3. 简谐运动的回复力和能量（高效培优讲义）物理人教版2019选择性必修第一册

3. 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 简谐运动的回复力 1 题型2 简谐运动的能量 5 【能力培优练】 13 【链接高考】 28 【重难题型讲解】 题型1 简谐运动的回复力 1、回复力定义：使振子回到平衡位置的力。 （1）回复力是根据力的效果命名的，回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力);可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 （2）回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 ★特别提醒 对一般的简谐运动，由于回复力不一定是弹簧的弹力，所以k不一定是劲度系数而是回复力与位移的比例系数。 4、判断物体是否做简谐运动的两种方法 （1）x-t图像为正弦曲线 （2）F-x满足 F=-kx的形式 （3）常用步骤：①找平衡位置；②找回复力；③找F=kx；④找方向关系。 3、简谐运动的加速度：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 【探究归纳】简谐运动的回复力是使物体回到平衡位置的力，其大小与位移成正比（F=-kx），方向始终与位移相反（负号表示），由系统内力提供（如弹簧弹力、单摆重力分力）。它是产生简谐运动的根本原因，决定了振动的周期性和对称性，是判断运动是否为简谐运动的核心依据。 【典例1-1】在光滑水平面上自由振动的弹簧振子，振子受力情况叙述正确的是（　　） A．振子受到的回复力是恒力 B．振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力 C．振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比 D．振子受到的回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同 【答案】C 【详解】AB．回复力是效果力，振子不受回复力，振子只受重力、支持力、弹簧弹力，故AB错误； CD．根据 可知，振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比，方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相反，故C正确，D错误。 故选C。 【典例1-2】（多选）钓鱼人的漂露出水面几格就叫几目。如图，一钓鱼人在平静的水面浮钓，漂静止时露出水面3目，一只鱼儿竖直向下咬钩后又迅速松开，导致漂上下振动，该振动可视为简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．露出水面1目时，漂的加速度方向一定竖直向上 B．露出水面1目时，漂的速度方向一定竖直向下 C．露出水面3目时，漂的速度最大 D．露出水面5目时，漂的加速度方向可能竖直向上 【答案】AC 【详解】AB．露出水面1目时，漂的速度方向可能竖直向下，也可能竖直向上，且该位置在平衡位置下方，加速度方向一定竖直向上，故A正确，B错误； C．露出水面3目时为简谐运动平衡位置，速度最大，故C正确； D．露出水面5目时，加速度方向一定竖直向下，故D错误。 故选AC。 【典例1-3】如图，在倾角为的光滑斜面上固定垂直斜面的挡板P，轻质弹簧的一端固定在挡板上，另一端与质量为m的物块相连。用手托住物块，使弹簧处于原长；现由静止释放物块，试证明物块释放后的运动为简谐运动。 【答案】设弹簧的劲度系数为k，当物块处于平衡位置O时，弹簧的伸长量为，以O点为原点沿斜面向下建立Ox轴，有 当物块偏离平衡位置O点的坐标为x时，取沿x轴正向为正方向，有或 解得： 由于式中k为常数，所以物块的运动为简谐振动 跟踪训练1关于做简谐运动物体的位移、速度、加速度的关系，下列说法正确的是（　　） A．位移减小时，速度增大，加速度也增大 B．位移方向总跟加速度方向相反，但跟速度方向相同 C．物体靠近平衡位置运动时，速度方向跟位移方向相同 D．物体的位移方向改变时，加速度方向也改变 【答案】D 【详解】A．位移减小时，速度增大，加速度减小，故A错误； B．根据 可知，位移方向总跟回复力方向相反，即与加速度方向相反，但跟速度方向可能相同，也可能相反，故B错误； C．物体靠近平衡位置运动时，速度方向跟位移方向可能相同，也可能相反，故C错误； D．根据 可知，物体的位移方向改变时，回复力方向改变，则加速度方向改变，故D正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）大海中有各种灯浮标，其中有一种灯浮标如图甲所示，它的结构可以简要分为上下两部分，分别为标体（含灯等装置）和浮体（形状为圆柱体，部分浮在水上）。现在用外力将灯浮标向下按压一段距离后释放，灯浮标整体做简谐运动，其所受的浮力随时间正弦式周期性变化，如图乙所示，已知整个过程中圆柱体浮体始终未完全浸入水中，忽略空气及水的阻力，下列说法正确的是（　　） A．灯浮标整体做简谐运动的回复力由浮力提供 B．0-0.5s内灯浮标整体的加速度逐渐减小 C．灯浮标整体的重力等于 D．灯浮标整体所受合外力大小与偏离受力平衡位置的距离成正比 【答案】CD 【详解】AD．由题图乙可知，灯浮标整体始终受浮力作用，说明整体始终未脱离水面，设受力平衡时浮体在水下的长度为L，根据平衡条件有 设释放后某时刻距受力平衡位置x，以向下为正方向，系统所受的力可知 灯浮标整体所受合外力大小与偏离受力平衡位置的距离成正比，即灯浮标整体做简谐运动，回复力是水的浮力与系统重力的合力，故A不符合题意，D符合题意； B．0-0.5s内灯浮标整体从浮力最大的位置运动到浮力最小的位置，即从最低点上浮到最高点的位置，分别处于简谐振动的正向最大位移处和负向最大位移处，灯浮标整体的加速度先逐渐减小，后反向增大，故B不符合题意； C．根据简谐运动的特点可知，灯浮标整体在最高点和最低点的加速度大小相等，则在最低点有 在最高点有 联立可得灯浮标整体的重力，故C符合题意。 故选CD。 跟踪训练3如图所示，劲度系数的轻弹簧左端固定，右端与静止在光滑水平面上的小球相连，将小球向右缓慢拉至C点后由静止释放，振子（小球）在水平面上的B、C两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，P点为OC的中点。某次振子从左向右经过OC间的P点时开始计时，后振子第四次返回到P点，期间通过的路程。求： （1）该简谐运动的周期T和振幅A； （2）振子经过P点时回复力的大小F。 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）根据题意有 解得 根据题意有 解得 （2）振子经过P点时偏离平衡位置O的位移大小 根据回复力公式有 解得 题型2 简谐运动的能量 1、简谐运动中各个物理量的变化规律 Q Q→O O O→P P X 向左最大 向左减小 0 向右增大 向右最大 F、a 向右最大 向右减小 0 向左增大 向左最大 v 0 向右增大 向右最大 向右减小 0 动能 0 增大 最大 减小 0 势能 最大 减小 0 增大 最大 机械能 不变 （1）规律：每次经过同一位置处，x、F、a、势能、动能均相同，v大小相等，方向不一定。若连续两次经过同一点，v反向。 （2）简谐运动的加速度大小和方向都随时间做周期性的变化，所以简谐运动是变加速运动。 （3）当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致，物体做加速度越来越小的加速运动。 （4）当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。 （6）简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。 （7）势能与动能是标量，同一位置必相同，对称位置也必相同。 2、简谐运动的能量 （1）简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 （2）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 （3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 （4）能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 【探究归纳】简谐运动中，系统机械能守恒，动能与势能相互转化：平衡位置动能最大、势能为零，最大位移处势能最大、动能为零。能量由振幅决定（振幅越大能量越大），与周期无关，体现了振动过程中机械能守恒与转化的规律，是简谐运动稳定性的能量特征。 【典例2-1】如图所示，质量为m的小球从与轻弹簧上端相距x处静止释放，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切阻力，则小球在向下运动的过程中（　　） A．最大加速度为g B．最大加速度小于g C．最大速度为 D．最大速度为 【答案】D 【详解】AB．小球接触弹簧后，借助简谐运动模型，若小球从弹簧原长处由静止释放，根据简谐运动的对称性可知，小球到达最低点时加速度最大，等于刚释放时的加速度大小g。现小球从轻弹簧上端相距x处静止释放，到达最低点时弹簧的压缩量增大，弹力增大，合力增大，最大加速度增大，则最大加速度大于g，故AB错误； CD．小球的加速度为零时，速度最大，则有kx0＝mg 小球从释放到速度最大处，根据小球和弹簧组成的系统机械能守恒得 mg（x+x0）x0 解得最大速度为v 故C错误，D正确。 故选D。 【典例2-2】（多选）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向A、B之间做简谐运动，平衡位置为O，下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功 D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能先减小后增加 【答案】AC 【详解】A．小球在平衡位置O时，速度最大，动能最大，位移为零，加速度为零，故A正确； B．小球在A、B位置时，速度为零，动能为零，位移最大，加速度最大，故B错误； C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功，故C正确； D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能一直增加，故D错误。 故选AC。 【典例2-3】如图，在足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为的轻弹簧一端固定在桌子左端，另一端与小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O，A、B两小球质量均为。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，小球A、B一起做简谐运动。重力加速度为，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。求： (1)释放后小球A向右运动的最大距离； (2)A、B简谐运动过程中，细线的最大张力； (3)若小球A向右运动至最远点时细线断裂，之后小球A做简谐运动的最大速度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）一开始，A静止于点，根据受力平衡有 解得 由简谐运动的对称性可知，小球向右运动的距离 （2）依题意知，A、B组成的简谐运动中，运动到最右端时细线张力最大 在小球A向右运动至最远点时，对A有 对B有 联立解得 （3）细线断裂前根据机械能守恒可得 细线断裂之后，小球A到达弹簧原长处时速度最大 解得 跟踪训练1如图甲，弹簧振子的平衡位置点为坐标原点，小球在、两点间做振幅为的简谐运动，小球经过点时开始计时，其图像如图乙，小球的速度，加速度为，质量为，动能为，弹簧劲度系数为，弹簧振子的弹性势能为，弹簧对小球做功的功率为，下列描述该运动的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．小球做简谐运动，速度 可知在时速度最大，小球位于平衡位置，此时加速度为0，位移为0，动能最大，弹性势能为0，弹簧的弹力为0，对小球做功的功率为0，故A错误； B．由图像可知小球的位移 弹簧对小球做功的功率 可见功率的最大值为 从平衡位置开始计时，当经历周期时，弹簧振子的速度为0，功率为0，并不是最大功率，故B错误； CD．由 可知 则小球速度变化周期为 所以动能和势能的周期为 小球的最大速度为 则最大动能为 根据机械能守恒可知最大弹性势能为 故C错误，D正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）如图所示，地面上固定一倾角为的光滑斜面，斜面上有一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在固定挡板C上，另一端连接一质量为m的物体A，有一轻质细绳绕过定滑轮，细绳的一端系在物体A上细绳与斜面平行，另一端有一细绳套，物体A处于静止状态。在细绳套上轻轻挂上质量也为m的物体B后由静止释放，运动过程中B始终未接触地面，不计绳与滑轮间的摩擦阻力，重力加速度为 g。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的最大形变量为 B．物体B的最大加速度大小为g C．物体A的最大速度大小为 D．细绳对物体B拉力的最大值为 【答案】CD 【详解】C．未挂物体B时，设弹簧压缩量为，对于物体A由平衡条件有 解得 挂上B后物体A将沿斜面做简谐运动，A沿斜面向上先做加速度减小的加速运动，当A加速度为0时，A速度最大，设此时弹簧伸长量为，对于A由平衡条件有 当A加速度为0时，B加速度也为0，对于B由平衡条件 联立解得 因与相等，故在此过程中弹簧弹性势能改变量 设最大速度为v，对于A、B及弹簧组成的系统由机械能守恒得 将、代入解得 故C正确； A．A做简谐运动的振幅 代入数据解得 则A运动到最高点时弹簧的形变量最大为 故A错误； B D．A运动到最高点时弹簧的伸长量 A在最高点时，由牛顿第二定律 B在最低点时，由牛顿第二定律 解得 即细绳对物体B拉力的最大值为，故B错误，D正确； 故选CD。 跟踪训练3如图所示，三个物块A、B、C的质量均为m=1kg，物块C放置在水平地面上，竖直放置的轻弹簧连接物块B和物块C，物块A放置在物块B上，整个装置保持静止。现对A施加竖直向下的恒定外力，将物块A、B压缩到最低点时立即撤去外力，物块A、B被竖直向上弹起。一段时间后A、B分离，当A向上运动到最高点时立即被取走，当B继续向上运动到最高点时，物块C恰好离开水平地面。轻弹簧的劲度系数为k=100N/m，轻弹簧的弹性势能表达式为（k为轻弹簧的劲度系数，x为轻弹簧的形变量），弹簧振子做简谐运动的周期表达式为（k为轻弹簧的劲度系数，M为振子的质量），重力加速度g=10m/s2，所有过程中弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，求： (1)物块B向上运动到最高点时的加速度大小； (2)物块A、B分离瞬间，物块B的速度大小： (3)恒定外力的大小： (4)从A、B分离到各自第一次运动到最高点的过程中，二者运动的时间差（结果用π表示）。 【答案】(1)20m/s2 (2) (3) (4) 【详解】（1）当B继续向上运动到最高点时，物块C恰好离开水平地面，此时弹簧的拉力 对物块B进行受力分析，根据牛顿第二定律 可得； （2）A、B在弹簧恢复原长时分离，从此时到B运动到最高点的过程中，对B、C及弹簧组成的系统，由能量守恒可得， 解得 （3）从A、B压缩到最低点到弹簧恢复原长，对A、B、C及弹簧组成的系统，由能量守恒可得 解得 最初状态，对A、B整体受力分析可得 从最初状态到A、B压缩到最低点，对A、B、C及弹簧组成的系统，由功能关系可得 解得 （4）A、B分离后A竖直向上做匀减速直线运动，有 解得 B在竖直方向做简谐运动，其周期 平衡位置 振幅 B从恢复原长到第一次运动到最高点的路程为，则 从A、B分离到各自第一次运动到最高点的时间差有 【能力培优练】 1．如图所示为甲、乙两弹簧振子的振动图像，由图像可知，下列说法正确的是（　　） A．甲的速度为零时，乙的速度也为零 B．甲的加速度为零时，乙的加速度也为零 C．甲、乙两弹簧振子的振动频率之比为2：1 D．甲、乙两弹簧振子的速度方向总是相同 【答案】B 【详解】A．振子在最大位移处时速度最小为零，在平衡位置时速度最大，由图示图像可知，甲在最大位移处速度为零时，乙在平衡位置，速度最大，故A错误； B．振子在平衡位置时加速度为0，由图示图像可知，甲在平衡位置时乙也在平衡位置，甲的加速度为零时，乙的加速度也为零，故B正确； C．由图示图像可知，甲的周期，乙的周期，振子的频率 则，故C错误； D．图像的斜率代表速度，可知甲、乙两弹簧振子的速度方向并非总是相同，故D错误。 故选B。 2．关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．靠近平衡位置的过程中，物体的回复力方向和速度方向相反 B．靠近平衡位置的过程中，物体的速度方向和位移方向相同 C．远离平衡位置的过程中，物体的速度方向和加速度方向相反 D．远离平衡位置的过程中，物体的速度越来越大，加速度越来越小 【答案】C 【详解】A．回复力方向总指向平衡位置，物体靠近平衡位置时速度方向也指向平衡位置，故回复力方向与速度方向相同，故A错误； B．位移方向由平衡位置指向物体所在位置，靠近平衡位置时速度方向与位移方向相反，故B错误； C．远离平衡位置时，加速度方向指向平衡位置（与位移方向相反），而速度方向远离平衡位置，二者方向相反，故C正确； D．远离平衡位置时，位移增大，加速度大小增大，速度逐渐减小至零，故D错误。 故选C。 3．如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），A、B之间始终保持相对静止，弹簧的劲度系数为k，A和B的质量分别为M和m（），A和B之间的最大静摩擦力为，则下列说法正确的是（　　） A．A和B的回复力相同 B．A受到的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比 C．A对B的静摩擦力对B不做功，而B对A的静摩擦力对A做功 D．A和B一起（相对静止）振动的振幅不能大于 【答案】B 【详解】A．A和B的回复力即合外力，二者加速度相同，但质量不同，根据牛顿第二定律可知，二者回复力不同，故A错误； B．弹簧的弹力提供整体做简谐运动的回复力，所以，根据牛顿第二定律，整体的加速度大小为 A的回复力由B对A的静摩擦力提供，根据牛顿第二定律有 两式联立，可得 所以，A受到的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比，故B正确； C．在振动过程中，A和B的振动方向与所受静摩擦力方向在一条直线上，所以，A对B的静摩擦力对B做功，B对A的静摩擦力对A也做功，故C错误； D．在振动过程中，A的最大加速度满足 整体的最大振幅满足 联立，求得 故D错误。 故选B。 4．如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，A、B两物体固定于轻弹簧两端，其中B的质量m=2kg。对B施加一沿斜面向下、大小为30N的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，当B运动至最高点时，A恰好要离开挡板。取重力加速度g=10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．弹簧恢复原长时B的速度达到最大 B．B运动过程中最大加速度大小为10m/s C．A的质量为2kg D．A受挡板支持力的最大值为60N 【答案】D 【详解】A．当弹簧弹力等于物体B的重力沿斜面向下的分力时，B的速度达到最大，此时弹簧处于压缩状态，A错误； B．撤去力F后，B做简谐振动，处于Р点时位移最大，加速度最大，最大加速度 m/s2=l5m/s2 B错误； C．B处于Р点时回复力大小为 F回=F=30N 根据做简谐振动的对称性，运动至最高点时回复力大小为 F回1=F回=30N 此时 解得 C错误； D．B处于Р点时A受挡板支持力最大，对B受力分析有 此时弹簧弹力大小为 =40N 对A受力分析，A受挡板支持力 D正确。 故选D。 5．如图所示，水平放置的汽缸内封闭着一定质量的理想气体，外界压强。保持不变。质量m、横截面积为S的活塞离汽缸底部距离为l时处于平衡状态。现将活塞从平衡位置稍稍向外移动Δx（Δxl）后释放，如果活塞所受合外力满足F=-kΔx形式，则活塞运动的周期为。假设汽缸内气体温度不变，忽略一切摩擦。则活塞从释放到第一次回到平衡位置的时间t为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由平衡条件可知，原来汽缸内气体的压强 设活塞移动后汽缸内气体的压强为，整个过程为等温变化，由玻意耳定律可得 解得 因为Δxl 所以活塞移动后，作用在活塞上使它回到平衡位置的力为 结合简谐振动的回复力 可知 活塞运动的周期 则活塞从释放到第一次回到平衡位置的时间 故选B。 6．如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在A、B两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为，振子的质量为0.1kg，白纸移动速度为，弹簧弹性势能的表达式，不计一切摩擦。在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是（　　） A．图线为铅笔的运动轨迹 B．该弹簧振子的周期为0.25s C．该弹簧振子的最大加速度为 D．该弹簧振子的最大速度为1.6m/s 【答案】C 【详解】A．一带有铅笔的弹簧振子在A、B两点间做机械振动，铅笔的运动轨迹与光滑杆平行，故A错误； B．一个周期内白纸移动距离，白纸移动速度为，该弹簧振子的周期为，故B错误； C．该弹簧振子的振幅，则其最大加速度为，故C正确； D．由能量关系可得 可得弹簧振子的最大速度为，故D错误。 故选C。 7．劲度系数为20N/cm的弹簧振子，它的振动图像如图所示，在图中点对应的时刻，下列说法错误的是（　　） A．振子所受的弹力大小为5N，方向指向轴的负方向 B．振子的速度方向指向轴的正方向 C．从时刻到该时刻，振子一共振动了3.75s D．从时刻到该时刻，振子运动的路程为3.75cm 【答案】C 【详解】A．根据胡克定律可知，弹簧弹力大小为 方向与位移方向相反，即方向指向x轴的负方向，故A正确； B．由图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90°，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，故B正确； C．由图可知振子的周期 振子的振幅 所以圆频率 则振子的位移—时间表达式为 在A位置振子的位移为0.25cm且在沿x轴正方向运动，结合题意可知解得，故C错误； D．从时刻到该时刻，振子运动的路程为，故D正确。 本题选择错误的，故选C。 8．轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落后落地，箱子落地后瞬间速度减为零且不会反弹。此后小球做简谐运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，弹簧劲度系数为，箱子和小球的质量均为，重力加速度为。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．箱子落地后，小球简谐运动的加速度最大值为3g B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为2mg C．箱子落地后，小球运动的最大速度为 D．箱子与地面碰撞损失的机械能为 【答案】D 【详解】AB．根据题意，此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零，则对箱子有 弹簧处于压缩状态，且为压缩最短位置处，可知小球做简谐振动，此时弹簧的压缩量与小球合力为零时弹簧的伸长量之和即为小球做简谐振动的振幅，根据简谐振动的对称性可知，在最低点 在最高点 联立解得 而当小球运动至最低点时弹簧弹力有最大值，即为3mg，此时加速度最大为2g，故AB错误； C．小球做简谐振动，在平衡位置时有，解得 即弹簧被拉伸时小球受力平衡，处于简谐振动的平衡位置，此处小球的速度有最大值，而根据以上分析可知，小球在最高点时弹簧的弹力和在平衡位置时弹簧的弹力大小相同，只不过在最高位置时弹簧处于被压缩状态，在平衡位置时弹簧处于被拉伸状态，显然压缩量和伸长量相同，则小球从最高点到达平衡位置下落的高度 而弹簧压缩量和伸长量相同时所具有的弹性势能相同，即小球在最高点和在平衡位置时弹簧的弹性势能相同，则对小球由最高点到平衡位置根据动能定理可得 解得，故C错误； D．箱子损失的机械能即为箱子、弹簧、小球所构成的系统损失的机械能，小球在平衡位置时弹簧所具有的弹性势能和在箱子未落下时弹簧所具有的弹性势能相同，由能量守恒可得 解得箱子损失的机械能，故D正确。 故选D。 9．（多选）如图所示，轻质弹簧下面挂一个质量为m的小球，小球在竖直方向做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时，弹簧正好为原长。在小球做简谐运动的过程中，弹簧一直处于弹性限度内，重力加速度为g，则在振动过程中（　　）    A．小球在最低点时的弹力大小为 B．小球的机械能守恒 C．弹簧的最大弹性势能等于 D．小球的最大动能等于 【答案】AC 【详解】A．当小球振动到最高点时，弹簧正好为原长，则在最高点小球仅仅受到重力作用，加速度为 a=g 根据简谐运动的对称性可知小球在最低点时有 解得 A正确； B．小球在运动过程中，弹簧弹力对小球做了功，因此小球的机械能不守恒，B错误； C．由于小球在竖直方向做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时，弹簧正好为原长，则小球运动到最低点时，小球下降的高度为2A，减小得重力势能全部转化为弹性势能，即弹簧的最大弹性势能等于，C正确； D．小球在平衡位置的速度最大，动能亦最大，根据 解得 即小球的最大动小于，D错误。 故选AC。 10．（多选）如图所示，质量分别为m和M的两个物块用轻质弹簧相连，竖直叠放在水平地面上，初始时，m静止在弹簧上端。现将m竖直向下缓缓压缩一段距离，外力做功W，然后释放（整个过程中M未离开地面），已知重力加速度为g，不计任何阻力。下列说法正确的是（　　）    A．M对地面的压力最小时，弹簧可能是压缩状态 B．M对地面的压力最大值 C．m在运动中最大动能 D．和施加外力之前相比，释放后m、M和弹簧构成的系统机械能增大了W 【答案】ACD 【详解】A．开始时m静止在弹簧上，设此时弹簧压缩了，则 当m竖直向下缓缓压缩一段距离x后释放m，若 则释放后m上下做简谐运动，最大回复力为 当m运动到最高点时 弹簧还处于压缩状态，此时M对地面的压力最小，故A正确； B．当弹簧压缩最大时，即m运动到最低点，M对地面的压力最大，即 故B错误； C．初始位置即为简谐运动的平衡位置，在平衡位置时动能最大，从开始压缩弹簧刀释放后m再次到达平衡位置，由动能定理可得 故C正确； D．由于外力对m、M和弹簧构成的系统做功为W，因此m、M和弹簧构成的系统机械能增加了W，且释放后该系统机械能守恒，故和施加外力之前相比，释放后m、M和弹簧构成的系统机械能增大了W，故D正确。 故选ACD。 11．（多选）在半径为的某球状天体表面，有一表面积足够大的水池。如图所示，一质量为、横截面积为S的木块，浮在水面上。现将木块向上提起一小段距离后放手，木块立即在水中做周期为的简谐运动。已知水的密度为，木块的密度为水的密度的二分之一，万有引力常量为，简谐运动的周期公式为（其中是回复力与位移的比，为振子的质量）。忽略天体的自转，则该天体表面的重力加速度和天体的密度分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】AB．木块做简谐运动处于平衡位置时 让木块偏离平衡位置发生一段位移x，则振动方向的合外力为 因为合外力与位移方向相反，故 即 故周期为 整理得，A正确，B错误； CD．由， 可得天体的密度为，C正确，D错误。 故选AC。 12．（多选）如图所示，在倾角为的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物块和B，它们的质量均为，弹簧的劲度系数为为一固定的挡板，现将一个质量也为的物体从距为的位置由静止释放，和相碰后立即粘在一起，之后在斜面上做简谐运动。在简谐运动过程中，物体B对的最小弹力为，则下列说法正确的是（　　） A．和粘合后瞬时速度大小为 B．和粘合后下滑过程中速度先增大后减小 C．和整体简谐运动的振幅为 D．B对的最大弹力为 【答案】BD 【详解】A．物体在斜面上滑动时，由牛顿第二定律 物体与物体A碰撞前速度 解得 和碰撞过程中动量守恒 得和粘合后瞬时速度大小为 故A错误； B．和粘合后下滑过程中，初始状态弹簧弹力，和重力沿斜面向下的分力为，最初一段时间内合力沿斜面向下，与速度方向相同，速度先增大。当弹簧弹力增大到时，和再继续沿斜面向下运动时弹力继续增大，合力沿斜面向上，与速度方向相反，速度减小，故和粘合后下滑过程中速度先增大后减小，故B正确； C．当弹力等于AD的重力的分力时AD处于平衡状态，由 可知，平衡位置时弹簧的形变量为 弹簧处于压缩状态；当B对C弹力最小时，对B分析，则有 故弹簧应伸长达最大位移处，此时形变量 此时弹簧处于伸长状态，故简谐运动的振幅为 故C错误； D．当AD运动到最低点时，B对C的弹力最大；由对称性可知，此时弹簧的形变量为 此时弹力为 对B分析 由牛顿第三定律，B对C的弹力大小为 故D正确。 故选BD。 13．如图所示，小球系在细绳上，物块静置于悬挂点的正下方，将细绳拉开偏离竖直方向后由静止释放小球，两物体发生弹性正碰，碰撞时间极短。已知绳长，，，重力加速度，两物体都可看成质点，物块与水平地面间的动摩擦因数，，求： (1)小球与物块碰前瞬间的速度大小； (2)碰后瞬间，小球、物块的速度大小、； (3)碰撞后小球第一次摆到右端最高点时，物块的位移大小（结果可保留）。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）小球下摆过程中机械能守恒 解得 （2）两物体发生弹性碰撞，根据动量守恒、能量守恒定律有， 解得， （3）小球碰后，机械能守恒 解得 故 小球碰后的运动可看成简谐运动，根据单摆周期公式有 摆到左端最高点有 对物块，由牛顿第二定律得 假设物块经时间停了下来 因为，根据 代入数据，解得 14．如图所示，一轻质弹簧竖直放置在水平地面上，其下端固定，上端栓接一个质量为，厚度可忽略不计的薄板。薄板静止时，弹簧的压缩量为，现有一个质量为的物块从距薄板正上方某高度处自由下落，与薄板碰撞后即粘连在一起，碰撞时间极短。之后，物块与薄板一起在竖直方向上做往复运动，在这个过程中，弹簧的最大形变量为，若弹簧原长和弹性限度满足题设条件，不计空气阻力。 (1)试证明物块与薄板一起在竖直方向上的往复运动是简谐运动。 (2)已知物块从刚与薄板粘连在一起到第一次运动到最高点所用的时间为t，求物块与薄板的简谐运动的周期T? (3)要使物块与薄板做的简谐运动的振幅为，物块要从距离薄板多大的高度处自由下落? 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【详解】（1）物块和薄板受力平衡时，设弹簧的压缩量为，则 设偏离受力平衡位置的位移为x，规定竖直向下为正方向，则弹簧的弹力 物块和薄板受到的合力 所以物块和薄板的运动是简谐运动。 （2）运动起点即薄板静止时， 平衡位置时弹簧的压缩量 已知弹簧的最大压缩量为 则振幅 所以最高点弹簧的形变量 作简谐运动的位移时间关系图像如图所示，从位移为0.5A的位置运动至最高点至少需要时间 解得简谐运动的周期为 （3）物块下落过程，由机械能守恒定律 物块与薄板碰撞，由动量守恒定律 若振幅为2.5a，运动示意图如图所示，最高点的弹簧伸长量为a与起点时弹簧的压缩量相同，即具有等量的弹性势能 从开始做简谐运动至运动到最高点的过程，由机械能守恒定律 联立，解得 【链接高考】 1．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，释放时，物块与木箱发生相对滑动，且有摩擦力，根据牛顿第二定律可知释放时物块加速度不为0，故A错误； B．由于物块与木箱间有摩擦力且发生相对滑动，所以弹簧的弹性势能会减少，直到弹簧的最大弹力满足以下分析的：设物块与木箱之间的最大静摩擦力为，物块质量为，对物块根据牛顿第二定律 设木箱质量为，对物块与木箱整体，根据牛顿第二定律 可得 即弹簧的最大弹力减小到后，二者一起做简谐运动，故B错误； C．根据AB选项分析可知只有当二者一起做简谐运动前，有相对滑动，木箱第一次到达最右端时，物块速度不为零，故C错误； D．开始滑块的加速度向右，物块与滑块第一次共速前，物块相对滑块向左运动，受到向右的摩擦力，共速前二者有相对滑动，摩擦力恒为二者之间的滑动摩擦力，保持不变，故D正确。 故选D。 2．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球表面的重力加速度为，某球体天体表面的重力加速度为，弹簧的劲度系数为，根据简谐运动的对称性有 可得 可得 设某球体天体的半径为，在星球表面，有 联立可得 故选C。 3．（2024·贵州·高考真题）（多选）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在时刻（　　）    A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正 C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零 【答案】AC 【详解】对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，可知此时小球位于最低点，且小球的运动可视为简谐运动，周期为T。则小球在时刻处于最高点位置，此时位移最大，方向向上（正方向）；小球受到的回复力最大，方向向下，则小球的加速度最大，方向向下（负方向）；此时小球的速度为0。 故选AC。 4．（2025·湖北·高考真题）（多选）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a可能会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动     D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 【答案】AD 【详解】B．如果A球不动而B球单独振动则B球做简谐振动，简谐振动的平衡位置合力为零，即B球初始时刻位置，则可知B的振幅为，B错误； ACD．A球发生运动的临界条件为弹簧对A球向上的弹力大于A球的重力，则此时对A球有 对B球有此时加速度 由简谐振动的对称性可得向下拉到最低点松手释放的加速度也为，则有 解得 即，否则A球会发生运动，AD正确，C错误。 故选AD。 5．（2024·湖北·高考真题）某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。 具体步骤如下： ①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图（a）所示。 ②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。 ③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。 ④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。 ⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。 该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。 (1)由步骤④，可知振动周期 。 (2)设弹簧的原长为，则l与g、、T的关系式为 。 (3)由实验数据作出的图线如图（b）所示，可得 （保留三位有效数字，取9.87）。 (4)本实验的误差来源包括_____（双选，填标号）。 A．空气阻力 B．弹簧质量不为零 C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置 【答案】(1) (2) (3) (4)AB 【详解】（1）30次全振动所用时间t，则振动周期 （2）弹簧振子的振动周期 可得振子的质量 振子平衡时，根据平衡条件 可得 则l与g、、T的关系式为 （3）根据整理可得 则图像斜率 解得 （4）A．空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A正确； B．根据弹簧振子周期公式可知，振子的质量影响振子的周期，通过光电门测量出的周期为振子考虑弹簧质量的真实周期，而根据（3）问求出的的关系是不考虑弹簧质量的关系式子，二者的中的是不相等的，所以弹簧质量不为零是误差来源之一，故B正确； C．利用光电门与数字计时器的组合测量周期的原理：根据简谐运动的规律可知，只要从开始计时起，振子的速度第二次与开始计时的速度相等即为一个周期，与是否在平衡位置无关，故C错误。 故选AB。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3. 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 简谐运动的回复力 1 题型2 简谐运动的能量 4 【能力培优练】 7 【链接高考】 13 【重难题型讲解】 题型1 简谐运动的回复力 1、回复力定义：使振子回到平衡位置的力。 （1）回复力是根据力的效果命名的，回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力);可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 （2）回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 ★特别提醒 对一般的简谐运动，由于回复力不一定是弹簧的弹力，所以k不一定是劲度系数而是回复力与位移的比例系数。 4、判断物体是否做简谐运动的两种方法 （1）x-t图像为正弦曲线 （2）F-x满足 F=-kx的形式 （3）常用步骤：①找平衡位置；②找回复力；③找F=kx；④找方向关系。 3、简谐运动的加速度：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 【探究归纳】简谐运动的回复力是使物体回到平衡位置的力，其大小与位移成正比（F=-kx），方向始终与位移相反（负号表示），由系统内力提供（如弹簧弹力、单摆重力分力）。它是产生简谐运动的根本原因，决定了振动的周期性和对称性，是判断运动是否为简谐运动的核心依据。 【典例1-1】在光滑水平面上自由振动的弹簧振子，振子受力情况叙述正确的是（　　） A．振子受到的回复力是恒力 B．振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力 C．振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比 D．振子受到的回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同 【典例1-2】（多选）钓鱼人的漂露出水面几格就叫几目。如图，一钓鱼人在平静的水面浮钓，漂静止时露出水面3目，一只鱼儿竖直向下咬钩后又迅速松开，导致漂上下振动，该振动可视为简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．露出水面1目时，漂的加速度方向一定竖直向上 B．露出水面1目时，漂的速度方向一定竖直向下 C．露出水面3目时，漂的速度最大 D．露出水面5目时，漂的加速度方向可能竖直向上 【典例1-3】如图，在倾角为的光滑斜面上固定垂直斜面的挡板P，轻质弹簧的一端固定在挡板上，另一端与质量为m的物块相连。用手托住物块，使弹簧处于原长；现由静止释放物块，试证明物块释放后的运动为简谐运动。 跟踪训练1关于做简谐运动物体的位移、速度、加速度的关系，下列说法正确的是（　　） A．位移减小时，速度增大，加速度也增大 B．位移方向总跟加速度方向相反，但跟速度方向相同 C．物体靠近平衡位置运动时，速度方向跟位移方向相同 D．物体的位移方向改变时，加速度方向也改变 跟踪训练2（多选）大海中有各种灯浮标，其中有一种灯浮标如图甲所示，它的结构可以简要分为上下两部分，分别为标体（含灯等装置）和浮体（形状为圆柱体，部分浮在水上）。现在用外力将灯浮标向下按压一段距离后释放，灯浮标整体做简谐运动，其所受的浮力随时间正弦式周期性变化，如图乙所示，已知整个过程中圆柱体浮体始终未完全浸入水中，忽略空气及水的阻力，下列说法正确的是（　　） A．灯浮标整体做简谐运动的回复力由浮力提供 B．0-0.5s内灯浮标整体的加速度逐渐减小 C．灯浮标整体的重力等于 D．灯浮标整体所受合外力大小与偏离受力平衡位置的距离成正比 跟踪训练3如图所示，劲度系数的轻弹簧左端固定，右端与静止在光滑水平面上的小球相连，将小球向右缓慢拉至C点后由静止释放，振子（小球）在水平面上的B、C两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，P点为OC的中点。某次振子从左向右经过OC间的P点时开始计时，后振子第四次返回到P点，期间通过的路程。求： （1）该简谐运动的周期T和振幅A； （2）振子经过P点时回复力的大小F。 题型2 简谐运动的能量 1、简谐运动中各个物理量的变化规律 Q Q→O O O→P P X 向左最大 向左减小 0 向右增大 向右最大 F、a 向右最大 向右减小 0 向左增大 向左最大 v 0 向右增大 向右最大 向右减小 0 动能 0 增大 最大 减小 0 势能 最大 减小 0 增大 最大 机械能 不变 （1）规律：每次经过同一位置处，x、F、a、势能、动能均相同，v大小相等，方向不一定。若连续两次经过同一点，v反向。 （2）简谐运动的加速度大小和方向都随时间做周期性的变化，所以简谐运动是变加速运动。 （3）当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致，物体做加速度越来越小的加速运动。 （4）当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。 （6）简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。 （7）势能与动能是标量，同一位置必相同，对称位置也必相同。 2、简谐运动的能量 （1）简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 （2）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 （3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 （4）能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 【探究归纳】简谐运动中，系统机械能守恒，动能与势能相互转化：平衡位置动能最大、势能为零，最大位移处势能最大、动能为零。能量由振幅决定（振幅越大能量越大），与周期无关，体现了振动过程中机械能守恒与转化的规律，是简谐运动稳定性的能量特征。 【典例2-1】如图所示，质量为m的小球从与轻弹簧上端相距x处静止释放，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切阻力，则小球在向下运动的过程中（　　） A．最大加速度为g B．最大加速度小于g C．最大速度为 D．最大速度为 【典例2-2】（多选）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向A、B之间做简谐运动，平衡位置为O，下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功 D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能先减小后增加 【典例2-3】如图，在足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为的轻弹簧一端固定在桌子左端，另一端与小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O，A、B两小球质量均为。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，小球A、B一起做简谐运动。重力加速度为，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。求： (1)释放后小球A向右运动的最大距离； (2)A、B简谐运动过程中，细线的最大张力； (3)若小球A向右运动至最远点时细线断裂，之后小球A做简谐运动的最大速度。 跟踪训练1如图甲，弹簧振子的平衡位置点为坐标原点，小球在、两点间做振幅为的简谐运动，小球经过点时开始计时，其图像如图乙，小球的速度，加速度为，质量为，动能为，弹簧劲度系数为，弹簧振子的弹性势能为，弹簧对小球做功的功率为，下列描述该运动的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2（多选）如图所示，地面上固定一倾角为的光滑斜面，斜面上有一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在固定挡板C上，另一端连接一质量为m的物体A，有一轻质细绳绕过定滑轮，细绳的一端系在物体A上细绳与斜面平行，另一端有一细绳套，物体A处于静止状态。在细绳套上轻轻挂上质量也为m的物体B后由静止释放，运动过程中B始终未接触地面，不计绳与滑轮间的摩擦阻力，重力加速度为 g。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的最大形变量为 B．物体B的最大加速度大小为g C．物体A的最大速度大小为 D．细绳对物体B拉力的最大值为 跟踪训练3如图所示，三个物块A、B、C的质量均为m=1kg，物块C放置在水平地面上，竖直放置的轻弹簧连接物块B和物块C，物块A放置在物块B上，整个装置保持静止。现对A施加竖直向下的恒定外力，将物块A、B压缩到最低点时立即撤去外力，物块A、B被竖直向上弹起。一段时间后A、B分离，当A向上运动到最高点时立即被取走，当B继续向上运动到最高点时，物块C恰好离开水平地面。轻弹簧的劲度系数为k=100N/m，轻弹簧的弹性势能表达式为（k为轻弹簧的劲度系数，x为轻弹簧的形变量），弹簧振子做简谐运动的周期表达式为（k为轻弹簧的劲度系数，M为振子的质量），重力加速度g=10m/s2，所有过程中弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，求： (1)物块B向上运动到最高点时的加速度大小； (2)物块A、B分离瞬间，物块B的速度大小： (3)恒定外力的大小： (4)从A、B分离到各自第一次运动到最高点的过程中，二者运动的时间差（结果用π表示）。 【能力培优练】 1．如图所示为甲、乙两弹簧振子的振动图像，由图像可知，下列说法正确的是（　　） A．甲的速度为零时，乙的速度也为零 B．甲的加速度为零时，乙的加速度也为零 C．甲、乙两弹簧振子的振动频率之比为2：1 D．甲、乙两弹簧振子的速度方向总是相同 2．关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．靠近平衡位置的过程中，物体的回复力方向和速度方向相反 B．靠近平衡位置的过程中，物体的速度方向和位移方向相同 C．远离平衡位置的过程中，物体的速度方向和加速度方向相反 D．远离平衡位置的过程中，物体的速度越来越大，加速度越来越小 3．如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），A、B之间始终保持相对静止，弹簧的劲度系数为k，A和B的质量分别为M和m（），A和B之间的最大静摩擦力为，则下列说法正确的是（　　） A．A和B的回复力相同 B．A受到的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比 C．A对B的静摩擦力对B不做功，而B对A的静摩擦力对A做功 D．A和B一起（相对静止）振动的振幅不能大于 4．如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，A、B两物体固定于轻弹簧两端，其中B的质量m=2kg。对B施加一沿斜面向下、大小为30N的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，当B运动至最高点时，A恰好要离开挡板。取重力加速度g=10m/s2，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．弹簧恢复原长时B的速度达到最大 B．B运动过程中最大加速度大小为10m/s C．A的质量为2kg D．A受挡板支持力的最大值为60N 5．如图所示，水平放置的汽缸内封闭着一定质量的理想气体，外界压强。保持不变。质量m、横截面积为S的活塞离汽缸底部距离为l时处于平衡状态。现将活塞从平衡位置稍稍向外移动Δx（Δxl）后释放，如果活塞所受合外力满足F=-kΔx形式，则活塞运动的周期为。假设汽缸内气体温度不变，忽略一切摩擦。则活塞从释放到第一次回到平衡位置的时间t为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在A、B两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为，振子的质量为0.1kg，白纸移动速度为，弹簧弹性势能的表达式，不计一切摩擦。在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是（　　） A．图线为铅笔的运动轨迹 B．该弹簧振子的周期为0.25s C．该弹簧振子的最大加速度为 D．该弹簧振子的最大速度为1.6m/s 7．劲度系数为20N/cm的弹簧振子，它的振动图像如图所示，在图中点对应的时刻，下列说法错误的是（　　） A．振子所受的弹力大小为5N，方向指向轴的负方向 B．振子的速度方向指向轴的正方向 C．从时刻到该时刻，振子一共振动了3.75s D．从时刻到该时刻，振子运动的路程为3.75cm 8．轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落后落地，箱子落地后瞬间速度减为零且不会反弹。此后小球做简谐运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，弹簧劲度系数为，箱子和小球的质量均为，重力加速度为。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．箱子落地后，小球简谐运动的加速度最大值为3g B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为2mg C．箱子落地后，小球运动的最大速度为 D．箱子与地面碰撞损失的机械能为 9．（多选）如图所示，轻质弹簧下面挂一个质量为m的小球，小球在竖直方向做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时，弹簧正好为原长。在小球做简谐运动的过程中，弹簧一直处于弹性限度内，重力加速度为g，则在振动过程中（　　）    A．小球在最低点时的弹力大小为 B．小球的机械能守恒 C．弹簧的最大弹性势能等于 D．小球的最大动能等于 10．（多选）如图所示，质量分别为m和M的两个物块用轻质弹簧相连，竖直叠放在水平地面上，初始时，m静止在弹簧上端。现将m竖直向下缓缓压缩一段距离，外力做功W，然后释放（整个过程中M未离开地面），已知重力加速度为g，不计任何阻力。下列说法正确的是（　　）    A．M对地面的压力最小时，弹簧可能是压缩状态 B．M对地面的压力最大值 C．m在运动中最大动能 D．和施加外力之前相比，释放后m、M和弹簧构成的系统机械能增大了W 11．（多选）在半径为的某球状天体表面，有一表面积足够大的水池。如图所示，一质量为、横截面积为S的木块，浮在水面上。现将木块向上提起一小段距离后放手，木块立即在水中做周期为的简谐运动。已知水的密度为，木块的密度为水的密度的二分之一，万有引力常量为，简谐运动的周期公式为（其中是回复力与位移的比，为振子的质量）。忽略天体的自转，则该天体表面的重力加速度和天体的密度分别为（　　） A． B． C． D． 12．（多选）如图所示，在倾角为的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物块和B，它们的质量均为，弹簧的劲度系数为为一固定的挡板，现将一个质量也为的物体从距为的位置由静止释放，和相碰后立即粘在一起，之后在斜面上做简谐运动。在简谐运动过程中，物体B对的最小弹力为，则下列说法正确的是（　　） A．和粘合后瞬时速度大小为 B．和粘合后下滑过程中速度先增大后减小 C．和整体简谐运动的振幅为 D．B对的最大弹力为 13．如图所示，小球系在细绳上，物块静置于悬挂点的正下方，将细绳拉开偏离竖直方向后由静止释放小球，两物体发生弹性正碰，碰撞时间极短。已知绳长，，，重力加速度，两物体都可看成质点，物块与水平地面间的动摩擦因数，，求： (1)小球与物块碰前瞬间的速度大小； (2)碰后瞬间，小球、物块的速度大小、； (3)碰撞后小球第一次摆到右端最高点时，物块的位移大小（结果可保留）。 14．如图所示，一轻质弹簧竖直放置在水平地面上，其下端固定，上端栓接一个质量为，厚度可忽略不计的薄板。薄板静止时，弹簧的压缩量为，现有一个质量为的物块从距薄板正上方某高度处自由下落，与薄板碰撞后即粘连在一起，碰撞时间极短。之后，物块与薄板一起在竖直方向上做往复运动，在这个过程中，弹簧的最大形变量为，若弹簧原长和弹性限度满足题设条件，不计空气阻力。 (1)试证明物块与薄板一起在竖直方向上的往复运动是简谐运动。 (2)已知物块从刚与薄板粘连在一起到第一次运动到最高点所用的时间为t，求物块与薄板的简谐运动的周期T? (3)要使物块与薄板做的简谐运动的振幅为，物块要从距离薄板多大的高度处自由下落? 【链接高考】 1．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 2．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·贵州·高考真题）（多选）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在时刻（　　）    A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正 C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零 4．（2025·湖北·高考真题）（多选）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a可能会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动     D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 5．（2024·湖北·高考真题）某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。 具体步骤如下： ①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图（a）所示。 ②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。 ③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。 ④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。 ⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。 该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。 (1)由步骤④，可知振动周期 。 (2)设弹簧的原长为，则l与g、、T的关系式为 。 (3)由实验数据作出的图线如图（b）所示，可得 （保留三位有效数字，取9.87）。 (4)本实验的误差来源包括_____（双选，填标号）。 A．空气阻力 B．弹簧质量不为零 C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置 / 学科网（北京）股份有限公司 $$