精品解析：广东省汕头市第一中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题

2024-2025学年度第二学期期末考试 高一级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“，”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即，， 故答案为：A， 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦函数的奇偶性、周期性和特殊角的三角函数值直接求解即可. 【详解】， 故选：B 3. 已知，的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 4. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），画出如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. 可以估计该市月均用水量在区间内的居民用户最多 B. 可以估计随着月均用水量的增加，该市居民用户数呈现降低趋势 C. 可以估计该市月均用水量的平均数小于中位数 D. 可以估计该市居民月均用水量的分位数为14.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、平均数、中位数、百分位数的定义逐一判断. 【详解】由众数的定义可知，100户居民月均用水量在区间内的居民用户最多，再由样本估计总体可知，A正确； 由图可知，随着月均用水量的增加，高度呈现降低的趋势，故B正确； 平均数为 ， 因为，，则中位数在第二组内， 设中位数为，则，得， 故可以估计该市月均用水量的平均数大于中位数，故C错误； 因为，， 则分位数在第五组内， 设该市居民月均用水量的分位数为，则， 得，故D正确. 故选：C 5. 已知直线与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，则也可能平行，故A错误； 若，则，故B正确； 若，则可能垂直，也可能平行，故C错误； 若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 所以可能相交，不一定垂直，故D错误； 故选：B 6. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 7. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 8. 如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图： 依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是（ ） A. 平均说来甲队比乙队防守技术好 B. 甲队比乙队技术水平更稳定 C. 甲队有时表现很差，有时表现又非常好 D. 乙队很少不失球 【答案】ACD 【解析】 【分析】平均数反映数据的集中趋势，标准差反映数据的离散程度（波动大小），通过分析两队的平均失球数和失球个数的标准差来判断各选项的正确性. 【详解】对于A,由甲队每场比赛平均失球数是1.5,乙队每场比赛平均失球数是2.1, 说明甲队每场比赛平均失球数比乙队每场比赛平均失球数少， 所以平均说来甲队比乙队防守技术好，故A正确； 对于B、C,甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1， 乙队全年失球个数的标准差是0.4， 说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大， 所以甲队的表现时好时坏，起伏较大，故B错误，C正确； 对于D，乙队的平均失球数多，全年失球个数的标准差很小， 说明乙队的表现较稳定，经常失球,故D正确. 故选：ACD 10. 如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. 事件A与B互斥 C. D. 事件与B相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据计算，判断A的真假；计算，判断B的真假；根据。利用古典概型概率公式，求，判断C的真假；分别计算和，可判断D的真假. 【详解】∵，A对； ∵，∴，∴A与B不互斥，B错； ，C对； ∵， 又，， ∴ ∴事件与B相互独立D对． 故选：ACD 11. 已知函数的最大值为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期为π C. 在内递减 D. 在上的解集是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦的和差角公式及辅助角公式得，结合条件得，即可判断A的正误，对B，利用周期的计算公式，即可判断B的正误；对于C，利用性质，求出的单调递减区间，即可求解；对于D，利用性质，求出的解集，即可求解. 【详解】因为 ， 因为的最大值为1，所以，解得，所以A正确， 对于B，因为最小正周期为，所以B错误， 对于C，由，，得到，， 的单调递减区间为， 令，得到的一个单调递减区间为，所以C正确， 对于D，由，即，整理， 得到，，即， 又，令，得到，令，得到，所以D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z与 （z +2）2-8i 均是纯虚数,则 z = _______________． 【答案】 【解析】 【详解】设 13. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：先利用二倍角公式，结合同角三角函数的基本关系，求出，再利用二倍角公式结合弦化切进行求值. 方法二：分子分母同乘以，利用平方关系求值. 【详解】法1： ，解得：， . 法2：∵， ∴ 又，，∴. 故答案为： 14. 如图1，长方体容器置于水平地面上，内灌进一些水，水面高为，，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，容器内的水形成新的几何体，如图2，当时，该几何体的外接球表面积为________． 【答案】41π 【解析】 【分析】利用等体积法求出，利用可求出外接球半径，最后求出表面积. 【详解】依题意，图1和图2中容器内的水形成的几何体都为直棱柱，图2底面△HCG为直角三角形， 由于水的体积及BC不变，故图2中的面积等于图1中矩形的面积，即图2中，，因，则， 此时直三棱柱CHG-BEF可补形为以CH、CG、BC为棱的长方体，则所求外接球直径等于此长方体体对角线长， 即， 故所求外接球表面积为． 故答案为：41π. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，则的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）由三角形面积公式求出，由余弦定理得到，从而得到，得到周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 故， 由余弦定理得， 解得， 故，解得， 故，周长为6. 16. 