第19讲 反比例函数的应用 （知识清单+7大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第19讲 反比例函数的应用 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 求反比例函数解析式 题型二 实际问题与反比例函数 题型三 反比例函数与几何综合 题型四 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型五 一次函数与反比例函数的交点问题 题型六 一次函数与反比例函数的实际应用 题型七 一次函数与反比例函数的其他综合应用 知识清单 知识点1．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点2．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点3．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型练习 【题型一】求反比例函数解析式 【例1】（24-25九年级上·重庆·期中）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，将已知点代入反比例函数解析式，解方程即可求出参数k的值． 【详解】解：∵已知反比例函数的图象经过点， ∴将点坐标代入函数解析式：得 解得： 故选B． 【举一反三】 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当它的面积为10时，y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本此题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，根据三角形的面积公式得出是解题关键． 根据等腰三角形的面积公式建立方程，然后用x表示出y即可． 【详解】解：∵等腰三角形的底边长为，底边上的高为，面积为10， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）已知一个反比例函数的图象分布在第二、四象限，请任写一个符合该条件的反比例函数 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了根据反比例函数的图象所在象限确定反比例函数解析式，解题关键掌握根据反比例函数的图象所在象限确定反比例函数解析式． 先根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，确定比例系数的符号，再写出反比例函数解析式． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， ∴答案不唯一，如：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知一个反比例函数的图象经过点，那么点是否在该函数图象上？ 【答案】点在该函数图象上 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】求解析式后代入计算判断或直接利用k的计算判断解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，k的意义，熟练掌握待定系数法，k值的意义是解题的关键． 【详解】解法1：设这个反比例函数的表达式为， 将点代入上式，得． 所以该反比例函数的表达式为． 当时，． 所以点在该函数图象上． 解法2：设这个反比例函数的表达式为， 则， 将点代入上式，得． 由， 所以点在该函数图象上． 【题型二】实际问题与反比例函数 【例2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得，配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故选：C． 【举一反三】 1．（2025九年级上·全国·专题练习）汽车站与汽车站相距约63.1km，则汽车由汽车站匀速行驶到汽车站所用时间（单位：h）与行驶速度（单位：）之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查列函数关系式以及反比例函数的图象.先得出函数关系式，然后根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵汽车站与汽车站相距约， ∴且， ∴双曲线为第一象限的一支． 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）为引进“鱼菜共生”养殖模式，小海在鱼塘进行小规模的扩建前对其进行排水．该鱼塘每小时的排水量（单位：）与排完水池中的水所用的时间（单位：h）之间的函数图象如图所示，则该鱼塘的蓄水量为 ． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，根据每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间进行解答即可． 【详解】解：由题意可得，该鱼塘的蓄水量为， 故答案为： 3．（2025九年级上·全国·专题练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如上图所示．当时，．当时，求二氧化碳密度的变化范围． 【答案】当时，二氧化碳密度的变化范围为 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 先利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征和性质求解即可． 【详解】解：由题意可设． 当时，， 密度关于体积的函数表达式为．观察函数图象可知，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，二氧化碳密度的变化范围为． 【题型三】反比例函数与几何综合 【例3】（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，若，则的范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查由函数图象解不等式，理解若时，求的范围指直线上方的反比例函数图象对应的的范围，即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：过点作轴的平行线，如图所示： 若时，求的范围指直线上方的反比例函数图象对应的的范围，则为， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点．若，则的值为（    ） A．20 B．16 C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】设点，根据题意，得，，于是，结合，代入计算即可． 本题考查了交点坐标的意义，图形面积的表示与计算，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设点，根据题意，得，， 于是， 又， 故， 解得． 故选：C． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数的图象于点A，B．若C是y轴上任意一点，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，由平行线的性质得到，再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则可根据求出答案． 【详解】解：如图，连接． ∵轴， ∴， ∵，， ， 故答案为：． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的两个锐角顶点A，B在函数的图象上，轴，．若点A的坐标为，求点B的坐标． 【答案】点B的坐标为 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据点A的坐标可以求得反比例函数的解析式和点B的横坐标，进而求得点B的坐标即可． 【详解】解：点函数的图象上， ，解得． 在中，轴，， 点B的横坐标是4． 令，则， 点B的坐标为． 【题型四】一次函数与反比例函数图象综合判断 【例4】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若，则函数和的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合判断，根据一次函数和反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：A．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而增大相矛盾，故本选项不符合题意： B．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而减小相矛盾，本选项不符合题意； C．反比例函数中，则，而一次函数与y轴交于正半轴，，与前边的相矛盾，故本选项不符合题意； D．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而减小相一致，且与y轴交于负半轴，故本选项符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、二、三象限可知，两结论一致，故本选项符合题意； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、三、四象限可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限知，由一次函数图象知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，函数与（不为零）的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 根据反比例函数与一次函数的交点问题解答即可． 【详解】解：函数与（不为零）的图象相交于点，， 关于x的不等式的解集是：或． 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、，与轴交于点，与轴交于点． (1)连接，求的面积． (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1)15 (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）把代入即可求出反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求出点坐标，把、坐标代入即可求出一次函数解析式，求出点坐标，由计算即可求解． （2）根据函数图象即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ， 反比例函数解析式为； 把代入得，， ， ， 把、代入得， ， 解得， 一次函数解析式为， 把代入得，， ， ， ， 的面积为15． （2）解：观察函数图象可得，当一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，， 不等式的解集为或； 【题型五】一次函数与反比例函数的交点问题 【例5】（2025九年级上·全国·专题练习）若函数与函数的图象相交于点，则下列各点不在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查已知自变量值求函数值，待定系数法求反比例解析式．先求出交点P的坐标，确定反比例函数的解析式，再验证各选项是否满足该解析式． 【详解】解：∵函数与函数的图象相交于点， ∴将代入中得：， ∴， ∴将代入中得：， ∴反比例函数解析式为：， A选项：，即点在函数的图象上， B选项：，即点在函数的图象上， C选项：，即点在函数的图象上， D选项：，即点不在函数的图象上， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于的不等式解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，正确从函数图象获取信息是解题的关键． 根据函数图象得到当或时在下方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据还是图象可知当或时在下方， 关于的不等式解集是或， 故选：C． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，函数与的图象交于点，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，将P点坐标代入到两个解析式，可以的到和，将代数式变形成，代入即可解决． 【详解】函数与的图象交于点， ， ． 故答案为：． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，连接OC．已知点B的坐标为，的面积是2，求b，k的值． 【答案】，6 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的面积问题． 根据题意即可求出，得到一次函数的表达式为，根据的面积是2求出代入求出点C的坐标为，即可求出k的值． 【详解】解：一次函数的图象过点， ， ∴一次函数的表达式为． ，的面积是2， ，即， ． 把代入，得， 点C的坐标为． 点C在反比例函数的图象上， ． 【题型六】一次函数与反比例函数的实际应用 【例6】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 【举一反三】 1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 2．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 【题型七】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【例7】（23-24九年级上·河北保定·期末）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握将交点坐标代入并联立方程是解决此题的关键． 根据题意联立两个函数得出，求解即可． 【详解】解：由题意知，反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是， ∴， 消去x得：， 解得：． 故选：B． 【举一反三】 1．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，如图，先求解为，直线为，直线为；再判断内部或边界上的整点有，，，，，，；从而可得答案； 【详解】解：如图，设直线为， ∵， ∴， ∴为， 同理可得：直线为， 直线为； ∴内部或边界上的整点有，，，，，，； ∴，，，， 故选C 2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点A，点在线段的延长线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点、，将线段、和函数的图象在、之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有5个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，根据题意以及两个函数图象，找到区域内恰有5个整点的临界情况，然后结合图象可得答案． 【详解】解：如图， 在函数中，当时，由得， 当时，由得， 由图象可知，当时，区域内恰有5个整点， 故答案为：． 3．（2025九年级上·全国·专题练习） 某校为预防流感，对教室进行熏药消毒，测得药物燃烧后室内每立方米空气中的含药量（单位：）与时间（单位：min）之间的函数关系如下图所示．已知药物燃烧时，满足；药物燃烧后，与成反比例．现测得药物燃毕，此时室内每立方米空气中的含药量为10mg． (1)求的值，并求当时，关于的函数表达式． (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，则此次消毒是否有效？请计算说明． 【答案】(1)， (2)此次消毒有效，理由见解析 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】此题考查了正比例函数和反比例函数的应用. （1）直接利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把时分别代入两个解析式，求出自变量的值，再判断即可求出答案． 【详解】（1）解：把代入，得，解得． 设当时，关于的函数表达式为． 把代入，得， 当时，关于的函数表达式为； （2）解：把代入，得． 把代入，得，解得． 此次消毒有效． 好题必刷 一、单选题 1．已知矩形的面积为5，它的长与宽之间的关系用图像大致可表示为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，理解反比例函数的图象是解答关键． 根据矩形的面积公式求出，利用矩形的长和宽都是正数来确定反比例函数图象． 【详解】解：矩形的面积为5， 它的长与宽之间的关系：， ， 它是反比例函数，则和不符合题意． 因为矩形的长和宽都是正数， 所以反比例函数的图象只能在第一象限，故符合题意． 故选：D． 2．已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（，单位：）是反比例函数关系．根据下表判断正确的为（    ） 20 30 40 50 60 70 80 90 100 5 … … … … … 1 A． B．当， C．图象经过一、三象限 D．图象经过点 【答案】B 【分析】根据表格当电阻时，电流，设反比例函数为，由此求出电流与电路的电阻的关系，即可求解． 【详解】解：∵电流与电路的电阻是反比例函数关系， ∴设反比例函数解析式为，从表中可知电阻时，电流， ∴， ∴当时，；当时，， ∴，即选项错误； 当时，由得， ∴，即选项正确； ∵， ∴的图象在第一象限，即选项错误； 当时，， ∴图象不经过点，即选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的特点与实际情况中电阻与电流的关系是解题的关键． 3．已知水池的容量为50米3 ，每时灌水量为n米3 ，灌满水所需时间为t（时），那么t与n之间的函数关系式是（ ） A．t=50n B．t=50﹣n C．t= D．t=50+n 【答案】C 【详解】试题解析：由于体积=流速×时间， ∴t与n之间的函数关系式为： 故选C． 4．已知函数y=k(x+1)和y=，那么它们在同一坐标系中的图象大致位置是（    ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 【答案】B 【分析】把第一个一次函数化为y=kx+k；根据一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限，再根据反比例函数的比例系数可得函数图象所在的象限. 【详解】A.错误，一次函数k＞0应过一，二，三象限； B.正确，一次函数k＞0过一，二，三象限，反比例函数在一，三象限内； C.错误，一次函数k＜0应过二，三，四象限； D错误，反比例函数k＜0图像应在二，四象限内. 故选B. 【点睛】当一次函数为y=kx+k，反比例函数为y=时， 若k＞0，一次函数图象经过一二三象限，反比例函数图象在一三象限内； 如k＜0，一次函数图象经过二三四象限，反比例函数图象在二四象限内. 5．已知反比例函数y=kx-1的图象过点A（1，-2），则k的值为（　　） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】C 【分析】直接把点（1，-2）代入反比例函数y= 即可得出结论． 【详解】∵反比例函数y=的图象过点A(1,−2)， ∴−2= ， 解得k=−2. 故选C. 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把已知点代入解析式 6．反比例函数y=的图象如图，则函数y=﹣kx+2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得k的符号为负，则一次函数y=-kx+2的图象应经过一二三象限． 【详解】解：一次函数y=的图象经过二四象限， 即K＜0，即-K＞0 ∴一次函数y=-kx+2的图象应在定义域内为增函数，且经过（0,2）点 即该函数经过一二三象限， 故选B． 【点睛】考查反比例函数比例系数的求法及一次函数图象的性质；用到的知识点为：反比例函数的比例系数等于在他上面的点的横纵坐标的积；一次函数的比例系数小于0，经过二、四象限；常数项大于0，又经过第一象限． 7．已知（5，-1）是双曲线上的一点，则下列各点中不在该图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为点（5，-1）是双曲线上的一点， 将（5，-1）代入得k=-5； 四个选项中只有B不符合要求：k=5×1≠-5． 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征． 8．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，点B在X轴的负半轴上，AB＝AO＝13，线段OA的垂直平分线交线段AB于点C，△BOC的周长为23，则k的值为（    ） A．60 B．30 C．－60 D．－30 【答案】C 【分析】作AC⊥x轴于D，如图，利用垂直平分线的性质得CA=CO，再利用等腰三角形的性质和线段的等量代换可得到OB=10，接着利用等腰三角形的性质得BD=OD=5，则利用勾股定理可计算出AD=12，所以A（-5，12），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值． 【详解】解：作AC⊥x轴于D，如图， ∵线段OA的垂直平分线交线段AB于点C， ∴CA=CO， ∵△BOC的周长为23， ∴OB+BC+OC=23， ∴OB+BC+CA=23，即OB+BA=23， ∴OB=23-13=10， ∵AB=AO，AD⊥OB， ∴BD=OD=5， 在Rt△AOD中， ∴A（-5，12）， ∴k=-5×12=-60． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰三角形的性质． 9．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y=，由于点（0.2，500）在此函数解析式上，故可先求得k的值． 【详解】根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y=， 由于点（0.2，500）在此函数解析式上， ∴k=0.2×500=100， ∴y=． 故选B． 10．如图，矩形的对角线、相交于点E，轴于点B，所在直线交x轴于点F，点A、E同时在反比例函数的图象上，已知直线的解析式为，矩形的面积为120，则k的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，设与轴交于点，根据题意， ，，求得，进而可得，即，设则，根据面积为120求得的值，点A、E同时在反比例函数的图象上，表示出，则，即 ，即可求得的值 【详解】解：如图，过点作于点，设与轴交于点， ， ， ， 直线的解析式为， 令，，令， ， 设则 在中， 四边形是矩形 ， 矩形的面积为120， 即 解得 根据题意，点A、E同时在反比例函数的图象上， 设，则，即 即可 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，相似三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴交点问题，矩形的性质，熟练运用以上知识是解题的关键． 二、填空题 11．小刚每天骑电动车到离家4的学校上学，他每天在上学路上的时间（h）与骑行的平均速度（）之间的函数关系是 ． 【答案】 【分析】根据题意和公式，可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查应用题列函数关系式的问题，正确理解题意是解题的关键． 12．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（）成反比例，已知500度的近视眼镜镜片的焦距是，则y与x之间的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】设，根据已知500度的近视眼镜镜片的焦距是，求出的值即可． 【详解】解：设， ∵500度的近视眼镜镜片的焦距是， ∴，， ∴y与x之间的函数表达式是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意特意求出的值是解题的关键． 13．如图，A、B、C均在反比例函数图象上，横轴上垂足为D、E、F，若D、E是的三等分点，则图中阴影部分的面积为 （用含k的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并理解． 依据题意，设，又D、E是的三等分点，从而可得，，进而可以得解． 【详解】解：由题意，设， 又∵D、E是的三等分点， ∴，． ∴． 故答案为：． 14．A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的 函数，t可以写成v的函数关系式是 ． 【答案】 反比例 t= 【详解】本题考查的是实际问题中的函数关系 根据路程、速度、时间三个量之间的关系即可得到结论． 由题意得，是的反比例函数． 15．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（时）与行驶速度v（千米／时）之间的函数关系式是 ． 【答案】 【详解】分析：根据路程=时间×速度可得vt=20，再变形可得t=． 详解：由题意得：vt=20， t=， 故答案为t=． 点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出反比例函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 16．反比例函数，点A，是反比例函数在第一象限内图象上的两点，点A的坐标为，点的横坐标为，点为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】作直线，根据A的坐标为，可求出反比例函数解析式，从而可求出点坐标，进而可利用待定系数法求出直线AB的解析式为，求出直线与轴的交点的坐标后，即可由． 【详解】解：如图，作直线，设直线与轴交于点， 点在反比例函数图象上， ， 解得：， 反比例函数解析式为． 点的横坐标为， ， ． 设直线AB的解析式为， 则，解得：， 直线解析式为， 对于，令，则， 解得：． ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积．解本题的关键是求得交点坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，，，双曲线与线段无公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或或 【分析】分别求出双曲线过点A,B时对应的k值，然后数形结合即可得出答案． 【详解】当双曲线过点时，有 ； 当双曲线过点时，有 ； 数形结合可知，双曲线与线段无公共点时k的取值范围为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与线段的交点问题，确定出两个特殊位置的k的值及数形结合是解题的关键． 18．如图，点在反比例函数的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且．点是线段上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接、．当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出线段MN的解析式，最后联立两个解析式求出B和C两个点的坐标，再根据k的几何意义，确定P点位置，即可得到相应的x的取值范围． 【详解】解：∵点 ∴， 所以反比例函数的解析式为：， 因为， ∴, 设线段MN解析式为：， ∴， ∴， ∴线段MN解析式为：， 联立以上两个解析式得：， 解得：或，经检验，符合题意； 由图可知，两个函数的图像交点分别为点B和点C， ∴，， ∵， ∴P点应位于B和C两点之间， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题涉及到了动点问题，考查了反比例函数的图像与性质、k的几何意义、待定系数法等内容，解决本题的关键是牢记反比例函数的图像与性质，理解k的几何意义，以及能联立两个函数的解析式求交点坐标等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 三、解答题 19．已知一个面积为60的平行四边形，设它的其中一边长为x，这边上的高为y，试写出y与x的函数关系式，并判断它是什么函数． 【答案】y＝，y是x的反比例函数． 【分析】平行四边形一边上的高=面积÷这边长，把相关数值代入即可求得函数解析式，可符合哪类函数的一般形式即可． 【详解】∵xy=60，∴y，∴y是x的反比例函数． 【点睛】本题考查了列反比例函数解析式，根据面积公式求平行四边形一边上的高是解决本题的关键；用到的知识点为：反比例函数的一般形式为y（k≠0）． 20．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强． (1)当气体的体积为时，它的压强是多少？ (2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？ 【答案】(1)当气体的体积为时，它的压强是 (2)当气球内气体的体积应不小于时，气球才不会爆炸 【分析】（1）先求出气球内气体的压强与气体的体积的反比例函数关系式，然后代入进行求解即可； （2）先求出当时，的值，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴当气体的体积为时，它的压强是； （2）解：当时，， ∵， ∴V随p的增大而增大， ∴要使气球不会爆炸，则， ∴当气球内气体的体积应不小于时，气球才不会爆炸． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意得到是解题的关键． 21．已知反比例函数的图像经过点． (1)确定这个反比例函数的表达式． (2)函数的图像在哪几个象限？ (3)在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ (4)点、在这个函数的图像上吗？ 【答案】(1) (2)第一，三象限 (3)在每一个象限内，随的增大而减小 (4)点在，点不在 【分析】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，熟知用待定系数法求反比例函数的解析式的基本步骤是解题的关键． （1）直接把点代入反比例函数，求出k的值即可； （2）根据k的值判断出函数图像所在的象限，进而可得出结论； （3）根据（1）中反比例函数的解析式即可得出结论； （4）把点、代入函数解析式进行检验即可． 【详解】（1）解∶ 反比例函数的图像经过点， 解得， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）由（1）知， 函数的图像的两个分支分别位于第一、三象限； （3）由（2）知函数的图像的两个分支分别位于第一、三象限． ∴在每个象限内，y随x的增大而减小； （4）由（1）知反比例函数的表达式为， ∵当时， ，当时，， ∴．点在这个函数的图像上， 不在这个函数的图像上． 22．某机床加工一批机器零件，如果每小时加工30个，那么12时可以完成． (1)设每小时加工x个零件，所需时间为y时，写出y与x之间的函数关系式． (2)若要在一个工作日(8时)内完成，每小时比原来多加工多少个？ 【答案】（1）(x＞0)．；（2）每小时比原来多加工15个 【详解】解：(1)需加工的零件数为30×12＝360(个)． 故y与x之间的函数关系式为(x＞0)． (2)当y＝8时，，45－30－15(个)． 答：每小时比原来多加工15个． 23．已知反比例函数的图像经过点，这个函数的图像位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ 【答案】第二、四象限，在图像的每一支上，y随x的增大而增大 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，是基础知识要熟练掌握．设函数关系式为，把点代入即可求出解析式，根据反比例函数的性质得出图象分布的象限；根据反比例函数的性质得出增减性． 【详解】解：设函数关系式为， 反比例函数的图像经过点， ， ， 这个函数的图像位于第二、四象限，在图像的每一支上，y随x的增大而增大． 24．一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米/时的平均速度从甲地出发，则6小时可到达乙地． （1）写出时间t（时）关于速度v（千米/时）的函数关系式，并画出函数图象． （2）若这辆汽车需在5小时内从甲地到乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少？ 【答案】（1）t=．（2）汽车的平均速度至少为60千米/时． 【详解】试题分析：（1）利用时间t与速度v成反比例可以得到反比例函数的解析式； （2）令t=5，求得v值即可． 试题解析：（1）设函数关系式为． ∵汽车以50千米/时的平均速度从甲地出发，则6小时可到达乙地． ∴6=． 解得k=300． 故图象为： ∴时间t（时）关于速度v（千米/时）的函数关系式为t=． （2）令t=5，则5=． 解得v=60．故汽车的平均速度至少为60千米/时． 25．如图，已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）求m的取值范围； （2）O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值． 【答案】（1）m>7；（2）13． 【分析】（1）由题意可知，此反比例函数的图像在第一三象限，故m-7>0，于是求出m的取值范围； （2）利用解析式把A点坐标表示出来，然后根据△OAB的面积为6，求出m的值． 【详解】（1）由题意可知，此反比例函数的图像在第一三象限， 故m-7>0， 解得：m>7 ； （2）设点A坐标为（x，）， ∵点B与点A关于x轴对称， ∴AB=×2， ∵△OAB的面积为6， ∴×2×x =6， 解得：m=13， 故m的值为13 ． 26．如图，已知函数与相交于A，B两点，且过A作轴于C点， (1)求反比例函数的关系式． (2)观察图象，当x在什么范围内时正比例函数值大于反比例函数的值． (3)在坐标轴上是否存在一点E使得以B，O，E为顶点的三角形与相似（三角形全等除外）？ 若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时正比例函数值大于反比例函数值 (3)存在，或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一产欠函数交点问题． （1）把A(3，4)代入求出k值即可； （2）根据反比例函数的对称性，求出点B的坐标，即可由图象求解； （3）分两种情况：当点E在x轴上时，则；当点E在y轴上时，则，根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：把A(3，4)代入，得， ∴； （2）解：由题意，点A与点B关于原点O对称， ∵ ∴ ∴由图象可得：当或时正比例函数值大于反比例函数值； （3）解：∵，， ∴，，，， 分两种情况：①当点E在x轴上时， ∵ ∴当时，如图， ∴，即 ∴， ∴； 当时，，即 ∴； 此时，不符合题意，舍去， ∴当点E在x轴上时，； ②当点E在y轴上时， ∵ ∴轴， ∴， 当时，，即 ∴， ∴； 当时，，即， ∴ 此时，不符合题意，舍去， ∴当点E在y轴上时，， 综上，在坐标轴上存在一点E使得以B，O，E为顶点的三角形与相似（三角形全等除外），点E坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 反比例函数的应用 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 求反比例函数解析式 题型二 实际问题与反比例函数 题型三 反比例函数与几何综合 题型四 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型五 一次函数与反比例函数的交点问题 题型六 一次函数与反比例函数的实际应用 题型七 一次函数与反比例函数的其他综合应用 知识清单 知识点1．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点2．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点3．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型练习 【题型一】求反比例函数解析式 【例1】（24-25九年级上·重庆·期中）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【举一反三】 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当它的面积为10时，y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）已知一个反比例函数的图象分布在第二、四象限，请任写一个符合该条件的反比例函数 ． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知一个反比例函数的图象经过点，那么点是否在该函数图象上？ 【题型二】实际问题与反比例函数 【例2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2025九年级上·全国·专题练习）汽车站与汽车站相距约63.1km，则汽车由汽车站匀速行驶到汽车站所用时间（单位：h）与行驶速度（单位：）之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）为引进“鱼菜共生”养殖模式，小海在鱼塘进行小规模的扩建前对其进行排水．该鱼塘每小时的排水量（单位：）与排完水池中的水所用的时间（单位：h）之间的函数图象如图所示，则该鱼塘的蓄水量为 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如上图所示．当时，．当时，求二氧化碳密度的变化范围． 【题型三】反比例函数与几何综合 【例3】（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，若，则的范围为（    ） A． B． C． D．或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点．若，则的值为（    ） A．20 B．16 C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数的图象于点A，B．若C是y轴上任意一点，则的面积为 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的两个锐角顶点A，B在函数的图象上，轴，．若点A的坐标为，求点B的坐标． 【题型四】一次函数与反比例函数图象综合判断 【例4】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若，则函数和的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，函数与（不为零）的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集是 ． 3．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、，与轴交于点，与轴交于点． (1)连接，求的面积． (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； 【题型五】一次函数与反比例函数的交点问题 【例5】（2025九年级上·全国·专题练习）若函数与函数的图象相交于点，则下列各点不在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于的不等式解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，函数与的图象交于点，则代数式的值为 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，连接OC．已知点B的坐标为，的面积是2，求b，k的值． 【题型六】一次函数与反比例函数的实际应用 【例6】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 2．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【题型七】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【例7】（23-24九年级上·河北保定·期末）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 【举一反三】 1．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点A，点在线段的延长线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点、，将线段、和函数的图象在、之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有5个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习） 某校为预防流感，对教室进行熏药消毒，测得药物燃烧后室内每立方米空气中的含药量（单位：）与时间（单位：min）之间的函数关系如下图所示．已知药物燃烧时，满足；药物燃烧后，与成反比例．现测得药物燃毕，此时室内每立方米空气中的含药量为10mg． (1)求的值，并求当时，关于的函数表达式． (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，则此次消毒是否有效？请计算说明． 好题必刷 一、单选题 1．已知矩形的面积为5，它的长与宽之间的关系用图像大致可表示为（   ） A．B．C．D． 2．已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（，单位：）是反比例函数关系．根据下表判断正确的为（    ） 20 30 40 50 60 70 80 90 100 5 … … … … … 1 A． B．当， C．图象经过一、三象限 D．图象经过点 3．已知水池的容量为50米3 ，每时灌水量为n米3 ，灌满水所需时间为t（时），那么t与n之间的函数关系式是（ ） A．t=50n B．t=50﹣n C．t= D．t=50+n 4．已知函数y=k(x+1)和y=，那么它们在同一坐标系中的图象大致位置是（    ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 5．已知反比例函数y=kx-1的图象过点A（1，-2），则k的值为（　　） A．1 B．2 C．-2 D．-1 6．反比例函数y=的图象如图，则函数y=﹣kx+2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．已知（5，-1）是双曲线上的一点，则下列各点中不在该图象上的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，点B在X轴的负半轴上，AB＝AO＝13，线段OA的垂直平分线交线段AB于点C，△BOC的周长为23，则k的值为（    ） A．60 B．30 C．－60 D．－30 9．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 10．如图，矩形的对角线、相交于点E，轴于点B，所在直线交x轴于点F，点A、E同时在反比例函数的图象上，已知直线的解析式为，矩形的面积为120，则k的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．小刚每天骑电动车到离家4的学校上学，他每天在上学路上的时间（h）与骑行的平均速度（）之间的函数关系是 ． 12．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（）成反比例，已知500度的近视眼镜镜片的焦距是，则y与x之间的函数表达式是 ． 13．如图，A、B、C均在反比例函数图象上，横轴上垂足为D、E、F，若D、E是的三等分点，则图中阴影部分的面积为 （用含k的式子表示）． 14．A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达时所用的时间是th，那么t是v的 函数，t可以写成v的函数关系式是 ． 15．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（时）与行驶速度v（千米／时）之间的函数关系式是 ． 16．反比例函数，点A，是反比例函数在第一象限内图象上的两点，点A的坐标为，点的横坐标为，点为坐标原点，则的面积为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，，，双曲线与线段无公共点，则的取值范围是 ． 18．如图，点在反比例函数的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且．点是线段上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接、．当时，x的取值范围是 ． 三、解答题 19．已知一个面积为60的平行四边形，设它的其中一边长为x，这边上的高为y，试写出y与x的函数关系式，并判断它是什么函数． 20．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强． (1)当气体的体积为时，它的压强是多少？ (2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？ 21．已知反比例函数的图像经过点． (1)确定这个反比例函数的表达式． (2)函数的图像在哪几个象限？ (3)在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ (4)点、在这个函数的图像上吗？ 22．某机床加工一批机器零件，如果每小时加工30个，那么12时可以完成． (1)设每小时加工x个零件，所需时间为y时，写出y与x之间的函数关系式． (2)若要在一个工作日(8时)内完成，每小时比原来多加工多少个？ 23．已知反比例函数的图像经过点，这个函数的图像位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ 24．一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米/时的平均速度从甲地出发，则6小时可到达乙地． （1）写出时间t（时）关于速度v（千米/时）的函数关系式，并画出函数图象． （2）若这辆汽车需在5小时内从甲地到乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少？ 25．如图，已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）求m的取值范围； （2）O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值． 26．如图，已知函数与相交于A，B两点，且过A作轴于C点， (1)求反比例函数的关系式． (2)观察图象，当x在什么范围内时正比例函数值大于反比例函数的值． (3)在坐标轴上是否存在一点E使得以B，O，E为顶点的三角形与相似（三角形全等除外）？ 若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$