17.4 反比例函数 暑假巩固练习2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 17.4 反比例函数 暑假巩固 一、反比例函数的定义与识别 1.已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是(    ) A.当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系 B.当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大 C.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系 D.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系 2.下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有(　　) A. B. C. D. 3.下列关系式中，y是x的反比例函数的是(      ) A. B. C. D. 4.若与成正比例关系，与成正比例关系，则与成             关系． 5.下列函数中，是的反比例函数的有          (填序号) (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)为常数，)． 6.在下列函数表达式中，x均表示自变量，那么哪些是反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？ (1)；(2)；(3)；(4)． 7.电流I、电阻R、电功率P之间满足关系式．已知，填写下表并回答问题． (1)变量R是变量I的函数吗？ (2)变量R是变量I的反比例函数吗？ 二、根据反比例函数的定义求字母的值 1.若函数为反比例函数，则m的值是(    ) A.1 B.0 C. D. 2.已知是反比例函数，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.已知函数是反比例函数，则的值是(    ) A. B. C.1 D.3 4.若y＝(4﹣2a)是反比例函数，则a的值是        ． 5.已知函数是反比例函数，则      ． 6.已知一个反比例函数为，求的值． 7.已知函数. (1)当m，n为何值时是一次函数？ (2)当m，n为何值时，为正比例函数？ (3)当m，n为何值时，为反比例函数？ 三、根据实际问题抽象反比例函数关系式 1.下列两个变量成反比例函数关系的是(    ) A.圆的面积S与它的半径r之间的关系 B.电压一定时，电流I与电阻R之间的关系 C.速度一定时，路程S与时间t之间的关系 D.在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系 2.下面叙述中的变量与变量满足反比例函数关系的是(    ) ①计划从地到地铺设一段2400米长的铁轨，每日铺设长度与铺设天数； ②汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间. A.只有①是 B.只有②是 C.①②都是 D.①②都不是 3.下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是( ) A.小明完成100m赛跑时，时间t(s)与跑步的平均速度v(m/s)之间的关系 B.菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y(cm)与x(cm)的关系 C.一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系 D.压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系 4.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水井的阻力和阻力臂分别是90和0.3，则动力(单位：)与动力臂(单位：)之间的函数解析式是          ． 5.新学期开始时，有一批课本要从A城市运到B县城，如果两地路程为500米，车速为每小时x千米，从A城市到B县城所需时间为y小时，那么y与x的函数关系式是          ． 6.(1)学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x(元)之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ (2)水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 7.写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数. (1)当圆锥的体积是150cm³时，它的高(cm)与底面积(cm²)的函数关系式； (2)功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式； (3)某实验中学八(2)班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式； (4)某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，首期付款4千元后，分次付清，每次付款相同. 每次的付款数(元)与付款次数的函数关系式. 四、反比例函数图象上点的坐标特征 1.下列反比例函数的图象经过点 的是(     ) A. B. C. D. 2.已知反比例函数的图象经过点，则a的值为(    ) A.3 B. C.12 D. 3.已知点在反比例函数的图象上，则m的值是(    ) A. B. C.6 D.24 4.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为       ． 5.点在反比例函数的图象上，则的值为      ． 6.已知的三个顶点为、、，将向右平移m()个单位后成，此时某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，求m的值． 7.已知点P在(m，n)直线y＝﹣x+2上，也在双曲线y＝上，求m2+n2的值． 五、反比例函数的性质 1.已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是(    ) A. B. C. D. 2.关于反比例函数，下列结论正确的是(    ) A.图象位于第一、三象限 B.图象与坐标轴有交点 C.若图象经过点，则必经过点 D.图象上有两点，，若，则 3.已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 4.关于反比例函数，下列说法：①图象位于第一、三象限；②图象不与坐标轴相交；③在每个象限内，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确的说法有        个． 5.点，在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是      ． 6.已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 7.已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)判断点在第几象限 (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系 (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是．求x为何值时，． 六、待定系数法求反比例函数表达式 1.已知P(x，y)是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为(　　) A. B.y＝x C. D. 2.已知一个函数满足如表(x为自变量)，则这个函数的表达式为(　　) A.y B.y C.y D.y 3.在平面直角坐标系中，将一块含45°的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点C的坐标为(﹣1，0)，顶点B的坐标为(0，2)，若顶点A恰好落在第二象限的一条双曲线上，则该双曲线的解析式为(　　) A. B. C. D. 4.已知y与x成反比例，并且当x＝2时，y＝﹣3，则当x＝1时，y＝　　． 5.在平面直角坐标系中，已知点A(1，m)，B(4，m﹣3)在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　　． 6.已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)已知点A(﹣1，y1)，B(﹣2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数的图象上，请直接写出y1，y2，y3的大小关系(用“＜”连接)． 7.已知y是x的反比例函数，且x＝2时，y＝6． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果函数的图象经过点(m，﹣4)，求m的值． 七、由反比例系数求图形的面积 1.如图，A，B为反比例函数图象上任意两点，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，设和的面积分别为，，则(     ) A. B. C. D.无法确定 2.如图，点是反比例函数图象上一点，连接交反比例函数的图象于点，作轴，为垂足，轴，为垂足，则四边形的面积等于(    ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.双曲线：和：如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为(    ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为      ． 5.如图，长方形的一边在x轴上，顶点A，B分别落在双曲线，上，边交双曲线于点E，连接，则的面积为      ． 6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为长方形，点B在函数y1＝(x＞0)的图象上，边AB与函数y2＝(x＞0)的图象交于点D．求四边形ODBC的面积． 7.如图，点是反比例函数图象上一个点，点是该函数图象上一个动点，过A点分别作轴，轴，垂足分别为D、C，过B点分别作轴，轴，垂足分别为F、E，设交于G点，连接． (1)求此反比例函数的表达式； (2)证明点B在运动过程中，四边形的面积与四边形的面积相等； (3)若三角形的面积等于四边形面积的一半，求B点的坐标． 八、由图形的面积求反比例系数的值 1.如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则k的值为(    ) A. B. C. D. 2.如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，交双曲线于点，连接，若的面积为2．则(   ) A.4 B.6 C.8 D.10 3.双曲线和的图象如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点，点，与交于点，若的面积为，则的值(    ) A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为     ． 5.如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点与轴垂直的直线交轴于点，点，在轴上，且.如果四边形的面积为3，那么的值为            . 6.如图，已知正方形的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图象上，点在的图象上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设长方形和正方形不重合部分的面积是S． (1)求点B的坐标； (2)当时，求点P的坐标； (3)写出S关于m的函数解析式． 7.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围. 九、反比例函数的简单应用 1.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40，1)和B(m，0.5)，若行驶速度不得超过60(km/h)，则汽车通过该路段最少需要时间为(　　) A.分 B.40分 C.60分 D.分 2.某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示(水深h越深，压力F越大)，电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器(电阻不计)开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示(参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa)，则下列说法中不正确的是(　　) A.当水箱未装水(h＝0m)时，压强p为0kPa B.当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C.当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D.若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω 3.近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是(　　) A.镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小 B.图中曲线是反比例函数的图象(其中一支) C.当焦距x为0.3m时，近视眼镜的度数y约为300度 D.对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应 4.青藏铁路是当今世界上海拔最高线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在250～360(千米/小时)之间变化，铁路运行全程所需要的时间(小时)与运行的平均速度(千米/小时)满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差 　　小时． 5.车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长λ(mm)是频率f(GHz)的反比例函数，其函数图象如图所示．当λ＝8mm时，该电磁波频率f的值为 　  GHz． 6.如图，在左边托盘A(固定)中放置一个重物，在右边托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．托盘B中的砝码质量m随着托盘B与点O的距离d变化而变化，已知m与d是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： (1)根据表格数据求出m关于d的函数解析式． (2)当砝码质量为12克时，求托盘B与点O的距离． 7.某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y(件)和销售单价x(元/件)存在函数关系，其图象由部分双曲线EF和线段FG组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低40%，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 华东师大版八年级下册 17.4 反比例函数 暑假巩固（参考答案） 一、反比例函数的定义与识别 1.已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是(    ) A.当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系 B.当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大 C.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系 D.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系 【答案】C 【解析】A．在中，当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系，故选项正确，不符合题意； B．在中，当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大，故选项正确，不符合题意； C．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意； D．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 2.下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，∴，故是反比例函数； ∵，∴，故是反比例函数； ∵，∴，故是反比例函数； ∵不是反比例函数； ∴是的反比例函数有. 故选：A． 3.下列关系式中，y是x的反比例函数的是(      ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据反比例函数的定义可知，只有C选项中的函数是反比例函数. 故选：C． 4.若与成正比例关系，与成正比例关系，则与成             关系． 【答案】反比例 【解析】由题意可得， ∵与成正比例关系，与成正比例关系， ∴，， ，，即， 将，代入中可得， ， 即， ∴则与成反比例关系. 故答案为：反比例． 5.下列函数中，是的反比例函数的有          (填序号) (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)为常数，)． 【答案】(2)(3)(4)(6)(9) 【解析】由题意可得(2)(3)(4)(6)(9)是反比例函数． 故答案为：(2)(3)(4)(6)(9)． 6.在下列函数表达式中，x均表示自变量，那么哪些是反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？ (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】解：(1)是反比例函数，对应的k=5； (2)是反比例函数，对应的k=0.4； (3)不是反比例函数； (4)可以写成，对应的k=2； 综上，(1)(2)(4)是反比例函数，(1)对应的k=5；(2)对应的k=0.4；(4)对应的k=2. 7.电流I、电阻R、电功率P之间满足关系式．已知，填写下表并回答问题． (1)变量R是变量I的函数吗？ (2)变量R是变量I的反比例函数吗？ 【答案】解：，P=5W，则： (1)由表格可知，对于I确定的值，就有唯一的R值对应，符合函数的定义，所以变量R是变量I的函数. (2)变量R不是变量I的反比例函数．理由如下： 将P=5代入可得， 所以变量R是变量的反比例函数，不是I的反比例函数． 二、根据反比例函数的定义求字母的值 1.若函数为反比例函数，则m的值是(    ) A.1 B.0 C. D. 【答案】D 【解析】是反比例函数， ， 解得． 故选：D． 2.已知是反比例函数，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得：且； 解得. 故选：C． 3.已知函数是反比例函数，则的值是(    ) A. B. C.1 D.3 【答案】A 【解析】∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 4.若y＝(4﹣2a)是反比例函数，则a的值是        ． 【答案】-2 【解析】∵若y＝(4﹣2a)是反比例函数， ∴a2-5=-1， 解得，a2=4， ∴a=±2， ∵4﹣2a≠0， ∴a≠2， ∴a=-2. 故答案为：-2． 5.已知函数是反比例函数，则      ． 【答案】 【解析】∵函数是反比例函数， ∴，且， 解得. 故答案为：． 6.已知一个反比例函数为，求的值． 【答案】解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 7.已知函数. (1)当m，n为何值时是一次函数？ (2)当m，n为何值时，为正比例函数？ (3)当m，n为何值时，为反比例函数？ 【答案】解：(1)当函数是一次函数时，，且， 解得：且. (2)当函数是正比例函数时，， 解得：． (3)当函数是反比例函数时，， 解得：． 三、根据实际问题抽象反比例函数关系式 1.下列两个变量成反比例函数关系的是(    ) A.圆的面积S与它的半径r之间的关系 B.电压一定时，电流I与电阻R之间的关系 C.速度一定时，路程S与时间t之间的关系 D.在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系 【答案】B 【解析】A、圆的面积与它的半径之间的关系：，不是反比例函数关系，不符合题意； B、电压一定时，电流I与电阻R之间的关系：，其中U一定，即U是常数，故该函数为反比例函数关系，符合题意； C、速度一定时，路程S与时间t之间的关系：，不是反比例函数关系，不符合题意； D、在等腰三角形中，顶角与底角之间的关系：，不是反比例函数关系，不符合题意. 故选：B． 2.下面叙述中的变量与变量满足反比例函数关系的是(    ) ①计划从地到地铺设一段2400米长的铁轨，每日铺设长度与铺设天数； ②汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间. A.只有①是 B.只有②是 C.①②都是 D.①②都不是 【答案】A 【解析】①长度与铺设天数的函数关系式为，是反比例函数关系，故本选项符合题意； ②设汽车行驶的速度为v，v为定值，则行驶的路程与行驶的时间的函数关系式为，不是反比例函数关系，故本选项不符合题意. 故选：A. 3.下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是( ) A.小明完成100m赛跑时，时间t(s)与跑步的平均速度v(m/s)之间的关系 B.菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y(cm)与x(cm)的关系 C.一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系 D.压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系 【答案】C 【解析】A、根据速度和时间的关系式得，t=； B、因为菱形的对角线互相垂直平分，所以xy=48，即y=； C、根据题意得，m=ρV； D、根据压强公式，p=； 可见，m=ρV中，m和V不是反比例关系． 故选：C． 4.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水井的阻力和阻力臂分别是90和0.3，则动力(单位：)与动力臂(单位：)之间的函数解析式是          ． 【答案】 【解析】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴， ∴. 故答案为：． 5.新学期开始时，有一批课本要从A城市运到B县城，如果两地路程为500米，车速为每小时x千米，从A城市到B县城所需时间为y小时，那么y与x的函数关系式是          ． 【答案】y＝(x＞0) 【解析】由题意，得y与x的函数关系式y＝(x＞0)． 故答案为：y＝(x＞0)． 6.(1)学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x(元)之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ (2)水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】解：(1)由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数. (2)由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 7.写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数. (1)当圆锥的体积是150cm³时，它的高(cm)与底面积(cm²)的函数关系式； (2)功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式； (3)某实验中学八(2)班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式； (4)某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，首期付款4千元后，分次付清，每次付款相同. 每次的付款数(元)与付款次数的函数关系式. 【答案】解：(1)∵hS=450，∴，∴比例系数为450. (2)∵Fs=W，∴，∴比例系数为. (3)∵xy=1000，∴，∴比例系数为1000. (4)∵xy=12000-4000，∴，∴比例系数为8000. 四、反比例函数图象上点的坐标特征 1.下列反比例函数的图象经过点 的是(     ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.，故反比例函数的图象不经过点； B.，故反比例函数的图象不经过点； C.，故反比例函数的图象不经过点； D. ，故反比例函数的图象经过点. 故选：D． 2.已知反比例函数的图象经过点，则a的值为(    ) A.3 B. C.12 D. 【答案】B 【解析】把点代入得：． 故选：B． 3.已知点在反比例函数的图象上，则m的值是(    ) A. B. C.6 D.24 【答案】A 【解析】把点代入，得：． 故选：A. 4.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为       ． 【答案】0 【解析】函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 5.点在反比例函数的图象上，则的值为      ． 【答案】 【解析】∵点在反比例函数的图象上， ∴把点代入， 得， 解得. 故答案为：. 6.已知的三个顶点为、、，将向右平移m()个单位后成，此时某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，求m的值． 【答案】解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴AB中点坐标为， 在中，当时，， 故； ②∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴AC中点坐标为， 在中，当时，， 故； ③∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴BC中点坐标为， 在中，当时，没有意义． ∴m的值为4或0.5． 7.已知点P在(m，n)直线y＝﹣x+2上，也在双曲线y＝上，求m2+n2的值． 【答案】解：∵点在直线上， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， ∴． 五、反比例函数的性质 1.已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，， 反比例函数图象分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大， ，， ，， ． 故选：C． 2.关于反比例函数，下列结论正确的是(    ) A.图象位于第一、三象限 B.图象与坐标轴有交点 C.若图象经过点，则必经过点 D.图象上有两点，，若，则 【答案】C 【解析】根据反比例函数图象可得： 当时，反比例函数图象位于二、四象限，选项错误； 反比例函数图象与坐标轴无交点，选项错误； 由反比例函数表达式可得，，选项正确； 当时，，随着的增大而增大，即若，则； ，随着的增大而增大，即若，则， 但时，，选项错误． 故选：C． 3.已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵反比例函数， ∴， ∴反比例函数在第二和第四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴， 即. 故选：B． 4.关于反比例函数，下列说法：①图象位于第一、三象限；②图象不与坐标轴相交；③在每个象限内，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确的说法有        个． 【答案】 【解析】在反比例函数中，；图象不与坐标轴相交， ， 图象位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，； 正确的说法有个. 故答案为：． 5.点，在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是      ． 【答案】 【解析】∵， ∴函数图象经过第一、三象限，函数图象在每个象限中函数值随自变量的增大而增减小， ∵， ∴. 故答案为：． 6.已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】解：(1)由题意知，， 解得，， ∴的取值范围为. (2)由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的取值范围为． 7.已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)判断点在第几象限 (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系 (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是．求x为何值时，． 【答案】解：(1)反比例函数图象经过一、三象限， ，， 点在第二象限. (2)反比例函数图象经过一、三象限， 在每一象限内随的增大而减小， 又点，在反比例函数上， 可得， 解得：a＞c＞b， ，，的大小关系为：a＞c＞b. (3)， 反比例函数位于第二、四象限， 在每一象限内随的增大而增大， 又，当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是， 当时，；当时，， ， 解得：(不合题意，舍去)或， 将时，代入中， ， ，， 若， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 当时，． 六、待定系数法求反比例函数表达式 1.已知P(x，y)是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为(　　) A. B.y＝x C. D. 【答案】B 【解析】∵P(x，y)在反比例函数的图象上， ∴y， 又∵点Q的坐标为()， ∴， 所以点Q所在的函数的表达式为y＝x． 故选：B． 2.已知一个函数满足如表(x为自变量)，则这个函数的表达式为(　　) A.y B.y C.y D.y 【答案】B 【解析】由表格知，两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系， 设函数的解析式为y(k≠0)， 把x＝﹣3，y＝3代入得，k＝﹣9， ∴该函数的解析式为：y. 故选：B． 3.在平面直角坐标系中，将一块含45°的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点C的坐标为(﹣1，0)，顶点B的坐标为(0，2)，若顶点A恰好落在第二象限的一条双曲线上，则该双曲线的解析式为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过A点作AD⊥x轴于D点，如图， ∵C(﹣1，0)，B(0，2)， ∴OC＝1，OB＝2， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝90°， ∵∠ACD+∠BCO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°， ∴∠ACD＝∠CBO， 在△ACD和△CBO中， ， ∴△ACD≌△CBO(AAS)， ∴AD＝OC＝1，CD＝OB＝2， ∴OD＝OC+CD＝3， ∴A(﹣3，1)， 设双曲线的解析式为y， 把A(﹣3，1)代入得k＝﹣3×1＝﹣3， ∴该双曲线的解析式为y． 故选：A． 4.已知y与x成反比例，并且当x＝2时，y＝﹣3，则当x＝1时，y＝　　． 【答案】﹣6 【解析】设y与x的反比例关系式为y(k≠0)， 把x＝2时，y＝﹣﹣3代入，得﹣3， ∴k＝﹣6， 所以y， ∴当x＝1时，y＝﹣6． 故答案为：﹣6． 5.在平面直角坐标系中，已知点A(1，m)，B(4，m﹣3)在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　　． 【答案】y 【解析】设这个反比例函数的表达式是y， ∵点A(1，m)，B(4，m﹣3)在同一个反比例函数的图象上， ∴1×m＝4×(m﹣3)＝k， ∴m＝4， ∴k＝4， ∴这个反比例函数的表达式是y. 故答案为：y． 6.已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)已知点A(﹣1，y1)，B(﹣2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数的图象上，请直接写出y1，y2，y3的大小关系(用“＜”连接)． 【答案】解：(1)把(﹣3，)代入y， 得， 解得：k＝4， 所以这个反比例函数的解析式为y. (2)∵点A(﹣1，y1)，B(﹣2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y的图象上， ∴y14，y22，y3， ∴y1＜y2＜y3． 7.已知y是x的反比例函数，且x＝2时，y＝6． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果函数的图象经过点(m，﹣4)，求m的值． 【答案】解：(1)设y与x的函数关系式是y(k≠0)， 把x＝2，y＝6代入得：k＝12， 即y与x的函数关系式是y. (2)函数的图象经过点(m，﹣4)， ∴﹣4， 解得m＝﹣3． 七、由反比例系数求图形的面积 1.如图，A，B为反比例函数图象上任意两点，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，设和的面积分别为，，则(     ) A. B. C. D.无法确定 【答案】B 【解析】依题意有：和的面积是个定值， 所以． 故选：B． 2.如图，点是反比例函数图象上一点，连接交反比例函数的图象于点，作轴，为垂足，轴，为垂足，则四边形的面积等于(    ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】∵点是反比例函数图象上一点，∴， ∵反比例函数的图象于点，∴， ∴． 故选：A． 3.双曲线：和：如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为(    ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】∵轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积． 故选：B． 4.如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为      ． 【答案】3 【解析】连接， ∵轴， ∴. 故答案为：3. 5.如图，长方形的一边在x轴上，顶点A，B分别落在双曲线，上，边交双曲线于点E，连接，则的面积为      ． 【答案】 【解析】如图所示：过点B作轴于点F， ∵点B在上， ∴设点B的坐标为， ∴点A的纵坐标为，点E的横坐标为a， ∵点A在上， ∴点A的横坐标为， ∵A，B分别落在双曲线y＝、上， ∴长方形的面积为1，长方形的面积为4， ∴长方形的面积为3， ∴ ． 故答案为：． 6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为长方形，点B在函数y1＝(x＞0)的图象上，边AB与函数y2＝(x＞0)的图象交于点D．求四边形ODBC的面积． 【答案】解：∵点D是函数y2＝(x＞0)图象上的一点， ∴△AOD的面积为， ∵点B在函数y1＝(x＞0)的图象上，四边形ABCO为长方形， ∴长方形ABCO的面积为4， ∴阴影部分ODBC的面积＝长方形ABCO的面积-△AOD的面积＝4-1＝3. 7.如图，点是反比例函数图象上一个点，点是该函数图象上一个动点，过A点分别作轴，轴，垂足分别为D、C，过B点分别作轴，轴，垂足分别为F、E，设交于G点，连接． (1)求此反比例函数的表达式； (2)证明点B在运动过程中，四边形的面积与四边形的面积相等； (3)若三角形的面积等于四边形面积的一半，求B点的坐标． 【答案】解：(1)点是反比例函数的图象上一个点， ，解得， 反比例函数的表达式为. (2)如图，轴，轴，轴，轴， ， ， 即. (3)点是函数图象上的点， ， ， ，，，， 三角形的面积等于四边形面积的一半， ，即， 解得， ． 八、由图形的面积求反比例系数的值 1.如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则k的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设，， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴，即， 又∵，即， ∴， ∴. 故选：C． 2.如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，交双曲线于点，连接，若的面积为2．则(   ) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】如图，作轴于，则， 交双曲线于点， ， ， ， 点为的中点， ， 点是的中点， ， 函数的图象经过点，且轴，函数图象在第一象限， . 故选：C． 3.双曲线和的图象如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点，点，与交于点，若的面积为，则的值(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴， ∴， ∵反比例函数位于第二象限， ∴. 故选：D． 4.如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为     ． 【答案】 【解析】∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． 5.如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点与轴垂直的直线交轴于点，点，在轴上，且.如果四边形的面积为3，那么的值为            . 【答案】 【解析】如图所示，过点作轴于点， 轴， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积， ∴平行四边形， ∴四边形的面积， ， ， . 故答案为：． 6.如图，已知正方形的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图象上，点在的图象上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设长方形和正方形不重合部分的面积是S． (1)求点B的坐标； (2)当时，求点P的坐标； (3)写出S关于m的函数解析式． 【答案】解：(1)∵，且四边形为正方形， ∴， ∴， 所以点B坐标为. (2)由(1)得， ∴反比例函数的解析式为：． 因为长方形和正方形不重合部分的面积是S，且， 设， 当点P位于点B下方时，有， 解得：， ∴P点坐标为：； 当点P位于点B上方时，有， 解得：， ∴P点坐标为：， 综上，P点的坐标为或. (3)用割补法求面积，即可得以下分类讨论： 当时，； 当时，， ∵点P(m，n)在双曲线上， ∴：， 则有； 综上所述，． 7.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围. 【答案】解：(1)， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得. (2)当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 九、反比例函数的简单应用 1.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40，1)和B(m，0.5)，若行驶速度不得超过60(km/h)，则汽车通过该路段最少需要时间为(　　) A.分 B.40分 C.60分 D.分 【答案】B 【解析】由题意得，函数经过点(40，1)， 把(40，1)代入t，得k＝40， 则解析式为t，再把(m，0.5)代入t，得m＝80； 把v＝60代入t，得t， 小时＝40分钟. 故选：B． 2.某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示(水深h越深，压力F越大)，电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器(电阻不计)开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示(参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa)，则下列说法中不正确的是(　　) A.当水箱未装水(h＝0m)时，压强p为0kPa B.当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C.当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D.若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω 【答案】B 【解析】A、由图3可知，水箱未装水(h＝0m)时，压强p为0kPa，故A正确，不符合题意； B、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：R20(Ω)， 比时压敏电阻的阻值：R2＝R﹣R1＝20﹣10＝10Ω，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为80N， 故B不正确，符合题意； C、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为P8000(kPa)， 则水箱的深度为h0.8(m)，故C正确，不符合题意； D、水深为lm时，压敏电阻受到的压强：P＝ρgh＝1.0×103×10×l＝10000(kPa)， 此时压敏电阻受到的压力：F＝PS＝10000×0.01＝100(N)， 由图2可知此时压敏电阻的阻值为8Ω， 由B知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20Ω， 根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：R1＝R﹣R2＝20﹣8＝12Ω，故D正确，不符合题意． 故选：B． 3.近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是(　　) A.镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小 B.图中曲线是反比例函数的图象(其中一支) C.当焦距x为0.3m时，近视眼镜的度数y约为300度 D.对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应 【答案】C 【解析】∵近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的关系式为y， ∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意； 图中曲线是反比例函数的图象的其中一支，故B正确，不符合题意； 将x＝0.3．代入，y值约为333，故C不正确，符合题意； 对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应，故D正确，不符合题意． 故选：C． 4.青藏铁路是当今世界上海拔最高线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在250～360(千米/小时)之间变化，铁路运行全程所需要的时间(小时)与运行的平均速度(千米/小时)满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差 　　小时． 【答案】2.2 【解析】设反比例函数的解析式为t， 把(300，6)代入t得，S＝300×6＝1800， ∴反比例函数的解析式为t， 当v＝250时，t7.2(小时)， 当v＝360时，t5(小时)， ∴列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差7.2﹣5＝2.2小时． 故答案为：2.2． 5.车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长λ(mm)是频率f(GHz)的反比例函数，其函数图象如图所示．当λ＝8mm时，该电磁波频率f的值为 　  GHz． 【答案】30 【解析】设λ， 把(4，60)代入λ得，k＝4×60＝240， ∴λ， 当λ＝8mm时，8， ∴f＝30， 故答案为：该电磁波频率f的值为30GHz． 故答案为：30． 6.如图，在左边托盘A(固定)中放置一个重物，在右边托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．托盘B中的砝码质量m随着托盘B与点O的距离d变化而变化，已知m与d是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： (1)根据表格数据求出m关于d的函数解析式． (2)当砝码质量为12克时，求托盘B与点O的距离． 【答案】解：(1)设m关于d的函数解析式为， 当d＝5时，m＝30， 所以， 解得k＝150， ∴m关于d的函数解析式为． (2)把m＝12代入得， 解得d＝12.5， 答：托盘B与点O的距离为12.5厘米． 7.某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y(件)和销售单价x(元/件)存在函数关系，其图象由部分双曲线EF和线段FG组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低40%，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】解：(1)由图象得曲线EF解析式为． 令x＝45，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为a元/件，则(66﹣a)×100＝(45﹣a)×400， 解得a＝38， 答：该产品的生产成本为38元/件. (2)3月份利润为：(45﹣38)×400＝2800元． 由题意得4月份成本为(1﹣40%)×38＝22.8元/件， 则， 解得x≥27， ∴4月份该产品销售单价的范围是27≤x＜45． 学科网（北京）股份有限公司 $$