专题11 图形的变化（河北专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题11 图形的变化 考点一、图形平移性质的应用 1．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点二、图形轴对称性质的应用 2．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 4．（2021·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 5．（2023·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 考点三、图形旋转性质的应用 6．（2023·河北·中考真题）如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．    (1)若点在上，求证：； (2)如图2．连接． ①求的度数，并直接写出当时，的值； ②若点到的距离为，求的值； (3)当时，请直接写出点到直线的距离．（用含的式子表示）． 考点四、相似图形的性质及辨析 7．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 考点五、相似图形的性质及辨析 8．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 9．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 10．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）AE＝ ． 11．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 考点六、相似三角形的性质与判定的综合 12．（2022·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中， ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，． (1)求证：△PQM≌△CHD； (2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长； ③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）． 13．（2021·河北·中考真题）在一平面内，线段，线段，将这四条线段顺次首尾相接．把固定，让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时，，将会跟随出现到相应的位置． （1）论证  如图1，当时，设与交于点，求证：； （2）发现  当旋转角时，的度数可能是多少？ （3）尝试  取线段的中点，当点与点距离最大时，求点到的距离； （4）拓展  ①如图2，设点与的距离为，若的平分线所在直线交于点，直接写出的长（用含的式子表示）； ②当点在下方，且与垂直时，直接写出的余弦值． 专练一、图形的平移 14．（2025·河北保定·一模）如图，在的正方形网格图中，将平移到的位置，对于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：线段的长可以看作平移的最短距离； 乙：连接，四边形是平行四边形 A．只有甲的对 B．只有乙的对 C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对 15．（2025·河北唐山·三模）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（   ） A．3 B．2 C．4 D．23 16．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到．再将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与C重合，点的对应点是点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移1个单位长度．例如：平移一次后点P的坐标为或；再如：平移两次后点P的坐标为或或．点从点出发经过次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于，不超过，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 18．（2025·河北保定·一模）探究发现：多出来一块巧克力 现有一块的巧克力板，每小块巧克力是边长为1的正方形，海燕先从两边端点处斜向切开，再从点处向下切开（如图1），与交于点，把巧克力分成三块（如图2），再将这三块重新组合起来（如图3），海燕惊喜地发现巧克力居然多出一块．于是海燕猜想按照这样不停地操作下去，就有吃不完的巧克力了． (1)海燕猜想是否正确； (2)请借助图4，求出长度，并说明多出一块巧克力的理由． 专练二、图形对称性质 19．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 20．（2025·河北沧州·模拟预测）下图是由7个大小相同的正方体搭成的几何体，则其三视图中为轴对称图形的是（   ） A．左视图 B．俯视图 C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图 21．（2025·河北·模拟预测）如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·河北邯郸·二模）如图，在三角形纸片中，，将折叠，使得边落在射线上，折痕为，将纸片展开．再将折叠，使得边落在射线上，折痕为，点的对应点为．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·河北保定·三模）如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 24．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且点关于轴的对称点为点．一次函数的图象经过两点，且点在轴上，当线段时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（2025·河北邯郸·二模）如图，牧民从生活区边上某点出发，先到草地边上某点收马，再到小河边上某点饮马，最后回到点处．已知，点到的距离为，，若的周长为，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 26．（2025·河北邯郸·二模）如图，在等腰三角形中，，，D是边上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段的长为 ． 专练三、图形旋转性质 27．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，每次旋转．已知第1次旋转结束时，得到（点，，均为格点），则第82次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 28．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 29．（2025·河北邯郸·三模）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数最大是（    ）度． A．30 B．60 C．120 D．150 30．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当，，在同一条直线上时，（   ） A．80 B．70 C．60 D．50 31．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点C旋转了 （      ） A． B． C． D． 32．（2025·河北唐山·二模）如图，等边三角形，D为边上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，，则周长的最小值是（   ） A． B． C．14 D．12 33．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转（），得到，连接，点H在射线上，则的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 34．（2025·河北唐山·二模）如图，点是反比例函数图象上的一点，点是x轴正半轴上任意一点，将点A绕点M顺时针旋转得到点B，连接，．无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为 ． 35．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．连接交于点（或射线，交于点）． (1)直接写出点到的距离； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)直接写出的最小值． 36．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点运动的时间为秒． (1)求的长度； (2)当的长度最小时，求t的值； (3)嘉嘉：“在点P由点A运动到点B的过程中，点Q到直线的距离逐渐减小．”判断嘉嘉的说法是否正确．并说明理由； (4)连接，当点Q在的内部（包括边界）时，直接写出点P的运动路径长． 专练四、相似图形性质的应用 37．（2025·河北邯郸·三模）如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．3 D．6 38．（2025·河北石家庄·三模）北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 39．（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 40．（2025·河北·一模）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是 ． 专练五、相似三角形的判定 41．（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 42．（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 43．（2025·河北廊坊·一模）如图，量角器放置在长方形纸面中，为其直径，点为其圆心，点，在量角器的半弧上，对应刻度分别为和，连接． (1)尺规作图：求作线段的垂直平分线，直线与交于点，与交于点．（保留作图痕迹，标注清楚字母，不写作法） (2)连接，求证：． 专练六、相似三角形的性质 44．（2025·四川成都·二模）如图，已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 45．（2025·河北唐山·二模）如图，已知与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，若点C是的中点，则下列判断错误的是（   ） A．直线一定经过点O B． C． D． 46．（2025·河北邯郸·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 47．（2025·河北沧州·模拟预测）题目：“如图1是三个斜边分别为a，b，c（）的相似三角形，用它们可以不重合无空隙的拼成一个矩形．已知将①和②按如图2所示组合，可得到，求用①②③拼成的矩形的长与宽之比．”对于其答案，甲答：2；乙答：；丙答：，则正确的是（　　） A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 48．（2025·河北唐山·一模）点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，，部分数据如图所示，将沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，阴影部分的面积记为．将沿虚线剪成三块，三块均为三角形，阴影部分的面积记为，则 ． 专练七、相似三角形的性质与判定 49．（2025·河北唐山·二模）如图，梯形中，，，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 50．（2025·河北邯郸·三模）在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（    ） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 51．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，点分别在边上，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，且使折叠后的四边形面积为面积的2倍，则的长为 ． 52．（2025·河北唐山·二模）如图1是由边长为和的两个正方形拼成的图形，将该图剪成如图所示序号分别为①②③④⑤的五部分，再将它拼成一个大正方形（如图2）． (1)求大正方形的边长，并直接写出图1中等于大正方形边长的线段； (2)求证图1中； (3)求图1中线段的长． 53．（2025·河北邢台·三模）如图1，图2，在菱形中，点是边的中点，连接，点N是边上一点． (1)如图1，若， ①在图1中，尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） ②求证：． (2)如图2，连接．若，求的长． 专练八、相似三角形性质的实际应用 54．（2025·河北廊坊·二模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图所示的位置，令（单位：），（单位：），若，，，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 55．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，是蜡烛通过凸透镜所成的倒立，放大的实像．已知蜡烛的高度，物距，焦距，光线通过凸透镜的光心，折射光线通过凸透镜的右焦点，则像的高度为（    ） A． B． C． D． 56．（2025·河北石家庄·三模）如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为 ． 57．（2025·河北·模拟预测）如图，为测算河对面的高楼高度，小明站在岸边三层小楼顶，从点G看水面，正好通过O看见对面楼顶A在水里的倒影F；他下到一楼从点D看水面，正好通过E看见倒影F．已知一楼看点D高出水面米，三层小楼顶G高出水面米，E与小明距离米，与O距离米．求点B与点O距离和高楼高度． 58．（2025·河北·模拟预测）夏日的一天，琪琪想研究太阳下物体高度与影子的变化规律，她记录了一支长的铅笔在下面几个时间点的影长： 时间 8：00 10：00 12：00 14：00 16：00 太阳方向 东偏南 东南 南 西偏南 西南 影子方位 西偏北 基本西北 北 东偏北 基本东北 影子长度 琪琪想用这个测量结果估算学校一棵大树的高度．第二天周一又是一个晴天，在上午10点，琪琪用准备好的卷尺测量了该大树的影子，测得树影长17米． (1)请帮琪琪估算这棵大树的高度； (2)估计此时刻太阳光线与地面的夹角的大小．（注：计算结果保留整数．参考数据：，，，） 59．（2025·河北沧州·模拟预测）醒狮是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图，三根梅花桩、、垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，． (1)在图中， ___________度； (2)醒狮少年在休息时发现，太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，计算与的高度比； (3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度．（参考数据：，，） 60．（2025·河北唐山·一模）丹凤朝阳是坐落于唐山市南湖景区的一座巨型雕塑．在某校科技小组实践活动中，淇淇借助无人机测量雕塑的高度，采用如下的测量方案：如图，淇淇在离雕塑水平距离为的台阶上升起无人机，无人机首次旋停在点C正上方的点D处，测得雕塑的顶部B处的俯角α的正切值是，此时无人机离地面的高度为，之后无人机沿水平方向匀速飞行至点G．已知淇淇的眼睛离地面的高度． (1)求雕塑的高度； (2)若无人机的速度为，飞行时间为t秒． ①当秒，求的值； ②直接写出无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线时，t的取值范围． 专练九、图形变化的压轴问题 61．（2025·河北石家庄·一模）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，． 独立思考：（1）试猜想与的数量关系：________； 实践探究：（2）嘉嘉将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）在的边上有一个动点M，点M沿方向从A点开始运动，到D点停止．随着点M的运动，琪琪沿折叠，折叠后点A的对应点为，当与平行四边形的边垂直时，问题：若此的面积为5，边长，，请直接写出与重叠部分的面积． 62．（2024·河北保定·一模）如图，四边形中，，，，，．点从点出发沿折线向点运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，作于点，设点运动的路程为． (1)______°． (2)若点在上（除外）． ①求证：； ②当点落在上时，求的值． (3)作的中线，若与线段有交点，直接写出x的取值范围． 63．（2025·河北邯郸·三模）已知是等边三角形，点在内，且，以为边在右侧作等边三角形． (1)如图1，若点在射线上， ①请利用无刻度的直尺和圆规作出，连接． ②求的度数． (2)如图2，延长交于点． ①求证：是的中点． ②设，交于点，若，求的值． (3)连接，若的边长是12，点是的中点，请直接写出点，之间距离的最大值． 64．（2025·河北保定·一模）如图，中，，点为边上一点（不含端点），将沿折叠，点落在点，连接，直线与边交于点，设． (1)时， ； (2)如图1，点为中点时，求； (3)如图2，平分时，直接写出的度数并求出此时的值； (4)如图3，点在上方时，直接写出点到的距离（用含的代数式表示）． 65．（2025·河北唐山·二模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形．若能，直接写出任意一个符合要求的直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 66．（2025·河北邯郸·二模）已知AB为的直径，，C为上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，，． (1)如图1，当C为的三等分点，且时， ． (2)如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围． (3)如图3，若，延长交于点E，在上取一点F，使得． ①求的值； ②连接，记，直接写出d的最小值． 67．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在正方形中，为上一点，点为正方形的中心，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，且与交于点． (1)试判断点是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点，连接，当时，求的值． 68．（2025·河北石家庄·模拟预测）平面内，在平行四边形中，，，，点为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，设． (1)当与垂直时， ①尺规作图：在图1中找到点和点（保留作图痕迹，不写作法）； ②___________；旋转到所扫过的面积___________（结果保留π）； (2)当点落在对角线的延长线上时，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，如图2． ①求证：； ②求的值； (3)连接，在旋转的同时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，如图3．当是直角三角形时，直接写出的值． 69．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接．    (1)的长为______，当点在上运动时，的最小值为______； (2)如图2，是的中点．过点作的垂线，垂足为．求证：； (3)延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形． ①当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，如图3，求的值； ②当点落在平行四边形的边上或内部时，直接写出的取值范围． 70．（2025·河北张家口·模拟预测）已知，如图1，在中，，，，点为边上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、，设． (1)的最小值为______，此时______； (2)如图2，当点落在边上时，求的值； (3)如图3（点在下方） ①尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②______（用含有的代数式表示），并求当时的值； (4)直接写出的最小值． 试卷第2页，共121页 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 图形的变化 考点一、图形平移性质的应用 1．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 考点二、图形轴对称性质的应用 2．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 3．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知， ∴AD是的角平分线， 故选：D． 4．（2021·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 5．（2023·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 【答案】(1)的解析式为；的解析式为； (2)①；②的解析式为，图象见解析； (3) 【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得 ，解得：， ∴的解析式为； 将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为； （2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次， ∴点P按照乙方式移动了次， ∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为； ∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②由于， ∴直线的解析式为； 函数图象如图所示：    （3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上， ∴， 设直线的解析式为， 把A、B两点坐标代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A，B，C三点始终在一条直线上， ∴， 整理得：； 即a，b，c之间的关系式为：． 考点三、图形旋转性质的应用 6．（2023·河北·中考真题）如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．    (1)若点在上，求证：； (2)如图2．连接． ①求的度数，并直接写出当时，的值； ②若点到的距离为，求的值； (3)当时，请直接写出点到直线的距离．（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②或(3) 【详解】（1）∵将线段绕点顺时针旋转到， ∴ ∵的平分线所在直线交折线于点， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）①∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴，即 ∴解得 ∴． ②如图所示，当点在上时，，    ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，    ∵， ∴， ∴ ∴ 即 ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 解得： ∴， 综上所述，的值为或； （3）解：∵当时， ∴在上， 如图所示，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，，    ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，设， 即 ∴， ∴ 整理得 即点到直线的距离为． 考点四、相似图形的性质及辨析 7．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 考点五、相似图形的性质及辨析 8．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 9．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 10．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）AE＝ ． 【答案】 是 / 【详解】解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，   ∴△ACG≌△CFD， ∴∠CAG=∠FCD， ∵∠ACE+∠FCD=90°， ∴∠ACE+∠CAG=90°， ∴∠CEA=90°， ∴AB与CD是垂直的， 故答案为：是； （2）AB=2， ∵AC∥BD， ∴△AEC∽△BED， ∴，即， ∴， ∴AE=AB=． 故答案为：． 11．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 【答案】 【详解】解：（1）连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点，，，是线段的五等分点， ∴， ∵点，，是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 考点六、相似三角形的性质与判定的综合 12．（2022·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中， ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，． (1)求证：△PQM≌△CHD； (2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长； ③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）． 【答案】(1)见详解(2)①；②；③ 【详解】（1）∵， ∴ 则在四边形中 故四边形为矩形 ， 在中， ∴， ∵ ∴； （2）①过点Q作于S 由（1）得： 在中， ∴ 平移扫过面积： 旋转扫过面积： 故边PQ扫过的面积： ②运动分两个阶段：平移和旋转 平移阶段： 旋转阶段： 由线段长度得： 取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T 设，则 在中： 设，则，， ，， ∵DM为直径 ∴ 在中 ： 在中： 在中： ∴， PQ转过的角度： s 总时间： ③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d， 当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图： ∵∠EDF=30°，∠C=30°， ∴∠EDF=∠C， 又∵∠DEF=∠CED， ∴， ∴，即， ∴， ∵在中，， ∴， ∴ 当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d， 同理：可得 综上所述：． 13．（2021·河北·中考真题）在一平面内，线段，线段，将这四条线段顺次首尾相接．把固定，让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时，，将会跟随出现到相应的位置． （1）论证  如图1，当时，设与交于点，求证：； （2）发现  当旋转角时，的度数可能是多少？ （3）尝试  取线段的中点，当点与点距离最大时，求点到的距离； （4）拓展  ①如图2，设点与的距离为，若的平分线所在直线交于点，直接写出的长（用含的式子表示）； ②当点在下方，且与垂直时，直接写出的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）；（4）①；②． 【详解】证明：（1）， ， 在和中，， ， ， ， ； （2）由题意，由以下两种情况： ①如图，取的中点，连接，则， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， ， ， ； ②如图，当点与的中点重合， 则， 是等边三角形， ， 综上，的度数为或； （3）如图，连接， ， ，当且仅当点共线时，等号成立， 如图，过点作于点，过点作于点，则即为所求， ， ， 设，则， ， ， 解得， ，， 在中，， 在中，， 即当点与点距离最大时，点到的距离为； （4）①如图，连接交于点，过点作于点， 平分，， ，（等腰三角形的三线合一）， 设，则， ， ， 解得，即， 在和中，， ， ，即， 解得； ②初中阶段没有学习钝角的余弦值，且， 只需考虑的情形， 如图，设与交于点，过点作于点，连接， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， 设，则， 在和中，， ， ，即， 解得， ， ， 解得， 则． 专练一、图形的平移 14．（2025·河北保定·一模）如图，在的正方形网格图中，将平移到的位置，对于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：线段的长可以看作平移的最短距离； 乙：连接，四边形是平行四边形 A．只有甲的对 B．只有乙的对 C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对 【答案】C 【详解】解：平移到的位置， ∴线段的长可以看作平移的最短距离，甲的说法正确； 由平移的性质得，， ∴四边形是平行四边形，乙的说法正确． 故选：C． 15．（2025·河北唐山·三模）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（   ） A．3 B．2 C．4 D．23 【答案】C 【详解】解：如图，交于，交于， 由平移得：，， ， ， ， ， 解得：， 故选：C． 16．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到．再将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与C重合，点的对应点是点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中，，将沿射线的方向平移，得到， ∴， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与C重合，点的对应点是点， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 17．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移1个单位长度．例如：平移一次后点P的坐标为或；再如：平移两次后点P的坐标为或或．点从点出发经过次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于，不超过，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵平移1次后点P的坐标为或， ∴设，所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∵平移两次后点P的坐标为或或，且3点共线 ∴设，和所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∵平移3次后点P的坐标为或或或，且4点共线 ∴设，，和所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∴平移后解析式的值不变，常数项为， ∴平移次时，直线解析式为：，如图所示， 设点从点出发经过次平移后，到达直线上的点， 根据题意，可得， 解得：， 点的坐标为， ∴平移的路程长， ∵平移的路径长不小于，不超过， ， ， 点的坐标为正整数， 是的倍数，可以取、， 故选：D． 18．（2025·河北保定·一模）探究发现：多出来一块巧克力 现有一块的巧克力板，每小块巧克力是边长为1的正方形，海燕先从两边端点处斜向切开，再从点处向下切开（如图1），与交于点，把巧克力分成三块（如图2），再将这三块重新组合起来（如图3），海燕惊喜地发现巧克力居然多出一块．于是海燕猜想按照这样不停地操作下去，就有吃不完的巧克力了． (1)海燕猜想是否正确； (2)请借助图4，求出长度，并说明多出一块巧克力的理由． 【答案】(1)不正确(2)，理由见解析 【详解】（1）解：海燕猜想不正确，宽度不变，长度减少了； （2）解：如图所示， ， ， ， ， ， 多出一块巧克力． 专练二、图形对称性质 19．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是；， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：A． 20．（2025·河北沧州·模拟预测）下图是由7个大小相同的正方体搭成的几何体，则其三视图中为轴对称图形的是（   ） A．左视图 B．俯视图 C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图 【答案】A 【详解】解：由三视图定义可知，该几何体的主视图、俯视图、左视图如下图所示： 其中左视图为轴对称图形； 故选：A． 21．（2025·河北·模拟预测）如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由折叠可知， 又， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 22．（2025·河北邯郸·二模）如图，在三角形纸片中，，将折叠，使得边落在射线上，折痕为，将纸片展开．再将折叠，使得边落在射线上，折痕为，点的对应点为．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如解图，连接，由题意，分别为，的平分线， ， ， ， ， ， 选项A正确，不符合题意； ， ， ， ， ∴， ， ， ， 选项B正确，不符合题意， ， ， ， ∴点与点重合，即， D选项正确，不符合题意． 无法判断与长度关系，故C选项错误． 23．（2025·河北保定·三模）如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 【答案】D 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：， ∴， ∴点O在以为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点E在上， ∴点O与点E不会重合，即点E不可能落在上，故甲对； 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 从点E在点C位置开始，点运动路径的长度为以点A为圆心，分别以为半径的弧长，且与转过的角度相等， ∵， ∴点运动路径的长度比始终为，故乙对； 故选：D． 24．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且点关于轴的对称点为点．一次函数的图象经过两点，且点在轴上，当线段时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当，；当时，， 解得：， ∴，， ∵点关于轴的对称点为点． ∴， 当时，且点在轴上， ∴或， 当一次函数的图象经过两点， 设直线为， ∴， 解得：， 当一次函数的图象经过两点， 设直线为， ∴， 解得：， 当时， ∴， 故选：C 25．（2025·河北邯郸·二模）如图，牧民从生活区边上某点出发，先到草地边上某点收马，再到小河边上某点饮马，最后回到点处．