第一章 因式分解（知识清单）数学鲁教版五四制八年级上册

第一章 因式分解 1、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 2、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 3、公式法 （1）平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： （2）完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 4、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 5、因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 一、因式分解的辨析 1．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. ，是因式分解； B. ，是整式的乘法，不是因式分解； C. ，右边最后运算减法，不是因式分解； D. ，右边为分式，不是因式分解； 故选：A． 2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、属于整式的乘法计算，不符合题意； B、属于因式分解，符合题意； C、右边不完全是积的形式，不符合题意； D、属于单项式乘以多项式运算，不符合题意； 故选：B． 3．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是 ．（填序号） 【答案】① 【详解】解：①是因式分解，符合题意； ②是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：①． 二、确定公因式 4．用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 所以公因式是． 故选：C． 5．将多项式进行因式分解，公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：多项式， 公因式是． 故选：A． 6．与的公因式是 ． 【答案】 【详解】解：根据确定公因式的方法，可得与的公因式为， 故答案为：． 7．用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．直接利用公因式的定义找出公因式，进而提取分解因式即可． 【详解】解：， ∴应提取的公因式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查提取公因式法分解因式．确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“－”，则公因式的符号一般为负．正确找出公因式是解题的关键． 三、公式法的适用条件 8．如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，按照两种方法计算图形面积，根据面积相等，即可解答． 【详解】解：图形的面积为：或：， ∴， 故选：B． 9．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】解：A. 只有两项，不符合完全平方公式； B.其中有两项、不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式； C. 其中两项、不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式； D. 符合完全平方公式． 故选D． 【点睛】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键． 10．给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查提取公因式和公式分解因式，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④不能分解因式； 其中含有因式的多项式为：①②③，共3个， 故选C． 11．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，满足的式子即为符合题意的式子，据此求解即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 12．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，理解并运用整式乘法和因式分解是互逆的是解题的关键． 能因式分解的利用因式分解的方法分解即可，不能因式分解的，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算判断即可． 【详解】解：A、 ，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 重难点01 综合因式分解法和公式法分解因式 1．将因式分解． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 2．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法因式分解的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的步骤一提、二套、三检查、分解要彻底成为解题的关键． （1）先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）先运用平方差公式进行分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：方法一：原式 ； 方法二：原式 ． 4．已知，满足，且，为等腰三角形的边长，则的周长是 ． 【答案】15 【分析】根据，即，可得，，而，为等腰三角形的边长，因此等腰三角形的第三条边的边长为6，分别计算即可．本题考查的是因式分解的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ，为等腰三角形的边长， 等腰三角形的第三条边的边长为6， 当第三条边的边长为6时，的周长为：， 故答案为：15． 重难点02 与图形有关的因式分解 5．如图，点在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接、、得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为；则 ． 【答案】 【分析】连接BE发现，无论正方形BCEF怎样变，△AME面积都与△AMB相等，因为都是以AM为底，以AM到BE之间的距离为高． 【详解】连接BE， ∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF， ∴BE∥AM． ∴△AME与△AMB同底等高． ∴△AME的面积=△AMB的面积． ∴当AB=n时，△AME的面积为， 当AB=2019时，△AME的面积为． 当AB=2020时，△AME的面积为． ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查等面积法在几何题中的应用，善于发现BE始终平行AM是本题关键． 6．探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解； （2）分别表示出阴影部分的长和宽，由面积公式就可求出面积即可； （3）根据阴影部分的面积相等建立等式即可； （4）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即， 故答案为：． （2）解：由图可知矩形的长是，宽是，所以面积是， 故答案为：． （3）解：根据阴影部分面积相等可得：， 故答案为：． （4）解： ． 7．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ； （2）解：①，， ； ② ． 8．将周长相等的矩形和正方形按如图所示的方式叠放在一起（其中点D在上，点B在的延长线上，和相交于点G），正方形的边长为m，矩形的宽为x，长为y． (1)写出x，y，m之间的等量关系． (2)若矩形的周长记作，矩形的周长记作 ①求的值（用含y，m的代数式表示）； ②若关于y的不等式的正整数解只有2个，求m的取值范围． (3)若矩形的面积记作，矩形的面积记作，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)，理由见解析 【分析】（1）根据矩形和正方形的周长相等，构建关系式即可解决问题； （2）①用x，y，m表示上述出矩形的周长，相加即可； ②根据列式求解即可； （3）分别表示出，利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形的周长相等， ∴， ∴； （2）解：①∵矩形的周长记作， 矩形的周长记作， ∴； ②∵，即 ∴， ∵关于y的不等式的正整数解只有2个， ∴， 解得： ， ∴m的取值范围是； （3）解：，理由如下： 理由：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了长方形和正方形的面积与周长、解含有参数的一元一次不等式、作差法比较大小、整式的加减、整式的乘法、因式分解等知识，熟练掌握整式的运算法则和一元一次不等式的解法是解题的关键． 重难点03 因式分解法的综合应用 9． 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如： ， ，；则8、16、24这三个数都是奇特数． (1)32这个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式． (2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此  规律拼叠到正方形ABCD，其边长为19，求阴影部分的面积． 【答案】(1)32是奇特数， (2)两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据即可求解； （2）利用平方差公式进行计算，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数； （3）利用阴影部分面积为：，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴32是奇特数， （2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数， 理由： ； ∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数． （3） ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 10．若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 【答案】D 【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解， 本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 11．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1； 【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案． （2）根据平方差公式即可求出答案． 【详解】（1）原式 ； （2） ． 【点睛】本题考查了用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，解题关键根据数据特征选择适当公式进行计算． 12．一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【答案】(1)130 (2)34 【分析】本题考查因式分解在新定义题型中的应用，能根据新定义将一个正整数进行分解是解决问题的前提． （1），根据的定义即可得到答案； （2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据的定义即可得到答案． 【详解】（1）． ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵能被7整除，， ∴或， ∴或或或， 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，此时q不是平方差数，不符合题意； 当，时，， ∵， ∴． ∵， ∴的最小值为34． 13．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，．因此，、、这三个数都是神秘数． (1)验证和这两个数是否为神秘数； (2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗? 请说明理由． 【答案】(1)和这两个数都是神秘数 (2)是，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可求解； （2）根据定义，利用平方差公式因式分解即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴和这两个数都是神秘数； （2）解：是，理由如下 ∵这两个连续偶数构造的神秘数为 ∵取非负整数 ∴由和造的神秘数是的倍数 【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 14．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为；② (2)2024 【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键． （1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可； ②利用换元法进行因式分解即可； （2）设，，则原式，整体代入计算即可． 【详解】（1）①该同学没有完成因式分解； 设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） ． ∴最后的结果为． ②设， 原式 ． ； （2）设，， 则， ， 原式 ． 15．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：30，31，33中，“迥异数”为 ． ②计算： ， ． (2)如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，请求出“迥异数”b． (3)如果一个“迥异数”的十位数字是x，个位数字是，另一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是2，且满足，请直接写出满足条件的x的值． 【答案】(1)①31， ②5， ， (2) (3)6或8 【分析】本题考查了因式分解的应用，能理解“迥异数”定义是本题的关键． （1）①由“迥异数”的定义可得，②根据定义计算可得， （2）由可求k的值，即可求b， （3）根据题意可列出不等式，可求出即可求x的值 【详解】（1）①对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”， “迥异数”为31， 故答案为：31； ②， ， 故答案为：5， ， （2）， ， ， （3）， 解得：， ，， ， 且x为正整数， ，7，8， 当时，，， 当时，，（不符合题意，舍去）， 当时，，， 综上所述：x为6或8 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 因式分解 1、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是 的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 2、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的 ，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 3、公式法 （1）平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的 与这两个数的差的 ，即： （2）完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的 ，等于这两个数的 平方． 即 . 形如，的式子叫做完全平方式. 4、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 5、因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先 ； （2）如果各项没有公因式那就尝试用 ； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 一、因式分解的辨析 1．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是 ．（填序号） 二、确定公因式 4．用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 5．将多项式进行因式分解，公因式是（    ） A． B． C． D． 6．与的公因式是 ． 7．用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是 ． 三、公式法的适用条件 8．如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（   ） A． B． C． D． 9．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 10．给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 12．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 重难点01 综合因式分解法和公式法分解因式 1．将因式分解． 2．因式分解： (1) (2) 3．因式分解： (1)； (2)． 4．已知，满足，且，为等腰三角形的边长，则的周长是 ． 重难点02 与图形有关的因式分解 5．如图，点在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接、、得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为；则 ． 6．探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 7．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 8．将周长相等的矩形和正方形按如图所示的方式叠放在一起（其中点D在上，点B在的延长线上，和相交于点G），正方形的边长为m，矩形的宽为x，长为y． (1)写出x，y，m之间的等量关系． (2)若矩形的周长记作，矩形的周长记作 ①求的值（用含y，m的代数式表示）； ②若关于y的不等式的正整数解只有2个，求m的取值范围． (3)若矩形的面积记作，矩形的面积记作，试比较与的大小，并说明理由． 重难点03 因式分解法的综合应用 9． 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如： ， ，；则8、16、24这三个数都是奇特数． (1)32这个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式． (2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此  规律拼叠到正方形ABCD，其边长为19，求阴影部分的面积． 10．若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 11．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 12．一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 13．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，．因此，、、这三个数都是神秘数． (1)验证和这两个数是否为神秘数； (2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗? 请说明理由． 14．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 15．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：30，31，33中，“迥异数”为 ． ②计算： ， ． (2)如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，请求出“迥异数”b． (3)如果一个“迥异数”的十位数字是x，个位数字是，另一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是2，且满足，请直接写出满足条件的x的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$