第14讲 逻辑语言单元复习-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第14讲 逻辑语言复习 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．理解必要条件和充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系 2．理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 考点1 四种条件的判定 【知识要点】 1.四种条件 推出关系 充分性、必要性 集合关系 （） 充要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不必要也不充分条件 2.总结判断充分必要的条件的方法 （1）定义法 （2）集合法 1．“A∩B＝A”是“A⊆B”的（　　） A．必要不充分条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 2．已知a∈R，则“a≤1”是“a≤2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“x2+x﹣2＝0”是“x＝1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设x∈R，则“x2﹣3x＜0”是“1＜x＜2”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（多选）若a，b，c∈R，则下列叙述中正确的是（　　） A．“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c” B．“a＞1”是“1”的充分不必要条件 C．“ax2+bx+c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2﹣4ac≤0” D．“a＜1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 6．（多选）下列结论中正确的是（　　） A．“x2＞4”是“x＜﹣2”的必要不充分条件 B．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件 C．若a、b∈R，则“a2+b2≠0”是“a、b不全为0”的充要条件 D．在△ABC中，“AB2+AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 7．（多选）“”的充分条件有（　　） A．0＜x＜2 B．﹣1＜x＜2 C．0≤x＜2 D．0≤x≤2 8．（多选）下列式子，可以是x2＜1的一个充分不必要条件的有（　　） A．x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x＜0 9．已知p：﹣1＜x＜3，q：﹣1＜x＜m+2，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ． 10．已知p：x2﹣3x﹣4≤0，q：|x﹣3|≤m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ． 11．若p：m﹣1≤x≤2m+1，q：2≤x≤3，q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ． 12．设p：x＞a，q：x＞3． （1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围． 考点2 命题的否定 【知识要点】 1.全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称命题 含有 的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“ ” （2）存在量词与特称命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 特称命题 含有 的命题 形式 “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“ ” （3）全称量词命题和存在量词命题的否定 1）命题的否定：一般的，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”或“p的 否定”（举例） 2）全称量词命题和存在量词命题的否定 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)， 它的否定： 存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)， 它的否定： 1．下列命题是全称量词命题的是（　　） A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是360° 2．下列命题中 （1）有些自然数是偶数； （2）正方形是菱形； （3）能被6整除的数也能被3整除； （4）对于任意x∈R，总有． 存在量词命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列命题为真命题的是（　　） A．∃x0∈R，使x02＜0 B．∀x∈R，有x2≥0 C．∀x∈R，有x2＞0 D．∀x∈R，有x2＜0 4．命题：∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是 ． 5．命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是 ． 6．已知命题“∀x∈R，ax2+4x﹣1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，4） C．[﹣4，+∞） D．[4，+∞） 7．已知命题：“∃x∈R，x2+ax﹣4a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为（　　） A．{a|﹣16≤a≤0} B．{a|﹣16＜a＜0} C．{a|﹣4≤a≤0} D．{a|﹣4＜a＜0} 8．若命题“∃x0∈R，mx02+2mx0﹣2≥0”是假命题，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣2，0] C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0] 9．若“∀x∈R，λx2﹣λx+1＞0”是真命题，则实数λ的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0]∪[4，+∞） B．（0，4） C．[0，4） D．（0，4] 10．已知命题“∀x∈R，x2+ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 11．若命题“∃x∈R，（k2﹣1）x2+4（1﹣k）x+3≤0”是假命题，则k的取值范围是（　　） A．