声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． （1）若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ （2）若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用声强级和声强的计算公式结合已知条件求出，再根据对数的运算性质求解即可； （2）根据对数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 解法1： 依题意可知当时，，即，解得， 若声强级增加，即， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． 解法2： 依题意可知当时，，即，解得， 所以，则 若声强级增加，则， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． 【小问2详解】 显然在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以李明早读时读书的声强级范围为（单位：）． 17. 如图，在三棱锥中，，底面，求证： （1）平面面； （2）若，是的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 底面，底面，． ，． ，平面，平面， 又面， 所以 平面面； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，再由，即可得到平面，从而得证； （2）取中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，连接，则就是与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接． ，， 由（1）平面平面，平面平面，面， 平面， 连接，则就是与平面所成角． ，所以，， 所以， 所以，，， ， 与平面所成角的正弦值是． 18. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么 （1）在树状图中填写样本点，并写出样本空间； （2）求李明第二次答题通过面试的概率； （3）求李明最终通过面试的概率． 【答案】（1），样本空间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出树状图，并写出样本空间即可； （2）由第二次通过面试，即第一次没有通过，第二次通过，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解； （3）先求出未通过面试的概率，结合对立事件的概率求法，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，可得树状图及样本点，如图所示， 其样本空间为. 【小问2详解】 解：由题意知，， 所以第二次答题通过面试的概率. 【小问3详解】 解：由题意，李明未通过的概率为， 所以李明通过面试的概率为. 19. 已知函数． （1）求函数的对称中心的坐标； （2）李明在研究函数时，由得出结论“在区间内至少有一个零点”．这个结论正确吗？若正确，请确定在区间内的零点个数；若错误，请说明原因． 【答案】（1） （2）正确，在上存在唯一零点 【解析】 【分析】（1）法1，求证为奇函数，再结合函数图象平移可得；法2，设的对称中心为，根据即可求出； （2）利用单调性的定义求证在上单调递减，再结合零点存在性定理可得. 【小问1详解】 法1：∵定义域为R，且， 即为奇函数，其对称中心为， 则的函数图象为的函数图象向上平移1个单位所得， 故的对称中心为； 法2：设的对称中心为，则对恒成立， 因，则对恒成立， 则，， 解得：， 所以对称中心为. 【小问2详解】 由零点存在性定理可知，这个结论正确 任取，且， 则 ∵，∴，，，， ∴ ∴，即， ∴在上单调递减，又, ∴结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末考试 高一级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 4. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），画出如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. 可以估计该市月均用水量在区间内的居民用户最多 B. 可以估计随着月均用水量的增加，该市居民用户数呈现降低趋势 C. 可以估计该市月均用水量的平均数小于中位数 D. 可以估计该市居民月均用水量的分位数为14.2 5. 已知直线与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 7. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是（ ） A. 平均说来甲队比乙队防守技术好 B. 甲队比乙队技术水平更稳定 C. 甲队有时表现很差，有时表现又非常好 D. 乙队很少不失球 10. 如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. 事件A与B互斥 C. D. 事件与B相互独立 11. 已知函数的最大值为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期为π C. 在内递减 D. 在上的解集是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z与 （z +2）2-8i 均是纯虚数,则 z = _______________． 13. 已知，则________． 14. 如图1，长方体容器置于水平地面上，内灌进一些水，水面高为，，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，容器内的水形成新的几何体，如图2，当时，该几何体的外接球表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，则的面积为，求的周长． 16. 声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． （1）若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ （2）若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 17. 如图，在三棱锥中，，底面，求证： （1）平面面； （2）若，是的中点，求与平面所成角的正弦值． 18. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么 （1）在树状图中填写样本点，并写出样本空间； （2）求李明第二次答题通过面试的概率； （3）求李明最终通过面试的概率． 19. 已知函数． （1）求函数的对称中心的坐标； （2）李明在研究函数时，由得出结论“在区间内至少有一个零点”．这个结论正确吗？若正确，请确定在区间内的零点个数；若错误，请说明原因． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $