1. 简谐运动（高效培优讲义）物理人教版2019选择性必修第一册

1. 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 弹簧振子 1 题型2 弹簧振子的位移—时间图像 2 题型3 简谐运动 6 【能力培优练】 9 【链接高考】 14 【重难题型讲解】 题型1 弹簧振子 1、机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。 （1）有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置。 （2）运动具有往复性。 2、弹簧振子 （1）弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。 （2）弹簧振子是一种理想模型：①小球看成质点；②不计阻力；③忽略弹簧的质量；④弹簧始终在弹性限度内。 3、平衡位置：振子原来静止时的位置。 （1）位于平衡位置时，小球所受合力为0。 （2）经过平衡位置时，小球速度最快。 ★特别提醒 实际物体看作弹簧振子的四个条件 （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。 （2）构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。 （3）忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。 （4）小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。 【探究归纳】弹簧振子是由轻质弹簧和小球组成的理想化振动系统，小球在弹簧弹力作用下做往复运动，弹力是回复力。 【典例1-1】关于弹簧振子，以下说法正确的是（　　） A．弹簧振子是研究机械振动的物理模型 B．小球的质量远小于弹簧的质量 C．弹簧的质量不需要很轻 D．弹簧和小球组成的系统机械能不守恒 【典例1-2】（多选）下列运动中属于机械振动的是（　　） A．人趴在地上做俯卧撑 B．水塘里的芦苇在微风作用后的左右摆动 C．五星红旗迎风飘扬 D．钓鱼时浮标在水中的上下浮动 跟踪训练1下列运动中属于机械振动的是（　　） A．人趴在地上做俯卧撑 B．水塘里的芦苇在微风作用后的左右摆动 C．五星红旗迎风飘扬 D．乒乓球在乒乓球桌上上下跳动 跟踪训练2（多选）质点以O为平衡位置，在A、B间作简谐振动，以下说法中错误的是(    ) A．质点离开平衡位置O作匀减速运动 B．质点通过O点时，加速度方向发生改变 C．回复力的方向总跟质点的速度方向相反 D．质点在A和B处的加速度为零 题型2 弹簧振子的位移—时间图像 1、弹簧振子的位移 （1）振子在某时刻的位移：从平衡位置指向振子在该时刻位置的有向线段；若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移为负。 （2）振子在某段时间内的位移：由初位置指向末位置的有向线段。 （3）振子在某时刻的位移与在某段时间内的位移的区别：振子在某时刻的位移方向总是背离平衡位置；如图所示，振子在AA′之间振动，O为平衡位置，t1时刻振子在M点的位移为xM，t2时刻振子在N点的位移为xN，而振子在Δt＝t2－t1时间内的位移为xMN，方向如右图所示． ★特别提醒 通常说的振子的位移是指某时刻的位移，即振子相对平衡位置的位移；因此在研究振动时，字母x具有双重含义：它既表示小球的位置(坐标)，又表示振子在某时刻的位移。 2、弹簧振子的位移—时间图像 （1）用横坐标表示振子运动的时间（t），纵坐标表示振子离开平衡位置的位移（x），描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图所示。 （2）图像的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它不是振子的运动轨迹。 3、弹簧振子的位移—时间图像的应用 （1）任一时刻质点离开平衡位置的位移：某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示；如图所示，在t1时刻振子的位移为x1；t4时刻振子的位移为－x4。 ★特别提醒 振子在两端点的位移最大(如上图中的t2、t5时刻)，在平衡位置的位移为零(如上图中的t3时刻)，此时位移即将改变方向。 （2）速度跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反；如图所示，在x坐标轴上，设O点为平衡位置，A、B为位移最大处，则在O点速度最大，在A、B两点速度为零。 ★特别提醒 （1）弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置，比如弹簧振子竖直放置的时候，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。 （2）速度和位移是彼此独立的两个物理量，如振动物体通过同一个位置，其位移的方向是一定的，而其速度方向却有两种可能（两个“端点”除外）：指向或背离平衡位置，且振子在两“端点”速度改变方向)。 （3）弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧振子，在平衡位置处，弹簧不一定处于原长（如竖直放置的弹簧振子），但运动方向上的合外力一定为零，速度也一定最大。 【探究归纳】弹簧振子的位移 — 时间图像是正弦（或余弦）曲线，直观反映位移随时间的周期性变化：横轴为时间，纵轴为偏离平衡位置的位移，正负表示方向。图像斜率表示速度（斜率为正速度正向，为零速度为零），可直接读取周期、振幅，是分析简谐运动规律的重要工具，体现振动的对称性与周期性。 【典例2-1】如图所示，O为弹簧振子的平衡位置，时刻把小球向右拉到C点静止释放。以水平向右为正方向，下列描述小球相对O点的位移x、小球的速度v随时间t变化的关系图像，小球的加速度a、所受回复力F随位移x变化的关系图像中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例2-2】（多选）如图，轻弹簧一端连接质量为m的物体A，另一端固定在竖直墙面上，A通过轻绳跨过轻质定滑轮与质量为m的物体B连接，绳、弹簧与光滑水平桌面平行，A离滑轮足够远、B离地面足够高。初始时A位于O点，弹簧处于原长。现将A由静止释放，设A相对O点的位移为x、速度为v、加速度为a、运动时间为t，弹簧弹力大小为F，轻绳张力大小为T，重力加速度为g。从开始运动到A第一次回到O点，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练1一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O点为振子的平衡位置，如图所示。规定向右为正方向，当振子向左运动经过O点时开始计时，则图中画出的振动图像正确的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2（多选）弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图所示，下列说法正确的是（　　） A．时，振子的速度方向向左 B．时振子正在做加速度增大的减速运动 C．和时，振子的加速度完全相同 D．到的时间内，振子的速度逐渐减小 跟踪训练3如图所示是某质点做简谐运动的振动图象．根据图象中的信息，回答下列问题： (1)质点离开平衡位置的最大距离有多大？ (2)质点在10 s末和20 s末的位移是多少？ (3)质点在15 s和25 s末向什么方向运动？ (4)质点在前30 s内的运动路程是多少？ 题型3 简谐运动 1、简谐运动定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x−t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。 2、简谐运动的图像：表示一个振子不同时刻所在的位置或者一个振子位移随时间的变化规律。 （1）描述振动物体的位移随时间的变化规律。 （2）简谐运动的图像是正弦曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势。 3、简谐运动图象应用 （1）任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。 （2）任意时刻质点的振动方向:看下一时刻质点的位置,如图乙中a点,下一时刻离平衡位置更远,故a点此刻向上振动。图乙中b点,下一时刻离平衡位置更近,故b此刻向上振动。 （3）斜率：该时刻速度的大小和方向。 4、简谐运动的对称性 如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有： （1）时间的对称：tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA。 （2）速度的对称: ①物体连续两次经过同一点（如D点）的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点（如C与D两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 （3）位移和加速度的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移和加速度均相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移与加速度均大小相等，方向相反。 （4）动能、势能、机械能的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)时的动能、势能、机械能均相等。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时的动能、势能、机械能均相等。 5、简谐运动的规律 O→B B→O O→A A→O 时间 0→t1 t1→t2 t2→t3 t3→t4 速度v 减小 增大 减小 增大 速度方向 向右（正） 向左（负） 向左（负） 向右（正） 加速度a 增大 减小 增大 减小 加速度方向 向左（负） 向左（负） 向右（正） 向右（正） 路程 A A A A 位移 增大 减小 增大 减小 位移的正负 正 正 负 负 ★特别提醒 判断一个振动为简谐运动的方法 （1）通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。 （2）对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受的回复力是否满足F=-kx 进行判断。 （3）根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a=-x是进行判断。 【探究归纳】简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种往复运动。弹簧振子的运动就是简谐运动。简谐运动的位移—时间图像是正弦函数。 【典例3-1】关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是（　　） A．简谐运动是匀变速运动 B．周期越大，说明物体做简谐运动越快 C．位移减小时，加速度减小，速度增大 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 【典例3-2】（多选）如图，在水平地面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，A质量为0.4 kg，B质量为0.8 kg，弹簧的劲度系数k=40 N/m。现将一个质量也为0.4 kg的物体C从A的正上方一定高度处由静止释放，C和A相碰后立即粘在一起，之后在竖直方向做简谐运动。在简谐运动过程中，物块B对地面的最小弹力为6 N，则（　　） A．物块AC做简谐运动的振幅为0.2 m B．弹簧的最大压缩量为0.4 m C．B对地面的最大压力为26 N D．弹簧压缩量为0.15 m和0.25 m时，物块AC加速度大小相等，方向相反 跟踪训练1请判定以下物体运动中不是简谐运动的是（　　） A．图甲中，倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开 B．图乙中，竖直浮在水中的均匀木筷，下端绕几圈铁丝，把木筷往上提起一段距离后放手 C．图丙中，光滑圆弧面上的小球，从最低点移开很小一段距离，放手后，小球在最低点左右运动 D．图丁中，倾角均为θ的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两斜面间来回运动 跟踪训练2（多选）弹簧振子做简谐运动，以下说法正确的是（　　） A．若位移为负，则速度和加速度必为正 B．若位移为正，则加速度必为负，速度可正可负 C．振子每次通过同一位置时，加速度和速度都分别相同 D．振子每次通过同一位置时，加速度相同，速度不一定相同 【能力培优练】 1．光滑斜面上的小球连在弹簧上，如图所示，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动。对简谐运动中的小球受力分析，正确的是（　　） A．重力、支持力、弹力、摩擦力 B．重力、支持力、弹力、回复力 C．重力、支持力、回复力 D．重力、支持力、弹力 2．做简谐运动的物体，当相对于平衡位置的位移为负值时（　　） A．速度一定为正值，加速度一定为负值 B．速度一定为负值，加速度一定为正值 C．速度不一定为正值，加速度一定为正值 D．速度不一定为负值，加速度一定为负值 3．对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是（　　）    ①甲：倾角为的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略 ②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 ③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（）之间来回运动 ④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动 A．只有① B．只有①② C．只有①②③ D．都可以 4．如图所示，小球在光滑水平面上以O为平衡位置，在A、B之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球在O点速度最大 B．小球在A点速度最大 C．小球在B点加速度最小 D．小球在B点回复力最小 5．如图，将一轻质弹簧一端固定在地面上竖直放置，原长为2L。不用考虑弹簧倾倒情形发生。将一质量为m的小球A刚好与弹簧上端接触由静止释放，小球运动到最低点时距地面高度为L。现移走A球，将另一质量为的小球B放在该弹簧上端并不与弹簧粘连，在外力作用下将小球向下压至距地面L高度处，再由静止释放小球。以上各情形中小球均可看作质点，不计空气阻力，弹簧均在弹性限度范围以内。则以下说法正确的是（    ） A．小球A、B由静止释放后均作简谐运动 B．小球A的最大动能为 C．小球B运动至地面高度处时动能最大 D．小球B运动距地面的最大高度为4L 6．关于机械振动的位移、振幅和平衡位置，以下说法中正确的是（    ） A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置 B．机械振动的位移是以计时起点所在位置为起点的位移 C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大 D．机械振动的振幅是指振动物体偏离平衡位置最远时的距离 7．如图甲所示，一质量为m＝0.4kg的物块放置在倾角为的光滑斜面底端，时刻对物块施加一沿斜面方向的外力F，外力F随位移x变化的图像如图乙所示，规定沿斜面向上为F的正方向，若物块从开始运动到第一次速度变为0所用时间为4s，重力加速度g取，则从物块开始运动至运动到处所用的时间可能为（    ） A．4s B．8s C．10s D．12s 8．简谐运动是一种简单、协调、自洽的运动，拥有完美的对称性，它的速度随位移变化图线应为（　　） A． B． C． D． 9．（多选）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．若位移为负值，则加速度一定为正值 B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大 C．振子每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同 D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同 10．（多选）某质点做简谐运动的图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．t1、t2时刻的速度相同 B．从t1到t2这段时间内，速度与加速度同向 C．从t2到t3这段时间内，速度变大，加速度变小 D．t1和t3时刻的加速度相同 11．（多选）如图所示，一轻弹簧下端固定在倾角为的固定斜面底端，弹簧处于原长时上端位于斜面上的B点，斜面上B点以上粗糙、以下光滑，质量为m的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，沿斜面下滑后压缩弹簧。已知A、B间的距离为L，滑块与粗糙部分的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，不计空气阻力，弹簧劲度系数为k且始终在弹性限度内，下列正确的是（    ）    A． B．弹簧的最大压缩量为 C．滑块沿斜面下滑后，最终将处于平衡状态 D．滑块沿斜面运动的过程中，因摩擦产生的热量为 12．（多选）如图，质量为m的小球穿在固定光滑杆上，与两个完全相同的轻质弹相连。开始时将小球控制在杆上的A点，弹簧1竖直且处于原长，弹簧2处于水平伸长状态，两弹簧可绕各自转轴O1，O2无摩擦转动。B为杆上的另一个点，与O1、A、O2构成矩形，AB=2AO1。 现将小球从A点释放，两弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．小球沿杆在AB之间做简谐运动 B．与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短 C．小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零 D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2的弹性势能先减小后增大 13．如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1=k，k2=2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置（不计阻力），试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。    14．如图所示，在倾角为的固定光滑斜面上，为一固定挡板，轻质弹簧的一端连接物体，另一端固定在挡板上。物体在上方斜面的某处。用力控制、保持静止，且使弹簧处于自然状态，现同时释放物体、，物体完成一次全振动，经过时间时，和恰好相碰且粘为一体。物体的质量为，物体的质量为2m。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为，重力加速度为。求： (1)释放前物体、间的距离； (2)和粘为一体后的最大速度； (3)若和达到物体释放位置上方处时其速度恰好为零，则运动过程中弹簧弹力的最大值与的关系。 【链接高考】 1．（2024·广西来宾·模拟预测）如图甲所示，有一电荷均匀分布的固定金属圆环，圆心为O，轴线上的电场强度分布如图乙所示。现有一带负电的粒子（重力不计）由轴线上的P点运动到Q点，并且OP＝OQ＝L。以x轴的正向为电场强度的正方向，关于粒子由P运动到Q的过程分析，下列说法正确的是（　　） A．金属圆环带负电 B．带电粒子在O点时加速度最大 C． D．带电粒子在P与Q间做简谐运动 2．（2025·河北·高考真题）（多选）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．左侧小物块沿斜面做简谐运动 B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大 C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等 D．若增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长 3．（2024·福建南平·三模）（多选）如图，轻弹簧一端连接质量为m的物体A，另一端固定在竖直墙面上，A通过轻绳跨过轻质定滑轮与质量为m的物体B连接，绳、弹簧与光滑水平桌面平行，A离滑轮足够远、B离地面足够高。初始时A位于O点，弹簧处于原长。现将A由静止释放，设A相对O点的位移为x、速度为v、加速度为a、运动时间为t，弹簧弹力大小为F，轻绳张力大小为T，重力加速度为g。从开始运动到A第一次回到O点，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）（多选）如图所示，正方体的边长为l，在其两个侧面的中心、处分别固定电荷量均为Q的正电荷，M、N、G、P分别是CD、AB、、的中点，、的连线与平面MNGP交于点O，过O作MP的平行线交MN于F。下列说法正确的是（　　） A．若在F点放置一电子，则D点电势低于点电势 B．若在F点由静止释放一电子，电子到达O点前加速度将一直减小 C．若一电子由点M沿MG运动到G点，电子电势能先减小后增大 D．在、连线上，取关于点O对称两点S、，S、间距离远小于l，若从S点由静止释放一带正电不计重力的粒子，粒子做简谐运动 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1. 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 弹簧振子 1 题型2 弹簧振子的位移—时间图像 3 题型3 简谐运动 9 【能力培优练】 14 【链接高考】 24 【重难题型讲解】 题型1 弹簧振子 1、机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。 （1）有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置。 （2）运动具有往复性。 2、弹簧振子 （1）弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。 （2）弹簧振子是一种理想模型：①小球看成质点；②不计阻力；③忽略弹簧的质量；④弹簧始终在弹性限度内。 3、平衡位置：振子原来静止时的位置。 （1）位于平衡位置时，小球所受合力为0。 （2）经过平衡位置时，小球速度最快。 ★特别提醒 实际物体看作弹簧振子的四个条件 （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。 （2）构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。 （3）忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。 （4）小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。 【探究归纳】弹簧振子是由轻质弹簧和小球组成的理想化振动系统，小球在弹簧弹力作用下做往复运动，弹力是回复力。 【典例1-1】关于弹簧振子，以下说法正确的是（　　） A．弹簧振子是研究机械振动的物理模型 B．小球的质量远小于弹簧的质量 C．弹簧的质量不需要很轻 D．弹簧和小球组成的系统机械能不守恒 【答案】A 【详解】A．弹簧振子是研究机械振动的物理模型，故A正确； BC．弹簧的质量需要很轻，小球的质量远大于弹簧的质量，故BC错误； D．弹簧和小球组成的系统机械能守恒，故D错误。 故选A。 【典例1-2】（多选）下列运动中属于机械振动的是（　　） A．人趴在地上做俯卧撑 B．水塘里的芦苇在微风作用后的左右摆动 C．五星红旗迎风飘扬 D．钓鱼时浮标在水中的上下浮动 【答案】BD 【详解】AC．物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，人趴在地上做俯卧撑和五星红旗迎风飘扬都缺少特定的平衡位置，所以不属于机械振动，故AC不符合题意； B．水塘里的芦苇在微风作用后的左右摆动，其平衡位置是无风时芦苇静止时的竖直位置，则芦苇的摆动是在平衡位置附近的往复运动，属于机械振动，故B符合题意； D．钓鱼时浮标在水中的上下浮动，其平衡位置是浮标静止在水面上时的位置，则浮标的上下浮动是在平衡位置附近的往复运动，属于机械振动，故D符合题意。 故选BD。 跟踪训练1下列运动中属于机械振动的是（　　） A．人趴在地上做俯卧撑 B．水塘里的芦苇在微风作用后的左右摆动 C．五星红旗迎风飘扬 D．乒乓球在乒乓球桌上上下跳动 【答案】B 【详解】AC．物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，人趴在地上做俯卧撑和五星红旗迎风飘扬都缺少确定的平衡位置，所以不属于机械振动，AC错误； B．水塘里的芦苇在微风作用后的左右摆动，其平衡位置是无风时芦苇静止时的竖直位置，则芦苇的摆动是在平衡位置附近的往复运动，属于机械振动，B正确； D．乒乓球静止时在桌面位置，那么乒乓球在乒乓球桌上上下跳动不是在平衡位置附近的往复运动，与机械振动的定义不符，D错误。 故选B。 跟踪训练2（多选）质点以O为平衡位置，在A、B间作简谐振动，以下说法中错误的是(    ) A．质点离开平衡位置O作匀减速运动 B．质点通过O点时，加速度方向发生改变 C．回复力的方向总跟质点的速度方向相反 D．质点在A和B处的加速度为零 【答案】ACD 【详解】A.由做简谐振动质点的回复力F=-kx知，做简谐振动质点的加速度a=-x，则质点离开平衡位置O作变减速运动，故选项A符合题意； B.做简谐振动质点通过平衡位置O点时，位移方向发生改变，而质点的加速度a=-x，则加速度方向发生改变，故选项B不合题意； C.做简谐振动质点的回复力总跟质点的位移方向相反；当质点由端点A、B向平衡位置振动时，回复力的方向跟质点的速度方向相同，故选项C符合题意； D.质点在A和B处位移最大，加速度最大，故选项D符合题意． 题型2 弹簧振子的位移—时间图像 1、弹簧振子的位移 （1）振子在某时刻的位移：从平衡位置指向振子在该时刻位置的有向线段；若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移为负。 （2）振子在某段时间内的位移：由初位置指向末位置的有向线段。 （3）振子在某时刻的位移与在某段时间内的位移的区别：振子在某时刻的位移方向总是背离平衡位置；如图所示，振子在AA′之间振动，O为平衡位置，t1时刻振子在M点的位移为xM，t2时刻振子在N点的位移为xN，而振子在Δt＝t2－t1时间内的位移为xMN，方向如右图所示． ★特别提醒 通常说的振子的位移是指某时刻的位移，即振子相对平衡位置的位移；因此在研究振动时，字母x具有双重含义：它既表示小球的位置(坐标)，又表示振子在某时刻的位移。 2、弹簧振子的位移—时间图像 （1）用横坐标表示振子运动的时间（t），纵坐标表示振子离开平衡位置的位移（x），描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图所示。 （2）图像的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它不是振子的运动轨迹。 3、弹簧振子的位移—时间图像的应用 （1）任一时刻质点离开平衡位置的位移：某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示；如图所示，在t1时刻振子的位移为x1；t4时刻振子的位移为－x4。 ★特别提醒 振子在两端点的位移最大(如上图中的t2、t5时刻)，在平衡位置的位移为零(如上图中的t3时刻)，此时位移即将改变方向。 （2）速度跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反；如图所示，在x坐标轴上，设O点为平衡位置，A、B为位移最大处，则在O点速度最大，在A、B两点速度为零。 ★特别提醒 （1）弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置，比如弹簧振子竖直放置的时候，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。 （2）速度和位移是彼此独立的两个物理量，如振动物体通过同一个位置，其位移的方向是一定的，而其速度方向却有两种可能（两个“端点”除外）：指向或背离平衡位置，且振子在两“端点”速度改变方向)。 （3）弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧振子，在平衡位置处，弹簧不一定处于原长（如竖直放置的弹簧振子），但运动方向上的合外力一定为零，速度也一定最大。 【探究归纳】弹簧振子的位移 — 时间图像是正弦（或余弦）曲线，直观反映位移随时间的周期性变化：横轴为时间，纵轴为偏离平衡位置的位移，正负表示方向。图像斜率表示速度（斜率为正速度正向，为零速度为零），可直接读取周期、振幅，是分析简谐运动规律的重要工具，体现振动的对称性与周期性。 【典例2-1】如图所示，O为弹簧振子的平衡位置，时刻把小球向右拉到C点静止释放。以水平向右为正方向，下列描述小球相对O点的位移x、小球的速度v随时间t变化的关系图像，小球的加速度a、所受回复力F随位移x变化的关系图像中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．向右为正方向，时刻，小球在右方最大位移处，位移是正向最大，A错误； B．由 可知振子的加速度随位移变化的图像为斜向下的直线，B正确； C．小球运动过程中，合力 可知振子的回复力随位移变化的图像为斜向下的直线，C错误； D．小球运动过程中加速度大小不是恒定的，不会做匀变速运动，D错误。 故选B。 【典例2-2】（多选）如图，轻弹簧一端连接质量为m的物体A，另一端固定在竖直墙面上，A通过轻绳跨过轻质定滑轮与质量为m的物体B连接，绳、弹簧与光滑水平桌面平行，A离滑轮足够远、B离地面足够高。初始时A位于O点，弹簧处于原长。现将A由静止释放，设A相对O点的位移为x、速度为v、加速度为a、运动时间为t，弹簧弹力大小为F，轻绳张力大小为T，重力加速度为g。从开始运动到A第一次回到O点，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A．将A、B视为一个整体，在B的重力和弹簧弹力作用下，加速度随位移线性变化，做简谐运动。A错误； BC．根据简谐运动规律可知，从开始运动到A第一次回到O点过程中，物体先做加速度减小的加速运动，当弹簧弹力为时，加速度为0，速度最大，之后做加速度增大的减速运动，当速度为0时，弹簧的弹力为，此时相对点位移最大，B正确；C正确； D．当初始释放时，A、B的加速度为 解得 对B隔离分析可知 解得 由于物块并不是做匀变速直线运动，则弹力随时间非线性变化，则整体加速度非线性变化，则绳张力非线性变化，D错误。 故选BC。 跟踪训练1一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O点为振子的平衡位置，如图所示。规定向右为正方向，当振子向左运动经过O点时开始计时，则图中画出的振动图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，因为向右为正方向，且振子向左运动经过O点时开始计时，所以t=0时刻图像的斜率应为负，故B正确。 故选B。 跟踪训练2（多选）弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图所示，下列说法正确的是（　　） A．时，振子的速度方向向左 B．时振子正在做加速度增大的减速运动 C．和时，振子的加速度完全相同 D．到的时间内，振子的速度逐渐减小 【答案】AB 【详解】A．从振子的位移—时间图像可以看出，时，振子经过平衡位置向负方向运动，取向右为正方向，所以振子速度方向向左，故A正确。 B．时，振子处在从平衡位置向右侧最大位移处运动的过程中，离平衡位置越远，加速度越大，振子做的是加速度增大的减速运动，故B正确。 C．时，振子处在正向最大位移处，加速度向左，时，振子处在负向最大位移处，加速度向右，虽然两个位置加速度大小相等，但方向相反，故C错误。 D．到的时间内，振子从正向最大位移处向平衡位置运动，振子速度逐渐增大，故D错误。 故选AB。 跟踪训练3如图所示是某质点做简谐运动的振动图象．根据图象中的信息，回答下列问题： (1)质点离开平衡位置的最大距离有多大？ (2)质点在10 s末和20 s末的位移是多少？ (3)质点在15 s和25 s末向什么方向运动？ (4)质点在前30 s内的运动路程是多少？ 【答案】(1)20 cm　(2)20 cm　0　(3)负方向　负方向　(4)60 cm 【分析】x的最大值表示质点离开平衡位置的最大距离，即振幅；质点在10 s末在最大位移处，20 s末在平衡位置；15s末质点位移为正，15s后的一段时间，位移逐渐减小，故质点在15 s末向负方向运动，同理可知，25s末质点也向负方向运动；前30 s质点先是由平衡位置沿正方向运动了20cm，又返回平衡位置，最后又到达负方向20 cm处，从而得出路程． 【详解】(1)质点离开平衡位置的最大距离等于最大位移的大小，由图看出，此距离为20cm． (2)质点在10s末的位移x1＝20cm,20s末的位移x2＝0． (3)15s末质点位移为正，15s后的一段时间，位移逐渐减小，故质点在15 s末向负方向运动，同理可知，25s末质点也向负方向运动． (4)前30 s质点先是由平衡位置沿正方向运动了20cm，又返回平衡位置，最后又到达负方向20 cm处，故30s内的总路程为60cm． 题型3 简谐运动 1、简谐运动定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x−t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。 2、简谐运动的图像：表示一个振子不同时刻所在的位置或者一个振子位移随时间的变化规律。 （1）描述振动物体的位移随时间的变化规律。 （2）简谐运动的图像是正弦曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势。 3、简谐运动图象应用 （1）任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。 （2）任意时刻质点的振动方向:看下一时刻质点的位置,如图乙中a点,下一时刻离平衡位置更远,故a点此刻向上振动。图乙中b点,下一时刻离平衡位置更近,故b此刻向上振动。 （3）斜率：该时刻速度的大小和方向。 4、简谐运动的对称性 如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有： （1）时间的对称：tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA。 （2）速度的对称: ①物体连续两次经过同一点（如D点）的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点（如C与D两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 （3）位移和加速度的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移和加速度均相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移与加速度均大小相等，方向相反。 （4）动能、势能、机械能的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)时的动能、势能、机械能均相等。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时的动能、势能、机械能均相等。 5、简谐运动的规律 O→B B→O O→A A→O 时间 0→t1 t1→t2 t2→t3 t3→t4 速度v 减小 增大 减小 增大 速度方向 向右（正） 向左（负） 向左（负） 向右（正） 加速度a 增大 减小 增大 减小 加速度方向 向左（负） 向左（负） 向右（正） 向右（正） 路程 A A A A 位移 增大 减小 增大 减小 位移的正负 正 正 负 负 ★特别提醒 判断一个振动为简谐运动的方法 （1）通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。 （2）对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受的回复力是否满足F=-kx 进行判断。 （3）根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a=-x是进行判断。 【探究归纳】简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种往复运动。弹簧振子的运动就是简谐运动。简谐运动的位移—时间图像是正弦函数。 【典例3-1】关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是（　　） A．简谐运动是匀变速运动 B．周期越大，说明物体做简谐运动越快 C．