{k|1＜k＜7} B．{k|1≤k＜7} C．{k|﹣7＜k＜﹣1} D．{k|﹣7＜k≤﹣1} 12．（多选）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+2﹣a＝0为真命题，则实数a的取值可以是（　　） A．1 B．0 C．3 D．﹣3 1．命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是（　　） A．∃x∈R，x2﹣2x+1≤0 B．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 C．∃x∈R，x2﹣2x+1＜0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0 2．下列命题为真命题的是（　　） A．∃x0∈R，使x02＜0 B．∀x∈R，有x2≥0 C．∀x∈R，有x2＞0 D．∀x∈R，有x2＜0 3．（多选）下列命题的否定中，是全称量词且为真命题的有（　　） A．∃x∈R， B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2+2x+2≤0 D．至少有一个实数x，使x3+1＝0 4．已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B．[0，4] C．[4，+∞） D．（0，4） 5．设p：∀x∈R，x2+x+a≥0，若p是真命题，则实数a的取值范围是 ． 6．若命题“存在x0∈R，使x2﹣2x﹣m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，2） C．[﹣1，1] D．（﹣∞，0） 7．若“∀x∈R，x2+2x+a≥0”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 1．命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　） A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0 C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0 2．下列命题中为真命题的是（　　） A．∃x0∈R，x02+2x0+2＜0 B．∃x0∈R，x02+x0＝﹣1 C．∀x∈R，x2﹣x0 D．∀x∈R，﹣x2﹣1＜0 3．若命题p：∀x∈R，x2+ax+1≥0为真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 4．命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则a的取值范围是 ． 5．若命题“∃x0∈R，2x02+2ax0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是 ． 6．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是 ． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第14讲 适用学科 数学 适用年级 新高一 1．【解答】解：由A∩B＝A”可得A⊆B”， 由A⊆B得A∩B＝A， 故A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件． 故选：D． 2．【解答】解：∵{a|a≤1}⫋{a|a≤2}， ∴a≤1是a≤2的充分不必要条件， 故选：A． 3．【解答】解：①由x2+x﹣2＝0，得x＝1或x＝﹣2，∴充分性不成立， ②当x＝1时，x2+x﹣2＝0，∴必要性成立， ∴x2+x﹣2＝0是x＝1的必要不充分条件， 故选：B． 4．【解答】解：∵x2﹣3x＜0，∴0＜x＜3， ∵{x|1＜x＜2}⊊{x|0＜x＜3}， ∴x2﹣3x＜0是1＜x＜2的必要不充分条件． 故选：C． 5．【解答】解：对于A，ab2＞cb2成立时，b2＞0，所以a＞c，充分性成立； a＞c时，b2≥0，不能得出ab2＞cb2，所以必要性不成立； 是充分不必要条件，A错误． 对于B，a＞1时，1成立，即充分性成立； 1时，1＜0，解得a＜0或a＞1，必要性不成立； 是充分不必要条件，B正确． 对于C，ax2+bx+c≥0对x∈R恒成立时，或a＝b＝0，c≥0； b2﹣4ac≤0时，不等式ax2+bx+c≥0对x∈R不恒成立， 是既不充分也不必要条件，C错误． 对于D，a＜1时，方程x2+x+a＝0不一定有实数根， 如a，△＝1﹣41＜0，方程无实根，所以充分性不成立； 方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根时，a＜0，所以a＜1，必要性成立； 是必要不充分条件，D正确． 故选：BD． 6．【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若x2＞4，则x＞2或x＜﹣2，则“x＜﹣2”不一定成立，反之若“x＜﹣2”，必有“x2＞4”，故“x2＞4”是“x＜﹣2”的必要不充分条件，A正确； 对于B，若“x为无理数”，则“x2不一定为无理数”，如x，反之“x2为无理数”，则“x为无理数”，故“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件，B正确； 对于C，若“a2+b2≠0”，则“a、b不全为0”，反之若“a、b不全为0”，则“a2+b2≠0”，故若a、b∈R，则“a2+b2≠0”是“a、b不全为0”的充要条件，C正确； 对于D，在△ABC中，若“AB2+AC2＝BC2”，则∠A＝90°，故“△ABC为直角三角形”，反之不一定成立，故“AB2+AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件，D错误； 故选：ABC． 7．【解答】解：由，得，解得：0≤x＜2， 故”的充分条件有（0，2），[0，2）， 故选：AC． 8．【解答】解：对于A，x＜1时，x2有可能大于1，比如﹣3＜1，（﹣3）2＞1，故A错误； 对于B，0＜x＜1⇒x2＜1，故B正确； 对于C，﹣1＜x＜1⇔x2＜1，故C错误． 对于D，﹣1＜x＜0⇒x2＜1，故D正确；故选：BD． 9．【解答】解：∵p是q的充分不必要条件， ∴（﹣1，3）⫋（﹣1，m+2）， 则m+2＞3，即m＞1， 即实数m的取值范围是（1，+∞）， 故答案为：（1，+∞） 10．【解答】解：p：x2﹣3x﹣4≤0⇒（x+1）（x﹣4）≤0，解得﹣1≤x≤4， q：|x﹣3|≤m，解得3﹣m≤x≤m+3， ∵p是q的充分不必要条件， ∴，解得m≥4， 则实数m的取值范围是[4，+∞）， 故答案为：[4，+∞）． 11．【解答】解：p：m﹣1≤x≤2m+1，q：2≤x≤3， 因为q是p的充分不必要条件，所以[2，3]⫋[m﹣1，2m+1]， 则，解得：1≤m≤3． 故答案为：1≤m≤3． 12．