专题01 因式分解6大重点题型（专项训练）数学鲁教版五四制八年级上册

专题01 因式分解 题型一、判断是否是因式分解 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二、已知因式分解的结果求参数 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东茂名·期中）若和是的因式，则为（    ） A． B． C．7 D．3 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·浙江·期中）若，则k的值是（    ） A．10 B． C． D．14 9．（24-25八年级下·四川成都·期中）多项式的一个因式为，则m的值为 ． 题型三、利用提公因式法因式分解 10．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： ． 11．（2018·上海青浦·二模）因式分解： ． 12．（24-25九年级下·吉林·期中）分解因式： ． 13．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知，，则 ． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）分解因式：． 题型四、综合利用提公因式和公式法分解因式 15．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： 16．（2017·江苏无锡·二模）因式分解： ． 17．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： ． 18．（24-25八年级下·广东·期中）因式分解： (1)； (2)． 19．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）分解因式： (1)； (2)． 20．（24-25八年级上·江西宜春·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 21．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 题型五、因式分解的应用 22．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）对于算式，下列说法错误的是(   ) A．能被2022整除 B．能被2023整除 C．能被2024整除 D．能被2025整除 23．（24-25八年级下·福建莆田·期中）已知、、为的三边， (1)若，判断的形状； (2)若，计算的值． 24．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成16块，其中有三块是边长都为的大正方形，三块是边长都为的小正方形，十块是长为，宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________； (2)若每块小矩形的面积为，六个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和． 25．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 26．（24-25七年级下·山东济南·期中）实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于两个建筑的占地面积(图中阴影)展开了讨论． 数据采集： 两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)其中，求这两个建筑物的占地面积的差是多少？ 27．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）观察下列分解因式的过程：． 解：原式 像这种通过增减项把多项式转化成适当的完全平方式的方法，在代数计算与推理中往往能起到巧妙解题的效果． (1)请你运用上述方法分解因式：； (2)若，求证：的值为非负数． 28．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ． （2）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，则符合条件的值为 ． 29．（24-25七年级下·四川成都·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；②第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；③第一、二次降价百分率为．(其中，，)若产品原价记为单位1，设降价后方案①的产品价格为A，方案②的产品价格为B，方案③的产品价格为C． (1)用含，代数式表示，，； (2)在三个方案降价后的产品价格A，B，C中，最高价与最低价之间的价差是多少？(用含a，b代数式表示) 30．（24-25七年级下·河南郑州·期末）完成如下项目式学习表： 课题任务 代数推理 人员／日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航2025年6月3日 观察 ；． 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除． 求索 （1）______； 论证 （2）设奇数为（为整数），试说明比大7的数与的平方差能被7整除； 延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由． 31．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”.例如，因为，所以就是一个智慧数，而和则是的智慧分解.那么究竟哪些数为智慧数?第个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数? 为此，小明和小颖展开了如下探究： 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，， 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为，，其中，且为整数.则. (1)根据上述探究，可以得出：除外所有______都是智慧数，并请直接写出的智慧分解； (2)继续探究，他们发现，，所以和均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数，请证明他们的猜想； (3)根据以上所有探究，请直接写出第个智慧数，以及它的智慧分解. 32．（24-25七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 33．（24-25八年级下·山东济南·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36_________“智慧数”（填“是”或“不是”）． (2)设两个连续偶数是和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？请解释说明． (3)在数学学习中，数形结合思想是常用的数学思想．如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……按此规律拼叠到正方形，其边长为20，请结合（2）中的结论，求阴影部分的面积． 34．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法．在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．八（1）班的几名同学在对多项式进行因式分解，用“换元法”进行解题时发现了几种方法： 【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路． 解：令，得：， 即原式 【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路 解：令，得：， 即原式 【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换．相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元． 解：，∴令， 得：，即原式 请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题： (1)从三种解法中任选一种进行因式分解： (2)小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解． 解：原式 请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整． (3)请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 题型六、配方法的应用 35．（24-25七年级下·四川成都·期中）若多项式，则P的最小值是 ． 36．（24-25八年级上·广东江门·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， ∴当时，，有最小值0 ∴当时，，有最小值． 所以最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)多项式有最_______（填“大”或“小”）值，该值为_______． (2)已知，求的最值． (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长． 37．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项4，使它与的和成为一个完全平方式，再减去4，式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论取何值，，所以当时，多项式有最小值为．试确定：多项式是否存在最大值或最小值？如果有，请求出最大值或最小值；如果不存在，请说明理由． (3)已知是实数，试比较与的大小，说明理由． 38．（21-22八年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】把整式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如： ①用配方法因式分解： 解： ②求的最小值． 解： 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)利用上述方法进行因式分解：； (3)求的最小值． 39．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例：因式分解：． 解：原式 (1)解决问题：运用配方法将多项式进行因式分解． (2)拓展运用：已知，，是的三边长．且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 40．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 41．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（为常数）写成（为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______﹔ 【知识运用】： （3）求多项式的最小值． 42．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”，如：．因此，，都是“友好数”． (1)和这两个数是友好数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和，（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的友好数是的倍数吗？为什么？ 43．（24-25八年级下·山东济南·期末）阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)因式分解：． 44．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式，原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 45．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码． (1)对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码． (2)对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由． 46．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一，例如，求的最小值： 解：原式 ， 当时，取得最小值是1， 请你仿照以上方法求出的最小值； （2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0． 请根据非负算式的性质解答下题： 已知的三边满足，求的周长． 47．（24-25八年级下·福建漳州·期末）阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． (1)分解因式：______． (2)若多项式的最小值为1，求出k的值． (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 48．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 49．（24-25七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是“智慧小组”研究性学习报告的部分内容，请仔细阅读，并完成相应任务． 两连续偶数和与这两数差的平方差 学习了第一章《整式的乘除》后，我们“智慧小组”开展了以下探究活动． 问题： 两连续偶数和与这两数差的平方差是否一定能被16整除？ 初步探究： 进行特例探究，选择两个具体的偶数进行验证．如选4和6，为表达方便，设它们的和为，它们的差为．则，，发现，96能够被16整除． 继续取几组连续偶数进行验证，发现的值都能被16整除． 深入探究： 探究结论的一般性．设两连续偶数分别为和，进行如下验证： ， 任务： (1)请你按“智慧小组”的思路完成以上结论的验证； (2)进一步探究：两连续奇数和与这两数差的平方差是否一定能被一个非1的正整数整除？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由． 试卷第44页，共44页 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 因式分解 题型一、判断是否是因式分解 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为整式的积的形式． 【详解】解：A. ，是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义； B. ，右边的 不是整式，因此不符合要求； C. ，右边是乘积与常数的差，未完全转化为积的形式； D. ，左边是多项式，右边是整式 的平方，符合因式分解的定义； 故选：D 2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：、，左边为多项式，右边是与的乘积，属于因式分解，不符合题意； 、，右边为与的和，未完全转化为积的形式，不属于因式分解，符合题意； 、，左边是完全平方式，分解为的平方，属于因式分解，不符合题意； 、，利用平方差公式分解为两个一次因式的乘积，属于因式分解，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义．分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】解：A.是整式的乘法，不是因式分解； B. 是整式的乘法，不是因式分解； C. 是因式分解； D. 最后运算加法，不是因式分解； 故选：C． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 题型二、已知因式分解的结果求参数 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解未知系数，根据多项式乘法展开后的对应系数关系，建立方程求解即可. 