位移减小时，加速度减小，速度增大 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 【答案】C 【详解】A．简谐运动受到的回复力是变力，加速度变化，所以简谐运动不是匀变速运动，A错误； B．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，周期越大，说明物体做简谐运动越慢，B错误； C．当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，C正确； D．根据可知加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反，D错误。 故选C。 【典例3-2】（多选）如图，在水平地面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，A质量为0.4 kg，B质量为0.8 kg，弹簧的劲度系数k=40 N/m。现将一个质量也为0.4 kg的物体C从A的正上方一定高度处由静止释放，C和A相碰后立即粘在一起，之后在竖直方向做简谐运动。在简谐运动过程中，物块B对地面的最小弹力为6 N，则（　　） A．物块AC做简谐运动的振幅为0.2 m B．弹簧的最大压缩量为0.4 m C．B对地面的最大压力为26 N D．弹簧压缩量为0.15 m和0.25 m时，物块AC加速度大小相等，方向相反 【答案】CD 【详解】A．物体B对地面的弹力最小时B受到的支持力最小，此时弹簧对B的作用力为拉力，对B 解得 x1=0.05m 平衡位置 解得 x2=0.2m 所以物块AC做简谐运动的振幅为 故A错误； B．根据对称性可知，弹簧的最大压缩量为 故B错误； C．B对地面的最大压力为 故C正确； D．根据对称性可知，平衡位置在压缩量为0.2m处，所以弹簧压缩量为0.15 m和0.25 m时，物块AC加速度大小相等，方向相反，故D正确。 故选CD。 跟踪训练1请判定以下物体运动中不是简谐运动的是（　　） A．图甲中，倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开 B．图乙中，竖直浮在水中的均匀木筷，下端绕几圈铁丝，把木筷往上提起一段距离后放手 C．图丙中，光滑圆弧面上的小球，从最低点移开很小一段距离，放手后，小球在最低点左右运动 D．图丁中，倾角均为θ的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两斜面间来回运动 【答案】D 【详解】A．把图甲中倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，小球的往复运动，与弹簧振子的运动规律相似，满足 F= -kx 为简谐运动。故A正确，与题意不符； B．如果不考虑水的粘滞阻力，木筷受力情况是，受到重力和水的浮力。重力恒定不变，浮力与排开水的体积成正比，木筷静止时位置看做平衡位置。由此可知以平衡位置为坐标原点，木筷所受合力与其偏离平衡位置的位移成正比，且方向相反，则可以判定木筷做简谐运动。故B正确，与题意不符； C．小球的受力情况是，受到重力和圆弧面的支持力。重力恒定不变，支持力始终与运动方向垂直。这样，就与单摆具有类似的运动，从而判定小球做简谐运动。故C正确，与题意不符； D．图丁中，倾角均为θ的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两斜面间来回运动，重力沿斜面的分力提供回复力，但该力大小不变，不与位移成正比。故小球的运动不是简谐运动。故D错误，与题意相符。 本题选不正确的故选D。 跟踪训练2（多选）弹簧振子做简谐运动，以下说法正确的是（　　） A．若位移为负，则速度和加速度必为正 B．若位移为正，则加速度必为负，速度可正可负 C．振子每次通过同一位置时，加速度和速度都分别相同 D．振子每次通过同一位置时，加速度相同，速度不一定相同 【答案】BD 【详解】A．若位移为负，由 可知加速度a一定为正，因为振子每次通过同一位置时，速度可能在两种不同的方向，所以速度方向不一定为正，故A错误； B．若位移为正，由 可知加速度a一定为负，因为振子每次通过同一位置时，速度可能在两种不同的方向，所以速度可正可负，故B正确； CD．振子每次通过同一位置时，位移一定相同，则加速度一定相同，由于速度方向不一定相同，则速度不一定相同，故C错误，D正确； 故选BD。 【能力培优练】 1．光滑斜面上的小球连在弹簧上，如图所示，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动。对简谐运动中的小球受力分析，正确的是（　　） A．重力、支持力、弹力、摩擦力 B．重力、支持力、弹力、回复力 C．重力、支持力、回复力 D．重力、支持力、弹力 【答案】D 【详解】对小球受力分析，小球受到重力、斜面对其的支持力和弹簧弹力。 故选D。 2．做简谐运动的物体，当相对于平衡位置的位移为负值时（　　） A．速度一定为正值，加速度一定为负值 B．速度一定为负值，加速度一定为正值 C．速度不一定为正值，加速度一定为正值 D．速度不一定为负值，加速度一定为负值 【答案】C 【详解】根据回复力与位移的关系有 根据牛顿第二定律有 解得 可知，加速度方向与相对于平衡位置的位移方向相反，当相对于平衡位置的位移为负值时，加速度一定为正值。当物体远离平衡位置时，速度方向与相对于平衡位置的位移的方向相同，当物体靠近平衡位置时，速度方向与相对于平衡位置的位移的方向相反，可知，当相对于平衡位置的位移为负值时，速度可能为正值，也可能为负值，但加速度一定为正值。 故选C。 3．对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是（　　）    ①甲：倾角为的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略 ②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 ③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（）之间来回运动 ④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动 A．只有① B．只有①② C．只有①②③ D．都可以 【答案】C 【详解】甲图小球沿斜面方向受到的合力时弹力与重力的分力，当小球在平衡位置上方时，合力方向沿斜面向下，当在平衡位置下方时合力沿斜面向上，弹力与重力的分力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，小球做简谐振动；乙图木筷在水中受浮力和重力作用，当木筷在平衡位置上方时，合力向下，当木筷在平衡位置下方时，合力向上，重力和浮力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，木筷做简谐振动；丙图小球离开最低点受到重力沿切线方向的分力与位移成正比，方向与小球位移方向相反，为小球提供回复力，小球在最低点附近左右振动属于简谐振动；丙图斜面光滑，重力沿斜面的分力提供小球做机械振动的回复力，但该力大小不变，不与位移成正比，故小球的运动为机械振动，不是简谐振动，则可知①②③为简谐振动。 故选C。 4．如图所示，小球在光滑水平面上以O为平衡位置，在A、B之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球在O点速度最大 B．小球在A点速度最大 C．小球在B点加速度最小 D．