【解答】解：设A＝{x|x＞a}，B＝{x|x＞3}， （1）∵p是q的必要不充分条件，∴B⫋A， ∴a＜3． （2）∵p是q的充分不必要条件，∴A⫋B， ∴a＞3． 1．【解答】解：A，有一个，存在性量词，特称命题， B，至少存在一个，存在性量词，特称命题， C，有些，存在性量词，特称命题， D，每个，全称量词，全称命题， 故选：D． 2．【解答】解：对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题； 对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题； 对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题； 对于（4），对于任意x∈R，总有，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题． 所以存在量词命题的序号是（1），有1个． 故选：B． 3．【解答】解：因为x∈R，所以x2≥0，所以∀x∈R，有x2≥0， 故选：B． 4．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≠0． 故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0． 5．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是：∃x0∈（1，2），x02≤1． 故答案为：∃x0∈（1，2），x02≤1． 6．【解答】解：命题“∀x∈R，ax2+4x﹣1＜0”是假命题， 它的否定命题：“∃x∈R，ax2+4x﹣1≥0”是真命题； 当a＝0时，不等式化为4x﹣1≥0，解得x，满足题意； 当a≠0时，若x2＞0，则不等式化为a4， 所以a≥﹣4，且a≠0； 综上知，实数a的取值范围是[﹣4，+∞）． 故选：C． 7．【解答】解：“∃x∈R，x2+ax﹣4a＝0”为假命题等价于“方程x2+ax﹣4a＝0无实根”， 即△＝a2+16a＜0，∴﹣16＜a＜0． 故选：B． 8．【解答】解：由题意得，mx2+2mx﹣2＜0恒成立， 当m＝0时，﹣2＜0恒成立，符合题意； 当m≠0时，有，解得﹣2＜m＜0， 综上﹣2＜m≤0． 故选：B． 9．【解答】解：当λ＝0时，不等式为1＞0恒成立，符合题意； 当λ≠0时，则有，解得0＜λ＜4； 综上可得，0＜＜λ≤4． 故选：C． 10．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+ax+1＞0”是假命题， 则△＝a2﹣4≥0，解得a≥2或a≤﹣2． 故a∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． 故选：D． 11．【解答】解：命题“∃x∈R，（k2﹣1）x2+4（1﹣k）x+3≤0”是假命题， 则命题“∀x∈R，（k2﹣1）x2+4（1﹣k）x+3＞0”是真命题， 当k＝1时，3＞0恒成立． 当，解得1＜k＜7． 故k的取值范围为：1≤k＜7． 故选：B． 12．【解答】解：若：∃x∈R，x2+2x+2﹣a＝0为真命题， 则判别式△≥0， 即4﹣4（2﹣a）≥0， 解得a≥1， 故选：AC． 1．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”为全称命题， ∴命题的否定为：∃x∈R，x2﹣2x+1＜0， 故选：C． 2．【解答】解：因为x∈R，所以x2≥0，所以∀x∈R，有x2≥0， 故选：B． 3．【解答】解：∵B是全称命题，其否定为特称命题，故排除， A是特称命题，其否定为：∀x∈R，0，即（x）2≥0为真命题， C是特称命题，其否定为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，即（x+1）2+1＞0为真命题， D是特称命题，其否定为：任意实数x，都有x3+1≠0，﹣1代入不成立，为假命题， 故选：AC． 4．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使4x2+（a﹣2）x0”是假命题， ∴命题“∀x∈R，使4x2+（a﹣2）x0”是真命题， 即判别式△＝（a﹣2）2﹣4×40， 即△＝（a﹣2）2≤4， 则﹣2≤a﹣2≤2，即0≤a≤4， 故选：B． 5．【解答】解：若p：∀x∈R，x2+x+a≥0，是真命题，则△＝1﹣4a≤0，解得a； 故a的取值范围是：a； 故答案为：[，+∞）． 6．【解答】解：由于命题“存在x0∈R，使x2﹣2x﹣m≤0”为假命题， 故：“对于∀x∈R，都有x2﹣2x﹣m＞0恒成立”为真命题． 故：△＝4+4m＜0， 解得：m＜﹣1． 故：m的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：A． 7．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+2x+a≥0”是假命题， ∴∃x∈R，x2+2x+a＜0是真命题， 即a＜﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1≤1， ∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）， 故答案为：（﹣∞，1）． 1．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3﹣x2+1＞0 故选：B． 2．【解答】解：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词， 常见的存在量词还有：“有些”，“有一个”，“对某个”，“有”表示存在量词， 用符号的“彐”表示，特称命题的定义． A、∃x0∈R，x02+2x0+2＜0，△＝4﹣8＝﹣4＜0，错误． B、∃x0∈R，x02+x0＝﹣1，x02+x0+1＝0，△＝1﹣4＝﹣3＜0，错误． C、∀x∈R，x2﹣x0，x时x2﹣x0，错误． D、∀x∈R，﹣x2﹣1＜0，x2+1＞0，正确． 故选：D． 3．【解答】解：因为命题p：∀x∈R，x2+ax+1≥0为真命题， 所以△≤0，即a2﹣4≤0，即﹣2≤a≤2． 故选：C． 4．【解答】解：命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即“∃x∈R，ax2﹣2ax+3≤0成立”是真命题 ①． 当a＝0时，①不成立， 当a≠0 时，要使①成立，必须a＜0或， ∴a＜0或a≥3 故答案为：（﹣∞，0）∪[3，+∞）． 5．【解答】解：∵命题“∃x0∈R，2x02+2ax0+1＜0”是假命题， ∴命题“∀x∈R，2x2+2ax+1≥0”是真命题， ∴△＝4a2﹣8≤0， 解得a． 则实数a的取值范围是[，]． 故答案为：[，]． 6．【解答】解：若命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题， 则判别式△＝4﹣4a≥0， 即a≤1， 故答案为：（﹣∞，1]． $$