10 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型-【全效学习】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

培优训练（一） 与正方形有关 的几个常考类型 数学九年级上册 [BSD版] 1 一 正方形中相交垂线段问题 1.如图,是一个正方形花园,,是它的两个门,且 ,要修建两条路 和 ,这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 2 解：, . 理由: 四边形是正方形, . , . 又 ,, . , . , , ,即 . 故, . 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 3 模型归纳 正方形内,分别连接两组对边上任意两点,得到的两条线段（如:图①中的线 段与,图②中的线段与,图③中的线段与 ）满足:若垂直,则相等; 若相等,则垂直. 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 4 二 正方形中过对角线交点的直角问题 2.如图,正方形的对角线和相交于点,且 又是正方形的一个顶点,交于点, 交于点 . 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 5 （1）求证: . 证明： 四边形 是正方形, , , . , , . 在和 中, ,, , . 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 6 （2）如果两个正方形的边长都为 ,那么这两个正方形重叠部分的面积等于多 少？为什么？ 解：两个正方形重叠部分的面积等于 .理由如下: , . 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 7 模型归纳 如图,在正方形中,为两条对角线的交点,点,分别在, 上.若 为直角,射线,射线分别与,的延长线交于点, ,则 ,, 是等腰直角三角形,且 . 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 8 三 正方形中的三垂直全等模型 3. （1）如图,四边形是正方形,点是边的中点, ,且 交正 方形外角的平分线于点.求证: . 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 9 第3题答图 证明：如答图,取的中点 ,连接 . 是的中点, . 四边形是正方形, , , ,, , . 是正方形外角的平分线, , . , . 又 , , 在和中,,, , , . 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 10 （2）若（1）中“点是边的中点”改为“点是边上任意一点”,则与 是否仍然相等？______（填“相等”或“不相等”）. 相等 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 11 四 正方形中的半角模型 4.如图,在正方形中,是边上一点,是 延长 线上一点,且 . （1）求证: . 证明： 四边形是正方形, , . 又, . 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 12 （2）若点在上,且 ,则 成立吗？为什么？ 解： 成立. 理由:由（1）得,, . ,即 . 又 , . 在和中,,, , ,, . 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 13 模型归纳 ① （1）如图①,在正方形中,若 ,则: ;的周长为正方形边长的2倍; 平分 ,平分 . 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 14 （2）如图②,在正方形中,若 ,平分 ,则 . ② 培优训练（一） 与正方形有关的几个常考类型 15 16 $$