已知，点到的距离为，，若的周长为，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、， ， 由对称轴的性质可得：，，，，，， ∴的周长为， ∴当最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由垂线段最短可得，当时，最小，即最小， ∵点到的距离为， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故选：B． 26．（2025·河北邯郸·二模）如图，在等腰三角形中，，，D是边上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接． 点是点关于直线的对称点， ． ， 点在上，即点三点共线， ． 又， ， ，． ， ，即． ，是边上靠近点的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 专练三、图形旋转性质 27．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，每次旋转．已知第1次旋转结束时，得到（点，，均为格点），则第82次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示， 由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为， ∴交点在和的垂直平分线上，如图， ∴旋转中心的坐标为， 如图所示，设旋转中心为M，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到， ∴每旋转4次一个周期 ∵ ∴第82次旋转结束时，点的对应点的坐标和点H的坐标相等 ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 28．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每6次旋转1周．， 如图，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，经过次旋转后，点转到点D的位置，则，，过点D作交的延长线于点H， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴点D的坐标是， 故选：A 29．（2025·河北邯郸·三模）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数最大是（    ）度． A．30 B．60 C．120 D．150 【答案】D 【详解】解：当点D在点A的左侧时，如图1所示． ，， ． ∵， ∴， ∴． 当点D在点A的右侧时，如图2所示． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴当时，的度数为或． ∴的度数最大是． 故答案为D． 30．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当，，在同一条直线上时，（   ） A．80 B．70 C．60 D．50 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，在同一条直线上时， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴旋转角，即， 故选：A． 31．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点C旋转了 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， 由题意可得，， ∴旋转角为． 故选：C． 32．（2025·河北唐山·二模）如图，等边三角形，D为边上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，，则周长的最小值是（   ） A． B． C．14 D．12 【答案】D 【详解】解：连接，延长到点G， ∵为等边三角形，， ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故点E在定直线上运动， 过点A作于点N，交于点M， ∵， ∴ ∴， 故点A与点M关于直线对称， ∵周长为， 故当取得最小值时，的周长才有最小值， 故点E与点N重合时，取得最小值，且， 故周长最小值为， 故选：D． 33．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转（），得到，连接，点H在射线上，则的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 【答案】C 由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】解：过点A作于点M，如图 ∵将绕点B顺时针旋转θ（），得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即的度数是定值， 故选C． 34．（2025·河北唐山·二模）如图，点是反比例函数图象上的一点，点是x轴正半轴上任意一点，将点A绕点M顺时针旋转得到点B，连接，．无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： 则， ∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， ∴，，，， 根据旋转可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点M在轴正半轴，则，点B在x轴的上方，， ∴此时点B的坐标为：， ∵， ∴此时点B在直线上； 综上分析可知，无论取何值时，点始终在直线上． 故答案为：． 35．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．连接交于点（或射线，交于点）． (1)直接写出点到的距离； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)直接写出的最小值． 【答案】(1)点到的距离为1(2)(3)的长为或(4)的最小值为 【详解】（1）解：点到的距离为1， 如图，过点作于点， ， ． （2）解：， ， ， 如图．过点作于点， 由（1）可知到的距离为1，易得， ， ， ， ， ， ， ， 即， ； （3）解：有两种情况， ①当点在线段上时，过点作于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ； ②当点在线段延长线上时，如图， ， ， ， ， ． 过点作于点， ， ． ， ， 综上所述，的长为或； （4）解：的最小值为. 当点在线段上时，如图，过点作于点， 在中，， ，由（1）可知，的最小值为， 的最小值为； 当点不重合时，， 当点重合时，，此时最小，． 36．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点运动的时间为秒． (1)求的长度； (2)当的长度最小时，求t的值； (3)嘉嘉：“在点P由点A运动到点B的过程中，点Q到直线的距离逐渐减小．”判断嘉嘉的说法是否正确．并说明理由； (4)连接，当点Q在的内部（包括边界）时，直接写出点P的运动路径长． 【答案】(1)10；(2)；(3)嘉嘉的说法不正确；理由见解析；(4)． 【详解】（1）解：在中，， 根据勾股定理可得； （2）解：是的中点， ． 线段绕点逆时针旋转得线段， 是等腰直角三角形， ， ， 当的长度最小时，的长度最小． 当时，的长度最小， 此时， ， 解得； （3）解：嘉嘉的说法不正确； 理由：如图，如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， ， ， ，， ， ， ， ； 当时，点到的距离为0，此时． 当时，点从点向右运动过程中，逐渐减小， 逐渐减小，即点到直线的距离逐渐减小． 当时，点向点运动时，逐渐增大， 逐渐增大，即点到直线的距离逐渐增大， 即在点由点运动到点的过程中，点到直线的距离先逐渐减小，再逐渐增大，所以嘉嘉的说法不正确； （4）解：点的运动路径长为． 如图，当点在上时， 是的中点， ， ， 又， ， ， 解得， ， 当点在上时，，由（3）可得， ， 当时，得到． 又点到的最短距离为4， ， 此时点都在的内部． 专练四、相似图形性质的应用 37．（2025·河北邯郸·三模）如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点A作最下面那条网格线的垂线，垂足为H，设与从下往上数的第二条网格线交于E， 四线格是由等距离的四条平行横线组成的， ． ， ， 故选：C． 38．（2025·河北石家庄·三模）北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【详解】解：设桌面的宽为x，则，即． 由题意，，得．又， 则． 故选：A． 39．（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴放大后的宽是， 放大后的矩形的面积． 故选：D． 40．（2025·河北·一模）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是 ． 【答案】 【详解】解：如图，由题意，得：，，，，    ∴， ∴， ∴点M对应的数是：； 故答案为：． 专练五、相似三角形的判定 41．（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】C 【详解】解：分别延长相交于点O， 由题意得，， ， 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ， ， ，， ， ∴与是位似三角形， 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：C． 42．（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【答案】 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 43．（2025·河北廊坊·一模）如图，量角器放置在长方形纸面中，为其直径，点为其圆心，点，在量角器的半弧上，对应刻度分别为和，连接． (1)尺规作图：求作线段的垂直平分线，直线与交于点，与交于点．（保留作图痕迹，标注清楚字母，不写作法） (2)连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析；(2)证明见解析． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）证明：如图，连接， 由作图可知， ∴， 由图可知， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 专练六、相似三角形的性质 44．（2025·四川成都·二模）如图，已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故选：B． 45．（2025·河北唐山·二模）如图，已知与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，若点C是的中点，则下列判断错误的是（   ） A．直线一定经过点O B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，点C是的中点， ∴直线一定经过点O，，位似比为：， ∴与的相似比为， ∴，， ∴，； 故判断错误的是选项D； 故选D． 46．（2025·河北邯郸·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，，的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 47．（2025·河北沧州·模拟预测）题目：“如图1是三个斜边分别为a，b，c（）的相似三角形，用它们可以不重合无空隙的拼成一个矩形．已知将①和②按如图2所示组合，可得到，求用①②③拼成的矩形的长与宽之比．”对于其答案，甲答：2；乙答：；丙答：，则正确的是（　　） A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【详解】∵， ∴ ∴ ∴ ∴设， 当按如下图所示拼成矩形时， ∴， ∴ ∴用①②③拼成的矩形的长与宽之比为； 当按如下图所示拼成矩形时， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴用①②③拼成的矩形的长与宽之比为； 综上所述，甲、丙答案合在一起才完整． 故选：B． 48．（2025·河北唐山·一模）点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，，部分数据如图所示，将沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，阴影部分的面积记为．将沿虚线剪成三块，三块均为三角形，阴影部分的面积记为，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，如图标注， 由题意知，四边形，为梯形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 专练七、相似三角形的性质与判定 49．（2025·河北唐山·二模）如图，梯形中，，，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 50．（2025·河北邯郸·三模）在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（    ） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 【答案】C 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 设与交于点， 由翻折的性质得：，，，， 为等腰三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作于，则，如图： 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，则，如图： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ． 综上所述：的长为或， 故选：C． 51．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，点分别在边上，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，且使折叠后的四边形面积为面积的2倍，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵将沿折叠使点落在边上的点处， ∴（折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分），（折叠前后两部分图形全等）． ∵， ． 在 和中，∵，， ∴， ， 即， 解得：（负值已舍去）． 故答案为：． 52．（2025·河北唐山·二模）如图1是由边长为和的两个正方形拼成的图形，将该图剪成如图所示序号分别为①②③④⑤的五部分，再将它拼成一个大正方形（如图2）． (1)求大正方形的边长，并直接写出图1中等于大正方形边长的线段； (2)求证图1中； (3)求图1中线段的长． 【答案】(1)；、(2)见解析(3) 【详解】（1）解：图1是由边长为和的两个正方形拼成的图形， 图1的面积为， 由题意得，大正方形的面积等于图1的面积， 大正方形的边长为， 由图2得，序号①部分的斜边、序号③④部分的斜边都等于大正方形的边长， 图1中等于大正方形边长的线段为、． （2）证明：由（1）得，， 根据正方形的性质得，， ， 由图2可得，， ， 在和中， ， ． （3）解：由（2）得，， ， ， ， ， ， ， ． 53．（2025·河北邢台·三模）如图1，图2，在菱形中，点是边的中点，连接，点N是边上一点． (1)如图1，若， ①在图1中，尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） ②求证：． (2)如图2，连接．若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②∵菱形， ∴， ， ∴， ∵， ； （2）如图2，延长交的延长线于． 四边形是菱形， ， ． 是边的中点， ， ． ． ， ，， ． ． ， ． ， ． ． ， ． 专练八、相似三角形性质的实际应用 54．（2025·河北廊坊·二模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图所示的位置，令（单位：），（单位：），若，，，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 55．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，是蜡烛通过凸透镜所成的倒立，放大的实像．已知蜡烛的高度，物距，焦距，光线通过凸透镜的光心，折射光线通过凸透镜的右焦点，则像的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，即①， ∵， ， ， ， ∴②， 由①②得： ， 故选：A． 56．（2025·河北石家庄·三模）如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为 ． 【答案】 根据题意可得，代入数据计算即可． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴， 由题意，， 解得， 故答案为：． 57．（2025·河北·模拟预测）如图，为测算河对面的高楼高度，小明站在岸边三层小楼顶，从点G看水面，正好通过O看见对面楼顶A在水里的倒影F；他下到一楼从点D看水面，正好通过E看见倒影F．已知一楼看点D高出水面米，三层小楼顶G高出水面米，E与小明距离米，与O距离米．求点B与点O距离和高楼高度． 【答案】点到点的距离为120米，高楼高度为130米 【详解】解：设米． 米， 是等腰直角三角形． ，， ， ∴，， ∴ 米． 米， 米． ， ． 米，米， ， 解得， 则（米）． 答：点到点的距离为120米，高楼高度为130米． 58．（2025·河北·模拟预测）夏日的一天，琪琪想研究太阳下物体高度与影子的变化规律，她记录了一支长的铅笔在下面几个时间点的影长： 时间 8：00 10：00 12：00 14：00 16：00 太阳方向 东偏南 东南 南 西偏南 西南 影子方位 西偏北 基本西北 北 东偏北 基本东北 影子长度 琪琪想用这个测量结果估算学校一棵大树的高度．第二天周一又是一个晴天，在上午10点，琪琪用准备好的卷尺测量了该大树的影子，测得树影长17米． (1)请帮琪琪估算这棵大树的高度； (2)估计此时刻太阳光线与地面的夹角的大小．（注：计算结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】(1)28米(2)59° 【详解】（1）解：∵时间在上午10点左右， ∴树实高：树影长=铅笔长：铅笔影长， 即树实高，解得树实高， 答：这棵大树高约28米； （2）又∵铅笔的影长：铅笔长，， ∴此时刻太阳光线与地面的夹角大约是． 59．（2025·河北沧州·模拟预测）醒狮是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图，三根梅花桩、、垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，． (1)在图中， ___________度； (2)醒狮少年在休息时发现，太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，计算与的高度比； (3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)104(2)(3) 【详解】（1）解：三根梅花桩、、垂直于地面放置， ， 四边形和四边形的内角和为，，， ，， ， 故答案为：104； （2）解：如图1，连接， 太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合， 点A、B、N三点共线． ，， ， ； （3）解：如图2，过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接．     图2 由题意，得， 四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ，，，． ，， ，， ，， ， ． 在中，，， ． 答：“采青”路径的长度为． 60．（2025·河北唐山·一模）丹凤朝阳是坐落于唐山市南湖景区的一座巨型雕塑．在某校科技小组实践活动中，淇淇借助无人机测量雕塑的高度，采用如下的测量方案：如图，淇淇在离雕塑水平距离为的台阶上升起无人机，无人机首次旋停在点C正上方的点D处，测得雕塑的顶部B处的俯角α的正切值是，此时无人机离地面的高度为，之后无人机沿水平方向匀速飞行至点G．已知淇淇的眼睛离地面的高度． (1)求雕塑的高度； (2)若无人机的速度为，飞行时间为t秒． ①当秒，求的值； ②直接写出无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线时，t的取值范围． 【答案】(1)70米(2)①；② 【详解】（1）解：如图，延长交于点E， 由题意得：四边形为矩形， ∴米，米，， 设米，则米， ∵顶部B处的俯角α的正切值是， ∴， ∴， ∴， 解得， 雕塑的高度为70米； （2）解：①无人机的速度为， 当秒时，米， 米， 在中，米， ∴； ②如图，当无人机运动到时，连接，刚好过点B，过点F作交于点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴米，米， ∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴米， ∴米， 此时秒， ∴当秒时，无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线． 专练九、图形变化的压轴问题 61．（2025·河北石家庄·一模）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，． 独立思考：（1）试猜想与的数量关系：________； 实践探究：（2）嘉嘉将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）在的边上有一个动点M，点M沿方向从A点开始运动，到D点停止．随着点M的运动，琪琪沿折叠，折叠后点A的对应点为，当与平行四边形的边垂直时，问题：若此的面积为5，边长，，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【详解】解：（1）作交于，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，连接， 由折叠可得，， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）∵，边长，， ∴，，，， 当时，如图，交于，交于，过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与重叠部分的面积； 当时，如图，交于，则， ∵的面积为5， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与重叠部分的面积； 综上所述，与重叠部分的面积为或． 62．（2024·河北保定·一模）如图，四边形中，，，，，．点从点出发沿折线向点运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，作于点，设点运动的路程为． (1)______°． (2)若点在上（除外）． ①求证：； ②当点落在上时，求的值． (3)作的中线，若与线段有交点，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)(2)①见解析；②(3) 【详解】（1）解：，，， ， ，， ， ，即， 故答案为：； （2）① 证明：由题意，得，， ， 即， 又， 在和中， ， ， ； ②，， ， 若点在上，则， ， 而，，， ， ， ， 即； （3）如图1，过点作于点，则，． 而， 点在上时，，， ， 又， ， 有， ， 则， 此时，； 如图2，过点作于点，过点作于点． 点在上时，， 根据题意可得：，， ，即， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，即， ，， ， ， ， ， ， 解得:， 此时，， ． 63．（2025·河北邯郸·三模）已知是等边三角形，点在内，且，以为边在右侧作等边三角形． (1)如图1，若点在射线上， ①请利用无刻度的直尺和圆规作出，连接． ②求的度数． (2)如图2，延长交于点． ①求证：是的中点． ②设，交于点，若，求的值． (3)连接，若的边长是12，点是的中点，请直接写出点，之间距离的最大值． 【答案】(1)①见解析②(2)①证明见解析②(3) 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②和均为等边三角形， ，，． ， ， ． 又， ； （2）①证明：如图2，连接，过点作交的延长线于点． 同上可知，， ． ，， ． 又， ， ， ． 又， ， ， 即是的中点； ②解：如图2，连接． 是等边三角形，是的中点， ． 又， ， ． ， 设，则，， ； （3）解：如图所示， 以为直径作圆，因为，所以点的运动轨迹在此圆上， 以为直径作圆，点为中点，因为，所以点的运动轨迹在此上，此时，， ∵点为中点，点为中点， ∴点的运动轨迹在以为直径的上，此时，， 当点在同一条直线上时，且点在点右侧时，取得最大值， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， 所以，点，之间距离的最大值为． 64．（2025·河北保定·一模）如图，中，，点为边上一点（不含端点），将沿折叠，点落在点，连接，直线与边交于点，设． (1)时， ； (2)如图1，点为中点时，求； (3)如图2，平分时，直接写出的度数并求出此时的值； (4)如图3，点在上方时，直接写出点到的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)或(2)(3)(4) 【详解】（1）解：如图1，时，由折叠可知：， ， 有对顶角相等可得： ， 在中， ， 如图2：时， 由折叠可知： 则， 在中， ； 如图3：时，， 与图2同理，， 故答案为：或； （2）如图1，过点P作交与点G， 为中点， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在中， ； （3）如图2：平分， ， 由折叠可知：， ， 在中， ， 如图，过点P作， ，， 即， 在中，， 则，， ， ， 在中，， ， 解得：或， ， ， 则； （4）解：如图：过点D作，连接交与点H， 在中，，， 由折叠可知，垂直平分， 在中，， ，则， ， ， 作于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即点到的距离为． 65．（2025·河北唐山·二模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形．若能，直接写出任意一个符合要求的直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或 【详解】解：（1）在和中， ∴， ，， ， 即， 在中，，则， 即， ∵， ， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）四边形是矩形； 理由如下： 同（1）得， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形矩形； （3）三点能构成直角三角形， 理由如下： ①当在上时，，此时是直角三角形，如图所示： ∴； ②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图所示： ∴； ③当时，是直角三角形，过点作于点，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，则，解得， ∴； ④当时，是直角三角形，过点作于点，交于点N，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或或或． 66．（2025·河北邯郸·二模）已知AB为的直径，，C为上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，，． (1)如图1，当C为的三等分点，且时， ． (2)如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围． (3)如图3，若，延长交于点E，在上取一点F，使得． ①求的值； ②连接，记，直接写出d的最小值． 【答案】(1)2 (2)， (3)①；② 【分析】（1）利用同高的两个三角形之间的面积关系可得答案； （2）如图1，过点作于点，作于点，则，证明，可得，设点到的距离为，可得，即，进一步可得答案； （3）①根据题意可知，．如图2，连接，证明，结合，证明，进一步可得结论； ②如图2，取的中点，连接，过点作于点，由①可知，，求解，在中，，求解，，，结合，可得答案. 【详解】（1）解：∵当C为的三等分点，且时， ∴， ∴； （2）解：如图1，过点作于点，作于点，则． 由旋转，得． 是的直径， ， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 设点到的距离为， 则， ，即． ， 的取值范围是． （3）解：①根据题意可知，． 如图2，连接， 是的直径， ， ， ∵， 在和中，， ， ，； ②如图2，取的中点，连接，过点作于点， 由①可知，， ． 在中，， ，， 在中，， ， ， 的最小值为． 67．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在正方形中，为上一点，点为正方形的中心，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，且与交于点． (1)试判断点是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点，连接，当时，求的值． 【答案】(1)点在线段上，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：点在线段上，理由如下： 如解①，连接， ∵四边形是正方形，点是正方形的中心， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即点在线段上； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴在中，，在中，， ∴； （3）解：如图②，延长交的延长线于点，连接， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 由（1）知， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴，即． 68．（2025·河北石家庄·模拟预测）平面内，在平行四边形中，，，，点为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，设． (1)当与垂直时， ①尺规作图：在图1中找到点和点（保留作图痕迹，不写作法）； ②___________；旋转到所扫过的面积___________（结果保留π）； (2)当点落在对角线的延长线上时，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，如图2． ①求证：； ②求的值； (3)连接，在旋转的同时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，如图3．当是直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②(2)①见解析；②(3)6或 【详解】（1）解：①所求图形，如图所示． ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴旋转到所扫过扇形的面积为； （2）①证明：由旋转可知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：由（1）得，， 则， 由①知， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）由旋转得，，， ∴可看作绕点逆时针旋转， ∴，， ∵中，， ∴， ①当时， ∵， 可知点在直线上，如图： 由（2）得， 故的值为； ②当时， ∵， ∴点在直线上， ∵绕点P逆时针旋转，点不在直线上， 所以不存在； ③当时， 如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点， ∴，四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 同理， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 要使，只需， ∵，， ∴， 即， 化简得：， 解得：， 综上所述，的值为6或． 69．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接．    (1)的长为______，当点在上运动时，的最小值为______； (2)如图2，是的中点．过点作的垂线，垂足为．求证：； (3)延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形． ①当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，如图3，求的值； ②当点落在平行四边形的边上或内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)5；(2)见解析(3)①；② 【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，，于点E，且． ∴， ∴， 解得：， 在中，由勾股定理得：， 当时，取得最小值， ∵，即， 解得：， ∴的最小值为； 故答案为：5；； （2）解：①如图2，即为所求；    ②由作图知， ∵，即， ∵， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）解：①点P从点E出发，沿向终点C运动，设点P在该折线上运动的路径长为，点P在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点D时，如图3，    由题意得， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②x的取值范围为；理由如下： 当P在上时，如图4，    ∵， ∴， 当时，点A落在的边上， ∴， 解得：， ∴； 当P在上时，如图5，过P作于Q，设与直线交于H，    ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 当且时，点A落在的边上或内部， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当时，点A落在的边上或内部． 70．（2025·河北张家口·模拟预测）已知，如图1，在中，，，，点为边上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、，设． (1)的最小值为______，此时______； (2)如图2，当点落在边上时，求的值； (3)如图3（点在下方） ①尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②______（用含有的代数式表示），并求当时的值； (4)直接写出的最小值． 【答案】(1)、(2)(3)①见详解；②，(4) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 根据点到直线的距离定义可知垂线段最短，如图， 则， ∵，即， ∴， 在中，， 故答案为：、； （2）解：过点P作交于点D，如图， 则， ∵点落在边上， ∴， ∴， 则，解得， 在中，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 则， ∴，解得， 故答案为：； （3）解：①如图， ②过点P作交于点G，延长交于点H，如图， 则， ∴四边形为矩形， ∴， 同理可得，，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，解得和（舍去）， ∴ 故答案为：； （4）解：如图， ∵当点P与点A重合时，点E位于点；当点P与点B重合时，点E位于点； ∴点E在线段上运动， 同理可得，， ∴， 过点P作交于点M，即的最小值为， ∵， ∴，解得． 试卷第2页，共121页 2 / 107 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