山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高一数学（新课标人教A版）必修二考点清单：《2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系》 (4份打包)

2.1.3 等角定理及两条直线的垂直关系 考点一：等角定理的应用 1.如图所示，在正方体AC1中，M、M1分别是AD、A1D1的中点． 求证：∠BMC＝∠B1M1C1. [分析]　证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法．另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等． [解析]　解法1：连M1M，M1、M分别是A1D1和AD的中点⇒A1M1 AM⇒AMM1A1为平行四边形 ⇒MM1BB1 ⇒四边形BB1M1M为平行四边形 [来源:Z#xx#k.Com] ⇒∠BMC＝∠B1M1C1. 解法2：同上可证M1B1BM为平行四边形 ⇒△M1C1B1≌△MCB ⇒∠BMC＝∠B1M1C1. 考点二：异面直线所成的角 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角． (1)A1B与CC1 (2)AB与B1C1 (3)A1B与AC. [解析]　(1)∵BB1∥CC1，∴∠A1BB1就是A1B与CC1所成的角，等于45°. (2)∵B1C1∥BC ∴∠ABC就是AB与B1C1所成的角，等于90°. (3)∵AC∥A1C1，∴∠BA1C1就是AC与A1B所成的角，在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠BA1C1＝60° 即A1B与AC所成角为60°.[来源:Z,xx,k.Com] 2.四棱锥A－BCD中，AD＝1，AC＝，AD⊥BC，则AC与BD所成的角为________．[来源:学科网]，BD＝，BC＝ [答案]　90° [解析]　解法1：如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连结EF、FH、HG、GE、GF. ∴EF∥AC，且EF＝.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角． ，GE∥BD，且GE＝ 同理，GH＝，GH∥AD，HF∥BC. ，HF＝ 又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°.[来源:学科网] ∴GF2＝GH2＋HF2＝1. 在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2， ∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°. 解法2：如图所示，在平面BCD内，过C作CE BD.连结DE，则DE BC，∴∠ACE就是AC和BD所成的角或其补角． 又AD⊥BC，∴AD⊥DE.∴AE2＝AD2＋DE2＝4. 在△ACE中， AC2＋CE2＝2＝4＝AE2， 2＋ ∴∠ACE＝90°.即AC和BD所成的角为90°. 考点三：异面直线所成角的找法及计算 1. 由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体．如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，CF与DE是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线CF、DE的平行线，找出异面直线CF与DE所成的角． [解析]　思路1：选取平面ACD，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF，②该平面与DE相交于点D，伸展平面ACD，在该平面中，过点D作DM∥CF交AC的延长线于M，连结EM.可以看出：DE与DM所成的角，即为异面直线DE与CF所成的角．如图1. 思路2：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF，②该平面与DE相交于点E.在平面BCF中，过点E作CF的平行线交BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角，即为异面直线FC与ED所成的角．如图2. 思路3：选取平面ADE，该平面有如下两个特点：①该平面包含直线DE，②该平面与CF相交于点F.在平面ADE中，过点F作FG∥DE，与AE相交于点G，连结CG，可以看出：FG与FC所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角．如图3. 思路4：选取平面BCD，该平面有如下特点：①该平面包含直线DE，②该平面与CF相交于点C，伸展平面BCD，在该平面内过点C作CK∥DE与BD的延长线交于点K，且DK＝BD，连结FK，则CF与CK所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角．如图4. 2.在四面体ABCD中，已知各个面都是正三角形，E是棱BC的中点，则异面直线AE和BD所成角的余弦值为________． [解析]　如图．取CD的中点F，∵E为BC的中点，∴EF∥BD， ∴AE与EF所成的锐角或直角就是异面直线AE和BD所成的角． 设四面体的棱长为a，由正三角形的性质知，AE＝AF＝a. a，EF＝ 在△AEF中，cos∠AEF＝， ＝ 即异面直线AE和BD所成角的余弦值为. 3.空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． (1)若AC⊥BD时，PQRH是什么四边形？ (2)空间四边形满足什么条件时，PQRH为正方形？ [解析]　(1)在△ABD中，P、H为AB，AD中点， ∴PH BD，同理，QR BD，∴PHQR ∴四边形PQRH为平行四边形 ∵AC⊥BD，PH∥BD，PQ∥AC， ∴∠HPQ＝90°，四边形