小球在B点回复力最小 【答案】A 【详解】由题意小球在光滑水平面上以O为平衡位置，在A、B之间做简谐运动，则O点处小球速度最大，加速度和回复力为零，A、B两点处小球速度为零，加速度和回复力最大。 故选A。 5．如图，将一轻质弹簧一端固定在地面上竖直放置，原长为2L。不用考虑弹簧倾倒情形发生。将一质量为m的小球A刚好与弹簧上端接触由静止释放，小球运动到最低点时距地面高度为L。现移走A球，将另一质量为的小球B放在该弹簧上端并不与弹簧粘连，在外力作用下将小球向下压至距地面L高度处，再由静止释放小球。以上各情形中小球均可看作质点，不计空气阻力，弹簧均在弹性限度范围以内。则以下说法正确的是（    ） A．小球A、B由静止释放后均作简谐运动 B．小球A的最大动能为 C．小球B运动至地面高度处时动能最大 D．小球B运动距地面的最大高度为4L 【答案】D 【详解】A．小球A由静止释放后到达最低点，然后恰能上升至原来的位置，然后再次向下运动，作简谐运动；而小球B从距地面L高度处由静止释放后，到达原长位置时小球将脱离弹簧做上抛运动，则小球B的运动不是简谐振动，选项A错误； B．由题意可知，小球A在下降时处于平衡位置，此时动能最大，由能量关系 可知小球A的最大动能小于 ，选项B错误； C．小球A的平衡位置满足 小球B的平衡位置满足 可得 即距离地面，离地面高度处不是小球B的平衡位置，此时小球B的动能不是最大，选项C错误； D．若设小球B从距地面L高度处释放能上升的最大高度为h，则由能量关系可知 解得 即小球B运动距地面的最大高度为4L，选项D正确。 故选D。 6．关于机械振动的位移、振幅和平衡位置，以下说法中正确的是（    ） A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置 B．机械振动的位移是以计时起点所在位置为起点的位移 C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大 D．机械振动的振幅是指振动物体偏离平衡位置最远时的距离 【答案】D 【详解】A．简谐运动的平衡位置就是物体所受回复力为零的位置，不一定是振动范围的中心，比如单摆的平衡位置，故A错误； B．机械振动的位移是指以平衡位置为起点的位移，故B错误； C．机械振动的物体运动的路程越大发生的位移不一定大，故C错误； D．机械振动的振幅是指振动物体偏离平衡位置最远时的距离，故D正确。 故选D。 7．如图甲所示，一质量为m＝0.4kg的物块放置在倾角为的光滑斜面底端，时刻对物块施加一沿斜面方向的外力F，外力F随位移x变化的图像如图乙所示，规定沿斜面向上为F的正方向，若物块从开始运动到第一次速度变为0所用时间为4s，重力加速度g取，则从物块开始运动至运动到处所用的时间可能为（    ） A．4s B．8s C．10s D．12s 【答案】C 【详解】根据图乙可知，与的函数关系为 物块所受合力为 当时， 令 则有 故物块以处为平衡位置做简谐运动，根据简谐运动的对称性可知，物块到达处的时间可能为 故选C。 8．简谐运动是一种简单、协调、自洽的运动，拥有完美的对称性，它的速度随位移变化图线应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】简谐运动过程中，根据能量守恒有 （常数） 整理得 即满足 图线为椭圆。 故选B。 9．（多选）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．若位移为负值，则加速度一定为正值 B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大 C．振子每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同 D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同 【答案】AD 【详解】A．振子受的力指向平衡位置，振子的位移为负值时，受到的力为正值，振子的加速度为正值，故A正确； B．当振子通过平衡位置时，位移为零，速度最大，故B错误； C．振子每次通过平衡位置时，速度大小相等，方向不一定相同，但位移相同，故C错误； D．振子每次通过同一位置时，位移相同，速度大小一样，但速度方向可能相同，也可能不同，故D正确。 故选AD。 10．（多选）某质点做简谐运动的图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．t1、t2时刻的速度相同 B．从t1到t2这段时间内，速度与加速度同向 C．从t2到t3这段时间内，速度变大，加速度变小 D．t1和t3时刻的加速度相同 【答案】CD 【详解】A．t1时刻振子速度最大，t2时刻振子的速度为零，故A错误； B．t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度背离平衡位置，而加速度指向平衡位置，所以二者方向相反，故B错误； C．在t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而加速度在减小，故C正确； D．t1和t3时刻振子在平衡位置，故加速度均为零，故D正确。 故选CD。 11．（多选）如图所示，一轻弹簧下端固定在倾角为的固定斜面底端，弹簧处于原长时上端位于斜面上的B点，斜面上B点以上粗糙、以下光滑，质量为m的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，沿斜面下滑后压缩弹簧。已知A、B间的距离为L，滑块与粗糙部分的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，不计空气阻力，弹簧劲度系数为k且始终在弹性限度内，下列正确的是（    ）    A． B．弹簧的最大压缩量为 C．滑块沿斜面下滑后，最终将处于平衡状态 D．滑块沿斜面运动的过程中，因摩擦产生的热量为 【答案】AD 【详解】A．滑块在斜面粗糙部分能下滑，则 解得 故A正确； B．滑块第一次从A到最低点的过程，由能量守恒得 由于滑块与粗糙部分的动摩擦因数为大小不确定，所以弹簧的最大压缩量不确定，故B错误； C．滑块沿斜面下滑后，最终将在B点下面做简谐运动，故C错误； D．滑块最终做简谐运动，到达B点时速度为零，由能量守恒可知因摩擦产生的热量为 故D正确。 故选AD。 12．（多选）如图，质量为m的小球穿在固定光滑杆上，与两个完全相同的轻质弹相连。开始时将小球控制在杆上的A点，弹簧1竖直且处于原长，弹簧2处于水平伸长状态，两弹簧可绕各自转轴O1，O2无摩擦转动。B为杆上的另一个点，与O1、A、O2构成矩形，AB=2AO1。 现将小球从A点释放，两弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．小球沿杆在AB之间做简谐运动 B．与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短 C．小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零 D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2的弹性势能先减小后增大 【答案】BC 【详解】AC．根据对称性可知，小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零，则此过程合力做功等于重力对小球做的功，根据动能定理可知，小球在B点的速度大于0，所以小球到达B点后继续向下运动，小球不会在AB之间做简谐运动，故A错误，C正确； D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2先从伸长状态变为原长，再从原长变为压缩状态，最后再恢复原长，故弹簧2的弹性势能先减小后增大再减小，故D错误； B．小球从A点运动到B点过程，由于两个弹簧对小球做的总功为零，与没有弹簧时相比，小球运动到B点的速度相等；没有弹簧时，小球运动的加速度为 有弹簧时，加速度先大于，然后加速度逐渐减小，到AB中点时，加速度为，之后加速度小于，则两种情况的图像如图所示 两种情况的图像与横轴围成的面积相等，由图可知与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短，故B正确。 故选BC。 13．如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1=k，k2=2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置（不计阻力），试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。    【答案】见解析 【详解】设向右为正方向，物体m向右离开平衡位置为x时所受的指向平衡位置的回复力 F=-（k1x＋k2x）=-3kx 符合简谐运动的回复力特点，因此物体m以O为平衡位置做简谐运动。 14．如图所示，在倾角为的固定光滑斜面上，为一固定挡板，轻质弹簧的一端连接物体，另一端固定在挡板上。物体在上方斜面的某处。用力控制、保持静止，且使弹簧处于自然状态，现同时释放物体、，物体完成一次全振动，经过时间时，和恰好相碰且粘为一体。物体的质量为，物体的质量为2m。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为，重力加速度为。求： (1)释放前物体、间的距离； (2)和粘为一体后的最大速度； (3)若和达到物体释放位置上方处时其速度恰好为零，则运动过程中弹簧弹力的最大值与的关系。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，当物体A处于平衡位置时，受力平衡 解得此时弹簧的压缩量为 物体A完成一次全振动时，又回到了最初释放的位置。物体B在这段时间内沿着斜面向下做匀加速直线运动，加速度为 由匀变速直线运动的位移时间关系可得 （2）由匀变速直线运动的速度时间关系可得，物体B下滑到刚与物体A接触时的速度为 物体A和物体B发生碰撞，根据动量守恒定律可得 物体A和物体B粘为一体，此时的平衡位置满足 解得 分析AB整体的运动可知，当AB整体到达平衡位置时，速度最大。从AB粘为一体到平衡位置，由动能定理得 其中 化简可得，最大速度为 （3）根据简谐运动的对称性，由题意可知，运动过程中弹簧弹力的最大值为 【链接高考】 1．（2024·广西来宾·模拟预测）如图甲所示，有一电荷均匀分布的固定金属圆环，圆心为O，轴线上的电场强度分布如图乙所示。现有一带负电的粒子（重力不计）由轴线上的P点运动到Q点，并且OP＝OQ＝L。以x轴的正向为电场强度的正方向，关于粒子由P运动到Q的过程分析，下列说法正确的是（　　） A．金属圆环带负电 B．带电粒子在O点时加速度最大 C． D．带电粒子在P与Q间做简谐运动 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，在x轴正半轴电场沿x轴正方向，在x轴负半轴电场沿x轴负方向，故金属圆环带正电，故A错误； BC．由图乙可知，在O点电场强度为零，所以在此位置加速度最小，速度最大，由于电场关于金属圆环对称，所以P、Q两点的电势相等，由静电力做功的特点，可知粒子在Q点的速度为零，即粒子在P、Q两点之间做往复运动，故B错误，C正确； D．在P、Q两点之间的电场强度与O点间的距离不成线性关系，所以在P、Q两点间的往复运动不是简谐运动，故D错误。 故选C。 2．（2025·河北·高考真题）（多选）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．左侧小物块沿斜面做简谐运动 B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大 C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等 D．若增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长 【答案】AC 【详解】A．对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有 此时，对右侧小物块，有 联立可得 则左侧小物块受到的合外力 ，方向与位移方向相反，故其做简谐运动，故A正确； B．根据以上分析，可得，绳拉力保持不变，故B错误； C．同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正确； D．弹簧振子振动周期，与斜面夹角无关，故D错误。 故选AC。 3．（2024·福建南平·三模）（多选）如图，轻弹簧一端连接质量为m的物体A，另一端固定在竖直墙面上，A通过轻绳跨过轻质定滑轮与质量为m的物体B连接，绳、弹簧与光滑水平桌面平行，A离滑轮足够远、B离地面足够高。初始时A位于O点，弹簧处于原长。现将A由静止释放，设A相对O点的位移为x、速度为v、加速度为a、运动时间为t，弹簧弹力大小为F，轻绳张力大小为T，重力加速度为g。从开始运动到A第一次回到O点，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A．将A、B视为一个整体，在B的重力和弹簧弹力作用下，加速度随位移线性变化，做简谐运动。A错误； BC．根据简谐运动规律可知，从开始运动到A第一次回到O点过程中，物体先做加速度减小的加速运动，当弹簧弹力为时，加速度为0，速度最大，之后做加速度增大的减速运动，当速度为0时，弹簧的弹力为，此时相对点位移最大，B正确；C正确； D．当初始释放时，A、B的加速度为 解得 对B隔离分析可知 解得 由于物块并不是做匀变速直线运动，则弹力随时间非线性变化，则整体加速度非线性变化，则绳张力非线性变化，D错误。 故选BC。 4．（2025·全国·模拟预测）（多选）如图所示，正方体的边长为l，在其两个侧面的中心、处分别固定电荷量均为Q的正电荷，M、N、G、P分别是CD、AB、、的中点，、的连线与平面MNGP交于点O，过O作MP的平行线交MN于F。下列说法正确的是（　　） A．若在F点放置一电子，则D点电势低于点电势 B．若在F点由静止释放一电子，电子到达O点前加速度将一直减小 C．若一电子由点M沿MG运动到G点，电子电势能先减小后增大 D．在、连线上，取关于点O对称两点S、，S、间距离远小于l，若从S点由静止释放一带正电不计重力的粒子，粒子做简谐运动 【答案】ACD 【详解】A．根据等量同种点电荷电势分布特点可知放电子之前D点和B1点电势相等，若在F点放一电子，该电子在D点的电势低于B1点电势，则放电子后D点的电势会低于B1的电势，A正确； B．设O1处的点电荷在直线OF上某点A'处的场强与竖直方向的夹角为θ，则根据电场强度的叠加原理可知，点A'处的合场强为 根据均值不等式可知当 此时E有最大值，结合几何知识可知A'到O的距离为 可知从F到O场强先增大后减小，电子受电场力先增大后减小，电子加速度先增大后减小，B错误； C．电子从M点运动到G点的过程中，电势能先减小后增大，C正确； D．根据等量同种电荷的电场线分布可知，粒子运动过程中，O点为平衡位置，可知当发生位移x时，粒子受到的电场力为 由于 整理后可得 若从S点由静止释放一带正电粒子，粒子将以O点为平衡位置做简谐运动，D正确。 故选ACD。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$