2.2.2 不等式的解集（题型专练）数学人教B版2019必修第一册

2.2.2 不等式的解集 题型一 求一元一次不等式(组）的解集 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）设，则 ． 2．（24-25高一上·山东菏泽·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·海南·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）设，解关于的不等式，下列说法正确的是（      ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式（组）： (1)； (2). 题型二 含有一个绝对值号不等式的解法 6．（2025·上海崇明·二模）不等式的解为 ． 7．（24-25高三上·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 8．（24-25高三上·上海·阶段练习）不等式的解集为 9．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）不等式的解集是 . 10．（24-25高一上·全国·课前预习）解不等式： (1)； (2). 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式． 题型三 含有两个绝对值号的不等式的解法 13．（2025高三·全国·专题练习）对任意实数，的最小值为 ． 14．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）不等式的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·上海·期中）已知不等式对所有实数均成立，当等号成立时，的取值范围是 16．（24-25高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是 . 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 19．（23-24高三下·上海·开学考试）已知，若对任意，，则的取值范围是 ． 20．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 ． 题型四 数轴上两点间的距离及中点坐标公式 21．（19-20高一·全国·课后作业）设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围． 22．（19-20高一·全国·课后作业）已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 23．（19-20高一·全国·课后作业）已知数轴上，． （1）若A与C关于点B对称，求x的值； （2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围． 题型一 求含参一元一次不等式（组）的解集 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）解关于的不等式． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）设，解关于的不等式：． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式，其中． 4．（23-24高一上·福建厦门·开学考试）如图，已知函数和的图象交于点的解集是 . 题型二 根据不等式的解集求参数 5．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）若不等式组的解集是，则m的取值范围（ ） A． B． C． D．无法确定 6．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． (1)当解集为空集时，________； (2)当解集为非空集时，解不等式． 7．（23-24高一上·重庆·期中）不等式组的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 9．（22-23高一上·上海宝山·期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 10．（21-22高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，为常数，若的解集是，则的解集是 ． 1．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高一上·上海静安·期中）设，则不等式的等号成立时x的取值范围为 3．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知不等式成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·上海浦东新·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 5．（20-21高一·全国·课后作业）解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 6．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知，解关于x的不等式组 7．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2 不等式的解集 题型一 求一元一次不等式(组）的解集 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）设，则 ． 【答案】5 【分析】解一元一次不等式求结果. 【详解】由. 故答案为：5 2．（24-25高一上·山东菏泽·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元一次不等式的解法求解集即可. 【详解】由，可得，故解集为. 故选：B. 3．（21-22高一上·海南·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的解法求得正确答案. 【详解】，. 所以不等式的解集为. 故选：A 4．（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）设，解关于的不等式，下列说法正确的是（      ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 【答案】C 【分析】对分四种情况讨论得解. 【详解】解：当时，，该不等式的解集为； 当时，，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为. 故选：C 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式（组）： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集； （2）解不等式①和②，画出数轴，求出解集. 【详解】（1）去分母，得， 去括号，得， 移项化简，得， 所以不等式的解集为． （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图． 由图可知，不等式组的解集为． 题型二 含有一个绝对值号不等式的解法 6．（2025·上海崇明·二模）不等式的解为 ． 【答案】 【分析】结合绝对值不等式的解法，以及区间的定义，即可求解． 【详解】解：，即，解得， 故所求解集为． 故答案为：． 7．（24-25高三上·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法求得正确答案. 【详解】由得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 8．（24-25高三上·上海·阶段练习）不等式的解集为 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义求解． 【详解】， 故答案为：． 9．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据题意，结合绝对值的不等式的解法，准确计算，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 10．（24-25高一上·全国·课前预习）解不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：分和两种情况去绝对值符号求解即可；法二，利用绝对值的几何意义即可求解； （2）法一：分和两种情况，结合绝对值的几何意义求解即可.法二：分和两种情况求解即可. 【详解】（1）解法一：当，即时，原不等式可化为，解得； 当，即时，原不等式可化为，解得； 综上所述，原不等式的解为. 解法二：原不等式可化为，解得. （2）解法一：当，即时，原不等式显然无解； 当，即时，原不等式等价于，解得. 故原不等式的解为 解法二： 或 解得或 故原不等式的解为. 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或． (2)． 【分析】直接运用结论公式可解 【详解】（1）因为或，解得或， 所以原不等式的解集是或 （2）由于，即，解得， 所以原不等式的解集是． 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论参数即可解. 【详解】解：因为，故分以下两种情况讨论： ①当，即时，原不等式无解，即不等式的解集为． ②当，即时，原不等式可变为． 所以． 综上可知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 题型三 含有两个绝对值号的不等式的解法 13．（2025高三·全国·专题练习）对任意实数，的最小值为 ． 【答案】4 【分析】方法1：利用绝对值三角不等式的性质易得；方法2：利用分类讨论去绝对值法即得. 【详解】方法1：由绝对值三角不等式，可得， 当且仅当，即时，取得最小值4． 方法2：设， 当时，； 当时，； 当时，. 综上，可得的最小值为4. 故答案为：4. 14．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）不等式的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，可得出满足此不等式的的最小整数值. 【详解】当时，则，可得，此时，； 当时，则恒成立，此时，； 当时，则，解得，此时，. 综上所述，不等式的解集为， 则满足原不等式的最小整数解为， 故选：C. 15．（24-25高三上·上海·期中）已知不等式对所有实数均成立，当等号成立时，的取值范围是 【答案】 【分析】解绝对值方程，通过讨论绝对值里面的代数式的正负去掉绝对值符号，再解方程. 【详解】， ①当时，化简为，舍去； ②当时，化简为，则，舍去； ②当时，化简为成立， ∴综上所述： 故答案为： 16．（24-25高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是 . 【答案】 【分析】绝对值不等式可以通过讨论绝对值内代数式值的正负来去掉绝对值符号，从而化简为一次不等式，求出对应解集即可. 【详解】当时，原不等式化简为,不合题意； 当时，原不等式化简为，符合题意； 当时，原不等式化简为，不合题意； 综上所述：. 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 【答案】． 【分析】分类讨论去掉绝对值解出来即可. 【详解】解：当时，原不等式可以化为，解得； 当时，原不等式可以化为即．恒成立； 当时，原不等式可以化为．解得． 综上，原不等式的解集为． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式：． 【答案】． 【分析】根据绝对值的定义分类讨论求解． 【详解】考虑临界点和1把数轴分为三个区间：，，． ①当时，原不等式变形为， 化简得，解得； ②当时，原不等式变形为，无解； ③当时，原不等式变形为，解得． 综上，原不等式的解集为． 19．（23-24高三下·上海·开学考试）已知，若对任意，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先举反例说明不成立，得到，再检验即可. 【详解】若，则取，此时，与已知矛盾， 故， 当时，有，满足题意， 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 20．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解不等式得到，，则或，得到，解得答案. 【详解】， 当时，，解得，故； 当时，，不成立； 当时，，解得，故； 综上所述：， ，则或， 由题意可得：，解得，即. 故答案为：. 题型四 数轴上两点间的距离及中点坐标公式 21．（19-20高一·全国·课后作业）设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围． 【答案】 【解析】依题意得到的中点对应的数为，即，根据绝对值的几何意义解答. 【详解】解：因为的中点对应的数为， 所以由题意可知， 即， 因此，所以，因此的取值范围是 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 22．（19-20高一·全国·课后作业）已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 【答案】， 【解析】根据数轴上任意两点的距离公式，及中点公式解答. 【详解】解：， ，的中点的坐标为，即． 【点睛】本题考查数轴上任意两点的距离和中点公式，属于基础题. 23．（19-20高一·全国·课后作业）已知数轴上，． （1）若A与C关于点B对称，求x的值； （2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）依题意，B为的中点，根据中点公式解答. （2）首先表示出的中点，再根据数轴上两点的距离公式得到不等式，解得. 【详解】解：（1）∵A与C关于点B对称，∴B为的中点，∴． （2）∵的中点对应的数为， ∴由题意得，即， 解得， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，属于基础题. 题型一 求含参一元一次不等式（组）的解集 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】由可得，然后分，，，共三种情况讨论，即可求解. 【详解】由，可得， 当时，即，此时，则不等式的解集为； 当时，即，此时，解得； 当，即，此时，解得. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）设，解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论的取值，结合不等式的性质求解即可． 【详解】整理得， 当时，不成立，； 当时，，故； 当时，，故． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式，其中． 【答案】答案见解析 【分析】对一次项系数进行分类讨论，分三类求对应解集. 【详解】原不等式整理为． 当时，解得，解集为， 当时，解得，解集为， 当时，则，为任意实数，解集为． 4．（23-24高一上·福建厦门·开学考试）如图，已知函数和的图象交于点的解集是 . 【答案】 【分析】将点代入两个函数中求出的值，然后代入不等式中解出即可. 【详解】因为函数和的图象交于点， 所以， ， 所以不等式为， 解得：， 故答案为：. 题型二 根据不等式的解集求参数 5．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）若不等式组的解集是，则m的取值范围（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据解集确定集合包含关系，即可得参数范围. 【详解】因为不等式组的解集是， 所以， 故. 故选：B 6．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． (1)当解集为空集时，________； (2)当解集为非空集时，解不等式． 【答案】(1)1 (2)答案见解析. 【分析】（1）根据一元一次不等式的解集为空集求参数的值. （2）分情况讨论，解一元一次不等式. 【详解】（1）当时，不等式无解，故答案填1． （2）原不等式整理为． ①当时，，即解集为； ②当时，，即解集为． 7．（23-24高一上·重庆·期中）不等式组的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简不等式组，然后根据不等式组的解集可求得结果. 【详解】由，得， 因为不等式组的解集为， 所以，即的取值范围是， 故选：C 8．（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【答案】0 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 9．（22-23高一上·上海宝山·期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定的解集，求出a，b的关系，再代入求解不等式作答. 【详解】因关于的不等式解集为，则1是方程的根，且， 因此，且，不等式化为：，而，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为： 10．（21-22高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，为常数，若的解集是，则的解集是 ． 【答案】 【分析】由不等式的解集可得且，代入不等式中求解即可. 【详解】由题意，不等式解得，∴，，即， 则即，解得，所以解集为． 故答案为： 1．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求解含绝对值的不等式，再结合恰有3个整数解可得不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】因为，所以，即， 由于不等式恰有3个整数解，则这三个整数解分别是2，3，4， 所以，解得， 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海静安·期中）设，则不等式的等号成立时x的取值范围为 【答案】 【分析】根据x的范围分类讨论，去掉绝对值求解即可. 【详解】， 所以的等号成立时， 即或或， 解得：， 故答案为： 3．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知不等式成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得不等式解集，结合题意，得到关于的不等式，从而得解． 【详解】因为等价于，即， 当，不等式为，显然不成立； 当时，不等式解得， 当时，不等式解得， 所以等价于或； 因为不等式成立的一个必要不充分条件是， 所以或是的真子集， 则或，解得或， 即实数m的取值范围是. 故选：C． 4．（2023·上海浦东新·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 【答案】B 【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】解，当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 故“”成立时，等价于； 当“”成立时，等价于， 故成立时，不一定推出成立，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5．（20-21高一·全国·课后作业）解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集. （2）利用两边平方的方法，求得不等式的解集. （3）将原不等式转化为不等式组的形式，再结合绝对值不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】（1），所以不等式的解集为. （2）由两边平方得， 即或，所以原不等式的解集为. （3） 或. 所以原不等式的解集为. 【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于中档题. 6．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知，解关于x的不等式组 【答案】见解析 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【详解】，解得， ， ， 当，显然不等式无解， 当时，，，此时比较与的大小关系， ①，即时，此时，不等式无解， ②，即时，此时不等式解为， 当时，，，， 若，，又，则，此时不等式解集为 综上所述：，不等式无解， ，不等式解集为， ，不等式解集为. 7．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得不等式组的解集为，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为两种情况讨论，即可得出答案. 【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为，则， 故0一定为不等式组的一个整数解， 若不等式的4个整数解为0，1，2，3时， 则，解得； 当不等式的4个整数解为时， 则，不等式组无解， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$