1,解得a<6; ②当A≠⌀时,则(无解), 或解得a>. 综上可得,A⊆B时,实数a的取值范围为. 1. 解析　(1)由题意可知,集合A中至少含有一个元素,即方程ax2-3x+2=0至少有一个实数根. 当a=0时,ax2-3x+2=-3x+2=0, 解得x=,即A=,符合要求; 当a≠0时,ax2-3x+2=0至少有一个实数根,即Δ=(-3)2-4×a×2≥0,所以a≤且a≠0. 综上,实数a的取值范围为. (2)B={x|x2-x=0}={0,1},因为A⊆B,所以A=⌀或{0}或{1}或{0,1}. 当A=⌀时,有解得a>. 当A={0}时,把x=0代入ax2-3x+2=0中,得2=0,不成立,故此时a的值不存在. 当A={1}时,把x=1代入方程ax2-3x+2=0,得a=1,则x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,即A={1,2},与A={1}相矛盾,故此时a的值不存在. 当A={0,1}时,有 无解,故此时a的值不存在.综上可得,实数a的取值范围为. $$