【详解】解：多项式 因式分解为 ，展开右边得： ， ∴，， 解得：，， 故选：A． 6．（24-25八年级下·广东茂名·期中）若和是的因式，则为（    ） A． B． C．7 D．3 【答案】D 【分析】本题考查因式分解、整式的乘法，理解整式和因式分解是互逆运算是解答的关键．利用多项式乘多项式求得，进而可求解p值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法．将因式分解结果化为多项式形式，然后根据系数相等求出m和n． 【详解】解：∵关于x的二次三项式分解因式的结果为， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．（24-25七年级下·浙江·期中）若，则k的值是（    ） A．10 B． C． D．14 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式法则的应用，能正确根据法则进行计算是解此题的关键． 把等号右边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应系数相等求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：B． 9．（24-25八年级下·四川成都·期中）多项式的一个因式为，则m的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．设分解后的另一个因式为，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：． 题型三、利用提公因式法因式分解 10．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式即可． 【详解】解： 故答案为： 11．（2018·上海青浦·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 12．（24-25九年级下·吉林·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先对 进行因式分解，然后把，代入求解即可，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：由， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．提出公因式，即可求解． 【详解】解： 题型四、综合利用提公因式和公式法分解因式 15．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，提公因式法，公式法，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．先提公因式，再运用公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16．（2017·江苏无锡·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 17．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·广东·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因数3，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解∶原式 ． 19．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25八年级上·江西宜春·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式因式分解、平方差公式因式分解等知识，熟练掌握因式分解的方法求解是解决问题的关键． （1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案； （2）先对式子恒等变形，再提公因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键． （1）直接提取公因式即可； （2）直接由平方差公式分解因式即可； （3）先提取，再由完全平方公式分解即可； （4）先变形，再提取，然后由平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型五、因式分解的应用 22．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）对于算式，下列说法错误的是(   ) A．能被2022整除 B．能被2023整除 C．能被2024整除 D．能被2025整除 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，将原式分解因式，判断各选项是否为因式的因数． 【详解】解： 故选：A． 23．（24-25八年级下·福建莆田·期中）已知、、为的三边， (1)若，判断的形状； (2)若，计算的值． 【答案】(1)直角三角形或等腰三角形 (2) 【分析】本题考查勾股定理，因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题关键； （1）先对式子进行因式分解，进而可得到结果； （2）先将和移项，然后对方程两边进行因式分解，再通过变形即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 或 ∵、、为的三边， ∴ 或 ∴的形状为直角三角形或等腰三角形； （2）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ 24．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成16块，其中有三块是边长都为的大正方形，三块是边长都为的小正方形，十块是长为，宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________； (2)若每块小矩形的面积为，六个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式，理解题意，利用数形结合求解是解题的关键． （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，利用完全平方公式求出，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得，， ， ， ， ， ， 图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为： ． 25．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解的含义，掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题时关键． （1）利用两个面积相等列式即可； （2）利用（1）中的公式计算即可； （3）把原式化为：，再利用（1）中的公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此可以得到乘法公式； 故答案为：． （2），， ， ； （3） ． 26．（24-25七年级下·山东济南·期中）实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于两个建筑的占地面积(图中阴影)展开了讨论． 数据采集： 两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)其中，求这两个建筑物的占地面积的差是多少？ 【答案】(1)回字形福建土楼的占地面积为，山西大院的占地面积为 (2)这两个建筑物的占地面积的差是 【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，完全平方公式因式分解的应用，掌握长方形的面积计算公式和偶次方的非负性质是解题的关键． （1）利用长方形面积公式，根据大长方形的面积-空白长方形的面积计算回字形福建土楼的占地面积，直接计算阴影部分的面积得到山西大院的占地面积即可； （2）将化为两个完全平方之和等于的形式，根据偶次方的非负性质分别求出，的值，从而求出这两个建筑物的占地面积的差即可． 