精品解析：广东省汕头市第一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中考试 高一级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法结合共轭复数概念可得答案. 【详解】，则. 故选：B． 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】若， 则，即， 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 水平放置的矩形的直观图是平行四边形 C. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据公理判定A的真假；根据斜二测画法的规则判断B的真假；根据线面平行的性质判断C的真假；根据圆锥的概念判断D的真假. 【详解】共线的三点不能确定一个平面，故A错误； 由斜二测画法规则知，B正确； 若直线与平面平行，则与平面内的直线有可能异面，故C错误； 以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故D错误． 故选：B 5. 设P是所在平面内的一点，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】移项得.故选B 6. 已知=（-1，1），||=，|+2|=，则向量与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题中条件先求出向量与的数量积，再由 即可求出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以，因此， 所以，因此向量与的夹角为. 故选D 【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，根据向量的数量积运算，即可求解，属于基础题型. 7. 已知为平面，为两条不同的直线，且，设命题甲：；命题乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线平行、线面平行相关定理依次判断充分性与必要性即可. 【详解】，，或，充分性不成立； ，，和相交、平行或异面，必要性不成立. 故选：D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数、函数的单调性以及函数的零点转化待求不等式，求解即得. 【详解】因为， 所以在上单调递增，且． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且． 由，可得或，解得或． 即的解集为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. （多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量共线定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 由于，是不共线的向量，故，不共线，故A错误， 对于B, ,故，共线，B正确， 对于C, ,故，共线，C正确， 对于D, 若存在实数，使得，则，结合，是不共线的向量， 故且，此时无解，故不存在使得，故，不共线，故D错误， 故选：BC 10. 如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 四点，，，在同一平面内 B. 三条直线，，有公共点 C. 直线与直线不是异面直线 D. 直线上存在点使，，三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据平行关系可证，即可得四点共面；对于B：根据平面的性质分析判断；对于C：根据异面直线的判定定理分析判断；对于D：可知与相交，即可判断. 【详解】作图，如图： 对于选项A：连接， 因为，可知为平行四边形，则， 又因为，分别为，的中点，则， 可得，所以四点，，，在同一平面内，故A正确； 对于选项B：延长，则相交于点，即， 又因为平面，平面， 则平面，平面， 且平面平面，所以， 即三条直线，，有公共点，故B正确； 对于选项C：因为平面，平面，， 所以直线与直线是异面直线，故C错误； 对于选项D：因为均在平面内，连接，则与相交， 所以直线上存在点使，，三点共线，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体，中，点M，N，E，F分别是梭，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为4π B. 平面平面EFDB C. 异面直线AM与BE所成角的余弦值为 D. 平面AMN和平面EFDB分正方体成三部分的体积由小到大的比值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出外接球的半径后可判断其正误，对于B，由面面平行的判定定理可判断其正误，对于C，利用余弦定理可判断其正误，对于D，利用棱台的体积公式求出体积后可判断其正误. 【详解】对于A，正方体的外接球的直径为，故外接球的半径为，故体积为，故A错， 对于B，连接，由正方体性质可得四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故面， 同理面，又AM与AN相交，且平面， 则面面BDFE，故B正确， 对于C，由于，因此或其补角为异面直线AM与BE所成角， ，， 由余弦定理可得， 故C正确， 对于D，，延长和BE相交于点Q， 由于E是的中点，，所以是QC的中点， 同理可知DF与也相交于点Q，故为三棱台， 因此， 因此平面AMN和平面EFDB之间的体积为： ， 因此三部分的体积由小到大的比值为，D错误． 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数及对数运算律计算求解. 【详解】． 故答案为：. 13. 如图，正方形的边长为2，分别以边和的中点为圆心画弧和，以直线为轴旋转，弧和线段分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据曲线形状可得出旋转一周形成的曲面所围成的几何体，再由体积公式计算即可. 【详解】易知旋转所形成的几何体是以底面半径为1，高为2的圆柱被挖去了上下两个半球，且半球的半径为1， 因此围成的几何体的体积是. 故答案为： 14. 如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①由，得圆台的下底面和上底面的半径，结合梯形的高为圆台的高，利用圆台的体积公式即可求解；②由圆台性质，延长，，交于点，由与相似即可计算，设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角，在侧面展开图中，连接，，即可计算出的最短距离. 【详解】①由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，圆台的高为， 所以圆台的体积为. ②在梯形中，，即母线长为3， 如图，由圆台性质，延长，，交于点， 由与相似，得，即，解得， 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 验证知，由，，，得， 此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. （1）求证：点在直线上； （2）作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】（1）证明见详解 （2）图形见详解 【解析】 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【小问1详解】 平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. 【小问2详解】 如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用展开化简即可求解； （2）由面积可得，由余弦定理可得，解方程即可求出，进而可求周长. 【小问1详解】 由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． 【小问2详解】 由，得． 由余弦定理，得， 得， 得， 所以的周长为． 17. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求在方向上投影向量的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直和向量线性运算的坐标表示求解即可； （2）根据向量平行的坐标表示求出，结合投影向量的公式计算即可. 【小问1详解】 由可得：， 即， 解得. 【小问2详解】 由，可得，即， 解得，则， 因在方向上投影向量为， 故其坐标为：. 18. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）设平面平面，求证：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质可得，再由线面平行判定定理可证明所以平面； （2）根据线面垂直性质由平面可得，结合正方形中可证明平面，再由线面垂直判定定理证明平面； （3）易证平面，由平面平面，根据线面平行性质定理证明，即可得平面． 【小问1详解】 连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 ∵平面，平面∴， 又∵在正方形中，， ，，平面， ∴平面， 又∵平面，∴， ∵，为中点，故， 又，且平面PCB，平面， ∴平面 【小问3详解】 在正方形中，有， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 19. 如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且 （1）若时，求的长； （2）若△的面积是△的面积的倍，求的大小； （3）当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）2； （2）； （3）时，的面积取最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出角、的大小，利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； （2）设，根据已知条件可得出，由正弦定理得出，可得出的值，结合角的范围可得出角的值，即可得解； （3）设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 由，，， 得， 又，则，，所以， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， 【小问2详解】 设， 因为的面积是的面积的倍， 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即. 【小问3详解】 设，由（2）知， 又在中，由，得， 所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中考试 高一级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 水平放置的矩形的直观图是平行四边形 C. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 5. 设P是所在平面内的一点，，则 A. B. C. D. 6. 已知=（-1，1），||=，|+2|=，则向量与的夹角为（　　） A. B. C. D. 7. 已知为平面，为两条不同的直线，且，设命题甲：；命题乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. （多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 四点，，，在同一平面内 B. 三条直线，，有公共点 C. 直线与直线不是异面直线 D. 直线上存在点使，，三点共线 11. 如图，在棱长为2的正方体，中，点M，N，E，F分别是梭，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为4π B. 平面平面EFDB C. 异面直线AM与BE所成角的余弦值为 D. 平面AMN和平面EFDB分正方体成三部分的体积由小到大的比值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______． 13. 如图，正方形的边长为2，分别以边和的中点为圆心画弧和，以直线为轴旋转，弧和线段分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是________． 14. 如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. （1）求证：点在直线上； （2）作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求在方向上投影向量的坐标． 18. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）设平面平面，求证：平面． 19. 如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且 （1）若时，求的长； （2）若△的面积是△的面积的倍，求的大小； （3）当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $