专题05 比较二次根式的大小（举一反三专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题05 比较二次根式的大小（举一反三专项训练） 【北师大版2024】 【题型1 移动因式法】 1 【题型2 作商法】 2 【题型3 分子有理化】 4 【题型4 分母有理化】 5 【题型5 作差法】 7 【题型6 平方法】 9 【题型7 倒数法】 10 【题型1 移动因式法】 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ． 【变式1-1】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小： 5（填“”“”或“”）． 【变式1-2】比较大小： ． 【变式1-3】（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）比较大小： ．（用“”或“”填空）． 【题型2 作商法】 【例2】（22-23八年级下·安徽六安·期中）写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【变式2-1】比较大小： 【变式2-2】“作商法”比较与的大小 【变式2-3】作商法比较与的大小． 【题型3 分子有理化】 【例3】比较和的大小； 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式3-2】比较大小： 【变式3-3】（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： ． 【题型4 分母有理化】 【例4】已知，，，比较，，的大小关系． 【变式4-1】比较大小： （填写“”、“”、“”） 【变式4-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： 【变式4-3】比较大小： （填写“”或“”或“”）） 【题型5 作差法】 【例5】比较大小： （用“>”、“<”或“=”填空） 【变式5-1】比较大小： (填“＞”“＜”或“＝”) 【变式5-2】（22-23九年级下·四川成都·自主招生）比较大小   （填“”“”或者“”） 【变式5-3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【题型6 平方法】 【例6】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）比较大小： （填“”或“”）． 【变式6-1】（2025·河北邯郸·一模）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【变式6-2】将从小到大排列 ． 【变式6-3】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）比较大小 ． 【题型7 倒数法】 【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）比较大小： ． 【变式7-1】（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【变式7-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【变式7-3】比较大小 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 比较二次根式的大小（举一反三专项训练） 【北师大版2024】 【题型1 移动因式法】 1 【题型2 作商法】 2 【题型3 分子有理化】 4 【题型4 分母有理化】 5 【题型5 作差法】 7 【题型6 平方法】 9 【题型7 倒数法】 10 【题型1 移动因式法】 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，把根号外的因式移入根号内再比较，是解题的关键．把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）比较大小： 5（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解决问题的关键．由，可得即可得到答案． 【详解】解：， ，即， 故答案为：． 【变式1-2】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考考查了两个无理数的大小，把、分别转化为、，比较被开方数的大小即可判断求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）比较大小： ．（用“”或“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，无理数的大小比较．先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4，分别放入根号内，再比较大小即可求解． 【详解】解：，， ∵ ∴， 故答案为：． 【题型2 作商法】 【例2】（22-23八年级下·安徽六安·期中）写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】，见解析 【分析】先计算得到，再根据即可得到结论． 【详解】， 证明： ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式2-1】比较大小： 【答案】 > 【分析】利用作商法，即可比较大小； 【详解】解：∵， ∴； 【点睛】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式2-2】“作商法”比较与的大小 【答案 【分析】由，得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【变式2-3】作商法比较与的大小． 【答案】 【分析】用除以，结果与1比较大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 【点睛】本题考查作商法比较二次根式的大小，解题的关键是掌握二次根式的性质及乘除运算法则． 【题型3 分子有理化】 【例3】比较和的大小； 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式． 将变形为，变形为，利用即看判断； 【详解】解：， ， ∵， ∴； ∴ 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数比较大小，先将变形为，再根据同分母的分式比较大小，分子越大分式越大，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】比较大小： 【答案】 【分析】利用分子有理化即可比较大小． 此题考查的是实数的比较大小，掌握利用分子有理化比较大小是解决此题的关键． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【变式3-3】（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 分母有理化】 【例4】已知，，，比较，，的大小关系． 【答案】) 【分析】此题考查代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键． 将a、b、c分别化简，比较结果即可． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， ． 【变式4-1】比较大小： （填写“”、“”、“”） 【答案】 【分析】先同乘以最简公因式，再进行比较大小． 【详解】解：∵， 又＜ ∴＜， 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的大小比较，解题的关键是先化简为最简二次根式． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： 分母有理数后比较大小即可； 【详解】解：∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【变式4-3】比较大小： （填写“”或“”或“”）） 【答案】< 【分析】先将两个数分母有理化，再比较大小即可 【详解】 < 故答案为：< 【点睛】本题考查了实数大小比较，分母有理化，分母有理化是解题的关键． 【题型5 作差法】 【例5】比较大小： （用“>”、“<”或“=”填空） 【答案】 【分析】通过作差与比较大小即可得出结论． 【详解】解： ， 又， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查比较两个实数的大小，涉及到作差法比较实数大小、二次根式比较大小的方法等知识点，熟练掌握作差法比较大小的恒等变形判定符号是解决问题的关键． 【变式5-1】比较大小： (填“＞”“＜”或“＝”) 【答案】＜ 【分析】先将化成，然后运用作差法比较和的大小即可． 【详解】解：∵ ∴ 和的分母都是2， ∴只需比较分子和的大小即可， ∵， ∴． 故答案为＜． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，灵活运用通分和作差法是解答本题的关键． 【变式5-2】（22-23九年级下·四川成都·自主招生）比较大小   （填“”“”或者“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的比较，利用作差法进行计算，比较即可解答． 【详解】解： ， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 【变式5-3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分母有理化，比较二次根式的大小．先把把各式化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小． 【详解】解：，， 由，则， 由，则， ∴b最大， 又∵， 则．故． 故答案为：． 【题型6 平方法】 【例6】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较，求出，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（2025·河北邯郸·一模）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键．先平方，再比较大小即可得到答案． 【详解】解： ，且， ， 故答案为：． 【变式6-2】将从小到大排列 ． 【答案】 【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可． 【详解】，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法． 【变式6-3】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）比较大小 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，可求出，再求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7 倒数法】 【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）比较大小： ． 【答案】 【详解】本题主要考查了二次根式大小比较，先根据分母有理化得出，，然后根据，即，即可得出答案． 【分析】解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式7-1】（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故答案为： 【变式7-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】比较大小 ． 【答案】 < 【分析】两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案． 【详解】解：左边求倒数为， 右边求倒数为， ， ． 故答案为：< 【点睛】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$