【详解】（1）解：， ． 答：回字形福建土楼的占地面积为，山西大院的占地面积为． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 答：这两个建筑物的占地面积的差是． 27．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）观察下列分解因式的过程：． 解：原式 像这种通过增减项把多项式转化成适当的完全平方式的方法，在代数计算与推理中往往能起到巧妙解题的效果． (1)请你运用上述方法分解因式：； (2)若，求证：的值为非负数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，理解题干中的变形过程，用求差法比较大小，结合题干凑出完全平方公式是解题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形后，再利用平方差公式分解即可； （2）将根据所得结果与0的大小关系，即可判断的大小． 【详解】（1）解： ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴的值为非负数． 28．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ． （2）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，则符合条件的值为 ． 【答案】 2（答案不唯一） 18 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义判断，并写出一个小于10的“完美数”即可说明； （2）（3）先运用完全平方公式将进行变形得到，再根据“完美数”的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴2是“完美数”， 故答案为：2（答案不唯一）； （2）解： ， 为“完美数”， ， ． 故答案为：18． 29．（24-25七年级下·四川成都·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；②第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；③第一、二次降价百分率为．(其中，，)若产品原价记为单位1，设降价后方案①的产品价格为A，方案②的产品价格为B，方案③的产品价格为C． (1)用含，代数式表示，，； (2)在三个方案降价后的产品价格A，B，C中，最高价与最低价之间的价差是多少？(用含a，b代数式表示) 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查代数式，完全平方公式因式分解的运用，作差法比较大小， （1）记产品原价为1，根据题意分别表示，，； （2）根据（1）的结论可得，进而计算，根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：记产品原价记为单位1， ，，， （2）解：∵，， ∴ ， 又，均为正数， ， ∴最高价与最低价之间的价差是 30．（24-25七年级下·河南郑州·期末）完成如下项目式学习表： 课题任务 代数推理 人员／日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航2025年6月3日 观察 ；． 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除． 求索 （1）______； 论证 （2）设奇数为（为整数），试说明比大7的数与的平方差能被7整除； 延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）17；（2）见解析；（3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7，理由见解析 【分析】（1）​先观察给定的等式规律：和，再将规律中的数字替换为题目要求的 5，直接计算 的值，最后将结果除以 7，即可求得结果； ​​（2）​先设任意奇数为（m 为整数），则比它大 7 的数为，​再计算平方差：，利用平方差公式展开并化简，​最后提取公因数 7，说明结果为 7 的整数倍． ​​（3）​先设任意整数为 n，则比它大 7 的数为，​再计算平方差：，展开后化简，​最后将结果表示为 的形式（r 为余数），确定余数 r． 【详解】解：（1）， 故答案为：17； （2）根据题意可知，比奇数大7的数为， ． 为整数， 能被7整除． （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7． 理由如下：根据题意设这个数为，比大7的数为， ， 比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7． 【点睛】本题综合考查代数推理能力，核心在于掌握平方差公式和整式变形技巧，体现数学建模思想，通过代数方法将具体问题一般化是解题的关键． 31．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”.例如，因为，所以就是一个智慧数，而和则是的智慧分解.那么究竟哪些数为智慧数?第个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数? 为此，小明和小颖展开了如下探究： 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，， 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为，，其中，且为整数.则. (1)根据上述探究，可以得出：除外所有______都是智慧数，并请直接写出的智慧分解； (2)继续探究，他们发现，，所以和均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数，请证明他们的猜想； (3)根据以上所有探究，请直接写出第个智慧数，以及它的智慧分解. 【答案】(1)奇数，和 (2)证明见解析 (3)第个智慧数是，智慧分解为和 【分析】（）由小明的探究可得，除外所有奇数都是智慧数，进而根据探究可求得的智慧分解； （）借助小明的探究思路，可证猜想； （）根据探究，前四个正整数只有是智慧数，后面的正整数每连续四个中就有三个是智慧数，由此可得第个智慧数，进而可得答 案； 本题考查了新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，理解题意是解题的关键. 【详解】（1）解：由探究可以得出：除外所有奇数都是智慧数， ∵， ∴的智慧分解为和， 故答案为：奇数； （2）证明：设，且为整数， ∵， ， ∴， ∴除外，所有能被整除的偶数都是智慧数， ∴(，且为整数)均为智慧数； （3）解：根据探究得，智慧数是奇数时，且为整数，智慧数是的倍数时，且为整数， ∴正整数中前四个正整数只有为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数， ∵，， ∴第个智慧数是， ∵， ∴第个智慧数的智慧分解为和. 32．（24-25七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）根据利用完全平方公式分解因式即可得； （2）括号里面可以再次用完全平方公式进行因式分解； （3）设，利用换元法和完全平方公式分解因式即可得． 【详解】（1）解：， 则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法， 故选：C． （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）设 ． 【点睛】本题考查了因式分解——换元法和完全平方公式法，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 33．（24-25八年级下·山东济南·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36_________“智慧数”（填“是”或“不是”）． (2)设两个连续偶数是和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？请解释说明． (3)在数学学习中，数形结合思想是常用的数学思想．如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……按此规律拼叠到正方形，其边长为20，请结合（2）中的结论，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是 (2)是4的倍数．说明见解析 (3) 【分析】本题考查了平方差公式进行因式分解的应用，掌握公式的特点是关键； （1）根据即可判断； （2）计算的结果，根据结果即可作出判断； （3）由图知，每部分阴影的面积等于相邻两个偶数的平方差，由此列出算式，再依据（2）的结论进行计算求解． 【详解】（1）解：∵， ∴36是“智慧数”； 故答案为：是； （2）解：是4的倍数． 理由如下： ， 而是4的倍数， ∴由和（其中取正整数）这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数； （3）解： ． 34．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法．在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．八（1）班的几名同学在对多项式进行因式分解，用“换元法”进行解题时发现了几种方法： 【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路． 解：令，得：， 即原式 【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路 解：令，得：， 即原式 【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换．相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元． 解：，∴令， 得：，即原式 请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题： (1)从三种解法中任选一种进行因式分解： (2)小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解． 解：原式 请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整． (3)请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查整式的乘法，因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的三种方法进行解答． （1）根据方法三，，令，得，将得代数式代入即可； （2）根据方法三，，令，得，将得代数式代入即可； （3）①根据方法二，，令，原式，将代入化简即可； ②根据方法一，，令，将代入，展开，发现式子是一个完全平方公式． 【详解】（1）解： ， ， 令，得， 即原式． （2）解： ， ， 令，得， 即原式． （3）解：① ， 令， 得 ． 故答案为：． ② ， 令， 得： ， 故答案为：． 题型六、配方法的应用 35．（24-25七年级下·四川成都·期中）若多项式，则P的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴P的最小值是2009， 故答案为：2009． 36．（24-25八年级上·广东江门·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， ∴当时，，有最小值0 ∴当时，，有最小值． 所以最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)多项式有最_______（填“大”或“小”）值，该值为_______． (2)已知，求的最值． (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)大；19 (2) (3)9 【分析】本题考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】（1） ∵ ∴当时，的值最大，最大值是0． ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，19； （2）∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （3）， ， 边长的范围为． ，，都是正整数， 边长的值为4，则的周长为 37．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项4，使它与的和成为一个完全平方式，再减去4，式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论取何值，，所以当时，多项式有最小值为．试确定：多项式是否存在最大值或最小值？如果有，请求出最大值或最小值；如果不存在，请说明理由． (3)已知是实数，试比较与的大小，说明理由． 【答案】(1)； (2)有最大值，且最大值为17； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，根据多项式的前两项配方成完全平方公式，利用非负数的性质求解是解题的关键； （1）根据前两项的情况，分别加9，再减9，利用平方差公式分解即可； （2）先提取负号后，再加1后减1，即可配方，利用非负数的性质即可求得最大值； （3）两式相关，再利用配方法即可判断大小． 【详解】（1）解： ； 故答案为； （2）解： ； ∵， ∴， 即多项式有最大值，且最大值为17； （3）解：； 理由如下： ； ∵， ∴， 即． 38．（21-22八年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】把整式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如： ①用配方法因式分解： 解： ②求的最小值． 解： 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)利用上述方法进行因式分解：； (3)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)1 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式解答即可； （2）先根据完全平方公式配方，再用平方差公式分解； （3）先根据完全平方公式配方，再利用偶次方的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴所添常数项为4． 故答案为：4； （2）解： （3）解： ∵ ∴ ∴的最小值为1． 39．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例：因式分解：． 解：原式 (1)解决问题：运用配方法将多项式进行因式分解． (2)拓展运用：已知，，是的三边长．且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形．见解析 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方公式、利用公式法分解因式、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式计算即可得解； （2）根据完全平方公式进行变形得出，结合非负数的性质求出，，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴． ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 40．