16.3乘法公式（思维导图+知识点+习题精练）2025-2026学年人教版数学八年级数学 上册

16.3乘法公式 一、题型分类 （1）运用平方差公式进行计算 （2）平方差公式与几何图形 二、分类练习 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 4．下列算式中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 5．从边长为的正方形内剪掉一个边长为的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（图②）．这样操作能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在图（1）所示的边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形，在将其裁剪后拼成图（2）所示的平行四边形，通过计算两个图形阴影部分的闻积，可以得到（   ） A． B． C． D． 7．如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知，，则的值为 ． 9．已知，，则 ． 10．如图，若大正方形与小正方形的面积之差为10，则图中阴影部分的面积是 ． 11．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边为a米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积， （用含有a，b的式子表示）． 12．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为 ． 三、解答题 13．利用乘法公式计算． 14．先化简，再求值：，其中． 15．如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____； 【问题解决】 （4）利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为_____； ②计算：． 16．请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中的面积关系，可以验证下列哪个等式______；（填序号） ① ② ③ (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： （i）若，求的值； （ii）计算：． 17．思考与探究 如图 1 的两个长方形可以按不同的形式拼成图 2 和图 3 两个图形． (1)在图 2 中的阴影部分的面积 S，可表示为 （写成多项式乘法的形式）；在图 3 中的阴影部分的面积 S：可表示为 （写成两数平方差的形式）； (2)比较图 2 与图 3 的阴影部分面积，可以得到的等式是 ； A． B． C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算 的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了多项式除以单项式，单项式除以单项式，积的乘方，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 逐一验证各选项的计算过程是否符合运算法则． 【详解】解：A． 使用平方差公式：，但选项结果为，错误． B． 单项式除法：系数为，，，结果应为，但选项为，错误． C． 多项式除以单项式：，计算正确． D． 积的乘方：，但选项为，错误． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征（两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数）是解题的关键．根据平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、可变形为，属于完全平方公式，不能用平方差公式计算，符合题意； B、符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； C、可变形为，符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； D、符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 3．C 【分析】此题考查了平方差公式， 根据平方差公式的结构特征，判断各选项是否符合“一项相同，另一项互为相反数”的形式． 【详解】选项A： 将第二个括号提取负号，得： 属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 选项B：，属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 选项C： 将第二个括号提取负号并调整顺序，得： 其中符合平方差公式，结果为，再乘以负号得，故能用平方差公式计算． 选项D： 将第一个括号改写为，得： 属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特征是解题的关键； 根据平方差公式的结构特征，逐一分析各选项是否符合两数和与两数差的乘积形式． 【详解】A．第二个括号可提取负号，得，不符合平方差公式，故不符合题意； B．第一个括号可写为，第二个括号为，原式，不符合平方差公式，故不符合题意； C．第二个括号可写为，原式变为，即，符合平方差公式结构，结果为，符合条件，故符合题意； D．直接为，不符合平方差公式，故不符合题意； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别由代数式表示出两个阴影部分面积，再由图1和图2中阴影部分面积关系即可得到答案．数形结合，准确表示出图1和图2中阴影部分的面积是解决问题的关键． 【详解】解：图1阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积：； 图2矩形面积：； 由题意可知图1和图2阴影部分的面积相等，则， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 图甲中阴影的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，即，图乙中平行四边形底边为，高为，即面积，两面积相等所以等式成立． 【详解】解：∵两个图中的阴影部分的面积相等，甲的面积，乙的面积， ∴． 故选D． 7．A 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．解题的关键在于根据题意正确的表示面积．根据图形面积得出答案即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 8．4 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的逆用是解题的关键． 将利用平方差公式变形后代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 9． 【分析】本题考查了平方差公式． 逆用平方差公式进行运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，，，由三角形面积公式分别求出和的面积，进而表示出阴影部分面积，利用平方差公式化简，再由大正方形与小正方形的面积之差为10，代值求解即可得到答案．数形结合表示出阴影部分面积，熟记平方差公式及代数式求值方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则，，， ， 则图中阴影部分的面积是， 大正方形与小正方形的面积之差为10， ， 则， 故答案为：． 11．/ 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用．将阴影部分看作长为，宽为的长方形． 【详解】解：阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 12．16 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是根据图形求出面积．设大正方形的边长是小正方形的边长是则，大正方形的面积是，小正方形的面积表示为，阴影部分的面积为8，即，即，化简可得，据此解答． 【详解】解：设大正方形的边长是小正方形的边长是则， ∵阴影部分的面积为8， ∴， ∴， ， ∴． ∴大正方形的面积与小正方形的面积之差为16． 故答案为：． 13．1 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行简便计算．根据算式中数字的特点把写成的形式，然后运用平方差公式展开，得到：原式，去括号合并同类项可得结果． 【详解】解： =1． 14．，8 【分析】本题主要考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握去括号合并及合并同类项法则是解本题的关键．原式中括号里利用平方差公式，以及多项式乘单项式化简，去括号合并后，利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 15．（1）；（2）；（3）；（4）①；② 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差即可得解； （2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，表示出面积即可； （3）由（1）（2）即可得解； （4）①根据（3）中的公式计算即可得解；②根据（3）中的公式计算即可得解． 【详解】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即； （2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为； （3）由（1）（2）可得：； （4）①∵， ∴， ∵， ∴； ② ． 16．(1)② (2)（i）3；（ii）16204 【分析】本题考查平方差公式与几何的综合应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）（i）利用（1）中结论进行求解即可；（ii）将式子转化为，再利用（1）中结论进行求解即可． 【详解】（1）解：由图1可得：； 由图2可得：； ∴； 故答案为：②； （2）（i）∵，， ∴； （ii） ． 17．(1)； (2)B (3) 【分析】本题考查了平方差公式的证明及应用，善于应用是解题的关键． （1）图2中阴影部分的长为，宽为，根据长方形的面积即可表示出阴影部分面积；图3中阴影部分面积为大正方形面积与小正方形面积之差； （2）根据图2图3中阴影部分面积相等，即可得结论； （3）式子乘，再依次利用上面得到的等式计算即可． 【详解】（1）解：图2中阴影部分为长方形，其长为，宽为，则面积为； 图3中阴影部分面积为边长为a的大正方形面积与边长为b的小正方形面积的差，即为； 故答案为：；. （2）解：图 2 与图 3 的阴影部分面积相等，即有； 故选：B． （3）解：原式 ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$