第十章 数的开方（举一反三单元测试·拔尖卷）数学华东师大版2024八年级上册

第十章 数的开方·拔尖卷 【华东师大版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·黑龙江大庆·三模）在，0，，，，0.2020020002，中，无理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，立方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数。 【详解】解：：分数，属于有理数， ：整数，属于有理数， ：非完全平方数的平方根，属于无理数， ：无限不循环小数，属于无理数， ：立方根结果为，属于有理数， ：有限小数，属于有理数， ：分数，属于有理数， 综上，无理数有和，共2个， 故选：C． 2．（3分）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 【答案】D 【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出，从而进一步即可得出答案． 【详解】由题意得：这个自然数a为：， ∴, 故的平方根用m表示为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 3．（3分）（23-24七年级下·云南临沧·期末）如图，在数轴上，与之间的整数一共有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用算术平方根的知识进行估算、求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与之间的整数是， 即与之间的整数一共有6个， 故选：B． 4．（3分）（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）将，，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，实数的运算，由题意可得，每三个数一循环，即以，，为一个循环节，求出表示的数为，表示的数正好是1，即可得解． 【详解】解：由题意可得，每三个数一循环，即以，，为一个循环节， 在数列中是第个，，故表示的数正好是第10轮的最后一个，为， 在数列中是第个，，故表示的数正好是1， ∴与表示的两个数的积是， 故选：B． 5．（3分）（2025·山东淄博·一模）下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．（3分）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 7．（3分）（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设该正方体铁块的棱长为， 由题意得：， 解得， ， ， 即该正方体铁块的棱长介于和之间， 故选A． 8．（3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意求出a、b的值即可得到答案．本题主要考查新定义无理数的估算，立方根的运算，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵a和b为两个连续正整数，，， ∴即，， ∴， ∴， 则的立方根为的1， 故选：B． 9．（3分）（23-24七年级下·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算术平方根，无理数，先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是无理数， ∴输出的值是， 故选：． 10．（3分）（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·四川资阳·模拟预测）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 12．（3分）（2025·四川成都·二模）若实数，，满足： ，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值，二次根式和完全平方式的非负性，根据几个非负数的和为0，则每个式子的值多位0，求出x、y、z的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， 且， ，，， ，，， ． 故答案为：4 13．（3分）（24-25七年级下·四川广安·期中）已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键． 根据平方根及立方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的一个平方根是5， ， 解得：． 的立方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 14．（3分）（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．    【答案】2 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴得出，，进而化简即可． 【详解】解：由数轴，得，， ∴，，， ∴原式 ， 故答案为：2． 15．（3分）（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 16．（3分）（24-25七年级下·湖南永州·期中）如果x是一个实数，我们把不超过x的最大整数记为，把x的小数部分记为，即．如：，求： ；满足的整数x的值有 个；已知，则 ． 【答案】 1 3 / 【分析】根据无理数的估算得到，然后根据的定义求解即可求出； 根据得到，然后解不等式组求解即可；首先得到，然后将变形为，然后根据得到，然后由为整数得到，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴整数x的值有7，8，9，共3个； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵把x的小数部分记为， ∴， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， ∴， ∴． 故答案为：1，3，． 【点睛】此题考查了新定义实数问题，无理数的估算，不等式的性质，解不等式组等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根与立方根的计算是解题的关键； （1）先进行有理数乘法，算术平方根化简，化简绝对值，求立方根，然后通过有理数加减运算法则即可求解． （2）根据算术平方根与立方根化简，化简绝对值，然后通过有理数加减运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2） ． 18．（6分）（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）表达无理数小数部分的方法如下：例如，因为的整数部分是1，所以用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．我们可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是_____； (2)设的小数部分是，的整数部分是，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了无理数的估算及算术平方根的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）估算得到所求小数部分即可； （2）根据题意确定出x与y，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为 2，小数部分为； 故答案为：； （2）∵，， ∴，， ∴的小数部分为，整数部分为 ， ∴， 的算术平方根是． ∴的算术平方根是． 19．（8分）（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1)______，______，______； (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数有______个． 【答案】(1)15.6；154；0.152 (2)158， (3)306 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律． （1）根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； （2）先将进行变形，再根据表格中的数据确定其接近的整数；对于，可根据算术平方根的小数点移动规律进行求解； （3）先对两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数． 【详解】（1）解：由表格可知，， ； ， ； ， ． 故答案为：15.6；154；0.152； （2）解： ， 又 ，， 与158最接近； ， ． （3）解：对两边同时平方可得， 计算可得， 的取值范围是， 则满足条件的整数的个数为个． 故答案为：306． 20．（8分）（24-25七年级下·北京·期中）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【知识运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对_______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求，的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义运算，涉及立方根和算术平方根的概念理解，理解新定义是解题的关键． （）根据新定义运算解答即可求解； （）先得到，，再根据新定义即可求解； （）根据新定义，分两种情况解答即可求解； 【详解】（1）解：，， ∴数对的开方对称数对，； （2）解：∵，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”， ∴， ∵数对的一个开方对称数对是， ∴，； （3）解：若，， 则，， ∴； 若，， 则，， ∴； 的值为或． 21．（10分）（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 22．（10分）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2； (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】本题考查了实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为， 则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， 正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， , 点A与重合， 点D在数轴上表示的数为, 故答案为：． 23．（12分）（24-25七年级下·云南·期中）本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根） 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：观察； 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：__________________________________________________． （2）探究性质：①81的四次方根是_________；②0的四次方根是_________；③_________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ①______________________________________________________； ②______________________________________________________； ③______________________________________________________ 【拓展应用】（1）_________； （2）比较大小：_________． 【答案】类比探索：（1）一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 拓展应用：（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【详解】类比探索：（1）类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①81的四次方根是：；②0的四次方根是：0；③没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ①一个正数有两个四次方根，它们互为相反数； ②0的四次方根是0； ③负数没有四次方根； 拓展应用：（1）； （2）∵， ∴． 24．（12分）（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）阅读下面的文字，解答问题： 【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________，边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2，；（2）1，13，；（3）不可行，理由见详解 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； 故答案为：2，； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；边长为； 故答案为：1，13，； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 数的开方·拔尖卷 【华东师大版2024】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·黑龙江大庆·三模）在，0，，，，0.2020020002，中，无理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（3分）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 3．（3分）（23-24七年级下·云南临沧·期末）如图，在数轴上，与之间的整数一共有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 4．（3分）（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）将，，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C． D．1 5．（3分）（2025·山东淄博·一模）下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 6．（3分）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 8．（3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 9．（3分）（23-24七年级下·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·四川资阳·模拟预测）若，则 ． 12．（3分）（2025·四川成都·二模）若实数，，满足： ，则的值为 ． 13．（3分）（24-25七年级下·四川广安·期中）已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是 ． 14．（3分）（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．    15．（3分）（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 16．（3分）（24-25七年级下·湖南永州·期中）如果x是一个实数，我们把不超过x的最大整数记为，把x的小数部分记为，即．如：，求： ；满足的整数x的值有 个；已知，则 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）表达无理数小数部分的方法如下：例如，因为的整数部分是1，所以用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．我们可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是_____； (2)设的小数部分是，的整数部分是，求的算术平方根． 19．（8分）（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1)______，______，______； (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数有______个． 20．（8分）（24-25七年级下·北京·期中）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【知识运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对_______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求，的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 21．（10分）（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 22．（10分）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 23．（12分）（24-25七年级下·云南·期中）本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根） 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：观察； 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：__________________________________________________． （2）探究性质：①81的四次方根是_________；②0的四次方根是_________；③_________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ①______________________________________________________； ②______________________________________________________； ③______________________________________________________ 【拓展应用】（1）_________； （2）比较大小：_________． 24．（12分）（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）阅读下面的文字，解答问题： 【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________，边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$