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2； (2) (3)18 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，不等式的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式得到，，再仿照题意求解即可； （2）利用完全平方公式分解因式得到，据此求解即可； （3）根据，可得，设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为2； ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为； （2）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：∵， ∴ ， 设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为18． 41．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（为常数）写成（为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______﹔ 【知识运用】： （3）求多项式的最小值． 【答案】（）；（）；（）多项式的最小值为． 【分析】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解题的关键． （）根据完全平方式的形式求解即可； （）利用配方法的步骤求解即可； （）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可． 【详解】解：（）∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：； （）由题意得：， 故答案为：； （） ， ∵，， ∴， ∴多项式的最小值为． 42．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”，如：．因此，，都是“友好数”． (1)和这两个数是友好数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和，（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的友好数是的倍数吗？为什么？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题是一道新定义类型的题目，主要考查了整式的运算，熟练运算法则是解题的关键． （1）根据友好数的定义，只需看能否把和写成两个连续偶数的平方差即可； （2）计算，整理即可得到结果． 【详解】（1）解： ， ，都是友好数． （2） 为非负整数， 是非负整数， 一定能被4整除， 由和构成的友好数是4的倍数． 43．（24-25八年级下·山东济南·期末）阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）将“”看成整体，得原式，利用完全平方公式因式分解即可； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：设， 原式， 将A还原，则原式． 44．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式，原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解：设， ∴． 45．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码． (1)对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码． (2)对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)能，， 【分析】本题主要考查了分解因式，已知分解因式的结果求参数等等，正确理解题意是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得到，再计算出和的结果即可得到答案； （2）把提取公因式x得到，根据产生的密码为可得因式分解的结果为，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， 当，时，，， ∴这个六位数密码可以是； （2）解：， ∵当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为，， ∴因式分解的结果为， ∴， ∴． 46．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一，例如，求的最小值： 解：原式 ， 当时，取得最小值是1， 请你仿照以上方法求出的最小值； （2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0． 请根据非负算式的性质解答下题： 已知的三边满足，求的周长． 【答案】（1）取得最小值是；（2）的周长为10 【分析】本题主要考查了完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式得到，再仿照题意求解即可； （2）根据可得，再由非负数的性质求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴当时，取得最小值是； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴的周长为． 47．（24-25八年级下·福建漳州·期末）阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． (1)分解因式：______． (2)若多项式的最小值为1，求出k的值． (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，，求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； （3）解：∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 48．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用、因式分解，正确理解“三角形数”的概念是解题的关键． （1）①根据题意即可写出第5个等式； ②根据题意即可写出第n个等式，再进行求解即可； （2）根据规律得到等式并化简即可证明． 【详解】（1）解：（1）①第5个等式：； 故答案为：； ②猜想：； 证明如下： 等式左边 ． 等式右边 等式左边等式右边， 等式成立； （2）发现：， 证明如下： 等式左边， 等式右边， 等式左边等式右边， 等式成立， 任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数． 49．（24-25七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是“智慧小组”研究性学习报告的部分内容，请仔细阅读，并完成相应任务． 两连续偶数和与这两数差的平方差 学习了第一章《整式的乘除》后，我们“智慧小组”开展了以下探究活动． 问题： 两连续偶数和与这两数差的平方差是否一定能被16整除？ 初步探究： 进行特例探究，选择两个具体的偶数进行验证．如选4和6，为表达方便，设它们的和为，它们的差为．则，，发现，96能够被16整除． 继续取几组连续偶数进行验证，发现的值都能被16整除． 深入探究： 探究结论的一般性．设两连续偶数分别为和，进行如下验证： ， 任务： (1)请你按“智慧小组”的思路完成以上结论的验证； (2)进一步探究：两连续奇数和与这两数差的平方差是否一定能被一个非1的正整数整除？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式分解因式是解题的关键． （1）根据题意可得，，则可求出，据此可证明结论； （2）设两个连续的奇数为（k为整数），则，可证明，据此可得答案． 【详解】（1）证明：，， ∴ ， ∵a为整数， ∴是整数， ∴能被16整除，即能被16整除； （2）解：设两个连续的奇数为（k为整数）， ∴， ∴ ， ∵k为整数， ∴为整数， ∴能被4整除， ∴能被4整除， ∴两连续奇数和与这两数差的平方差一定能被正整数4整除． 试卷第44页，共44页 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $$