山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高一数学（新课标人教A版）必修二考点清单：《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》 (4份打包)

2.3.4平面与平面垂直的性质 考点一：二面垂直性质定理的应用 1、　如图平面α⊥平面β，在α与β的交线 上取线段AB＝4cm，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥ ，BD⊥ ，AC＝3cm，BD＝12cm，求线段CD的长． [分析]　为求CD的长，由BD⊥ ，α⊥β，易知△BCD为Rt△，BD长已知，只要知道BC长即可．由AC⊥ ，知△ABC为Rt△可解． [解析]　∵AC⊥ ，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5. ∵BD⊥ ， ＝α∩β，α⊥β，BD⊂β，∴BD⊥α，又BC⊂α ∴BD⊥BC，在Rt△BDC中，DC＝ ＝13，∴CD长为13cm. 2、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)证明：CD⊥AE； (2)证明：PD⊥平面ABE. [解析]　(1)证明：在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)证明：由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. PA⊥底面ABCD，∴AB⊥PA， 又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 3、已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝ 求证： ⊥γ [解析]　证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β，∵ ＝α∩β，∴ ⊥PA， ⊥PB，∵PA与PB相交，又PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.[来源:学。科。网Z。X。X。K] 证法2：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，又n⊂β，∴m∥β，又m⊂α，α∩β＝ ，∴m∥ ，∴ ⊥γ. 4、如下图，已知V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC，求证：△ABC是直角三角形． [分析]　灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化． [证明]　过B作BD⊥VA于D， ∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC， ∴BD⊥AC，又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC， ∴AC⊥平面VAB，∴AC⊥BA，即△ABC是直角三角形 考点二：线线、线面、面面垂直的综合应用 1、　已知Rt△ABC中，AB＝AC＝，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕，将△ABD折起，使∠BDC为直角． (1)求证：平面ABD⊥平面BDC.[来源:学科网ZXXK] (2)求证：∠BAC＝60°. (3)求点A到平面BDC的距离． (4)求点D到平面ABC的距离． [分析]　抓住等腰Rt△ABC中AD⊥BC，及折叠前后位于折线同侧的点、线位置关系、数量关系都不变．则有AD⊥BD，AD⊥CD，故(1)、(2)、(3)问容易求解． 对于第(4)问，因为△BDC也是等腰直角三角形．取BC中点E，易得BC⊥平面ADE， ∴平面ABC⊥平面ADE，交线为AE，于是D点到平面ABC的距离就是D点到直线AE的距离，又△ADE为Rt△，故距离易求． [解析]　(1)∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D， ∴AD⊥平面BDC 又AD⊂平面ABD. ∴平面ABD⊥平面BDC. (2)在原Rt△ABC中，AB＝AC＝，∴BC＝2，[来源:学科网] ∴BD＝DC＝1.又折叠后∠BDC＝90°， ∴△BDC为等腰Rt△，∴BC＝， ∴AB＝BC＝AC，∴∠BAC＝60° (3)在△ABC中，易得AD＝BC＝1，由(1)知AD⊥平面BDC. ∴AD的长就是点A到平面BDC的距离值为1. (4)取BC的中点E，∵AB＝AC，BD＝DC，∴DE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ADE， ∴平面ABC⊥平面ADE. 过D作DM⊥AE于M，则DM⊥平面ABC，∴DM的长即为D到平面ABC的距离． 在Rt△ADE中，AD＝1，DE＝，∴AE＝ ∴斜边AE上高DM＝， ＝ ∴D点到平面ABC的距离为. 考点三：二面角 1、　如图，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E－BD－C的大小． [解析]　 ⇒SC⊥平面BED ⇒BD⊥平面SAC ⇒∠EDC为二面角E－BD－C的平面角． 设SA＝a，则SB＝BC＝ a， ∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC，∴BC⊥SB. ∴SC＝2a，∠SCD＝30°，∴∠EDC＝60°， 即二面角E－BD－C的大小是60°. 考点四：距离问题 1、直线 ∥平面α