18.2 平行四边形的判定 暑假巩固 2024--2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固 一、根据定义判定平行四边形 1.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 3.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 4.已知：如图，AB∥CD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：　          　（填一个即可），你判断的理由是：　                      　． 5.在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　    　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 6.如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形． 7.如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 二、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（    ） A. B. C. D. 2.综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 3.对角线（    ）的四边形是平行四边形. A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等 4.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是　       　，理由是　                                    　． 5.如图，四边形ABCD，如果AC＝6，BD＝10，那么AO＝　  　，BO＝　  　时，四边形ABCD是平行四边形． 6.淇淇同学要证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的，她先作出了如图所示的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：四边形是__________四边形. (1)填空，补全已知和求证； (2)按淇淇的想法写出证明； (3)用文字叙述所证命题的逆命题为______________________________． 7.如图，在四边形中，，，，．求证：四边形为平行四边形． 三、判定能否构成平行四边形 1.已知四边形，以下有四组条件：① ；②；③；④，其中能判四边形是平行四边形的条件共有（   ） A.1组 B.2组 C.3组 D.1组 2.下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A.， B.， C.， D.， 3.下列条件中不能判定四边形一定是平行四边形的是（    ） A.一组对角相等，一组邻角互补 B.一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线 C.一组对边平行，一组对角相等 D.一组对边平行，另一组对边相等 4.在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有           （填序号）． 5.如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是          ． 6.如图，在中，，O是的中点，点M在的延长线上． (1)作的平分线，连接，并延长交于点D，连接（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断四边形的形状，并证明你的结论． 7.学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究． 以下是小明探究过程，请补充完整： (1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）； （A）；（B）. (2)将（1）中的命题用文字语言表述为： ①命题1_____________________________________________； ②画出图形，并写出命题1的已知和求证； (3)小明进一步探究发现： 若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题． 四、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，在正六边形中，，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是（    ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①④ 2.如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A. B. C. D. 3.在四边形中，，添加下列条件，不能使四边形成为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 4.如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为      ． 5.如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件            （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 6.在①AD＝BC，②，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，_______（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形． 7.在①，②，③这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．如图，在四边形中，对角线AC与BD相交于点O，，若______．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形是平行四边形．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分） 五、平行四边形的个数问题 1.已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B为顶点的网格平行四边形的个数为(   ) A.6 B.8 C.10 D.12 2.平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A. B. C. D. 3.如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有      个平行四边形． 5.如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 6.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 7.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 六、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A. B. C.或 D.或 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，当点P、Q中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则　　s后四边形PQCD是平行四边形． 5.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以3 cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P、Q同时出发 　     　秒后其中一个新四边形为平行四边形． 6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒． （1）若PE⊥BC，求BQ的长； （2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 7.在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6厘米，AD＝9厘米，P、Q分别从A、C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动．Q以2厘米/秒的速度由C向B运动，问几秒时，四边形ABQP是平行四边形？ 七、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ） A.20 B.24 C.30 D.10 2.如图，在四边形中，，，点E为的中点，连结，若四边形的面积为16，则的面积为（   ） A.2 B.4 C.8 D.16 3.如图，在中，，，将沿向右平移得到，若平移距离为2，则四边形的面积等于（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图，在平行四边形中，，，以为底边向右作腰长为的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为           ． 5.如图，在内一动点，，连接并延长与交于点，连接并延长与交于点．若           ． 6.如图，将沿平移，得到，连接，已知， ． (1)求证：； (2)若，求的度数． 7.如图中，D是边的中点，E是上一点，且，以为直角边作等腰，连接 (1)求证：四边形平行四边形； (2)若，连接，求的大小． 八、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 2.如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（    ） A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙 3.如图，已知，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形为平行四边形．以下是排乱的证明过程：①∴四边形为平行四边形；②∵四边形为平行四边形，∴，；③连接，交于点；④∵，∴，即．证明步骤正确的顺序是（    ） A. ①②③④ B. ③④②① C. ③②④① D. ④③②① 4.如图所示，已知与关于点中心对称，过任作直线分别交，于点，，下面的结论： ①点和点，点和点是关于中心的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与成中心对称． 其中正确的是           ． 5.如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，在不添加辅助线的情况下，图中与全等的三角形共有            个． 6.已知，如图，． (1)的对角线相交于点，直线过点，分别交于点．求证：； (2)将（纸片）沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点分别交于点． ①求证：； ②连接，求证：． 7.如图，在中，点分别在边上，，连接交于点，求证：点是线段的中点． 华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固（参考答案） 一、根据定义判定平行四边形 1.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】由平移的性质可知，，故①正确； 由平移的性质可知，，因此，故②正确； 平移的方向是点C到点F的方向，故③错误； 由平移的性质可知，，，， 因此四边形为平行四边形，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，共3个． 故选C． 2.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C.， ，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D.， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求； C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； ∵， ∴， D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：B． 4.已知：如图，AB∥CD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：　          　（填一个即可），你判断的理由是：　                      　． 【答案】AD∥CB；两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【解析】AD∥CB， 根据是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 故答案为：AD∥CB，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 5.在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　    　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 【答案】∥ 【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知： ∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：∥． 6.如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形． 【答案】证明：∵EF∥AC， ∴∠EDC+∠C＝180°， 又∵∠EDC＝∠CBE， ∴∠CBE+∠C＝180°， ∴EB∥DC， ∵DE∥BC，BE∥CD， ∴四边形BCDE是平行四边形． 7.如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD． ∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 二、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵,, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选：B． 2.综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（    ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 3.对角线（    ）的四边形是平行四边形. A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等 【答案】B 【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形， 故选：B． 4.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是　       　，理由是　                                    　． 【答案】平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解析】如图，∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5.如图，四边形ABCD，如果AC＝6，BD＝10，那么AO＝　  　，BO＝　  　时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】3；5 【解析】∵AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝10， ∴当AO＝3，BO＝5时，则AO＝CO＝3，BO＝DO＝5， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：3，5． 6.淇淇同学要证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的，她先作出了如图所示的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：四边形是__________四边形. (1)填空，补全已知和求证； (2)按淇淇的想法写出证明； (3)用文字叙述所证命题的逆命题为______________________________． 【答案】（1）解：已知：如图，在四边形中，，， 求证：四边形是平行四边形， 故答案为：，平行． （2）证明：在与中， ， ， ， ，同理， 四边形是平行四边形． （3）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题是：平行四边形的对角线互相平分，故答案为：平行四边形的对角线互相平分． 7.如图，在四边形中，，，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 三、判定能否构成平行四边形 1.已知四边形，以下有四组条件：① ；②；③；④，其中能判四边形是平行四边形的条件共有（   ） A.1组 B.2组 C.3组 D.1组 【答案】A 【解析】如图： ①，运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形； ②，无法判断四边形是平行四边形； ③，无法判断四边形是平行四边形； ④，无法判断四边形是平行四边形； 所以能判断四边形是平行四边形的是①，只有1组， 故选：A. 2.下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A.， B.， C.， D.， 【答案】D 【解析】A.能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B.能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； C.能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D.对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，本选项符合题意； 故选：D. 3.下列条件中不能判定四边形一定是平行四边形的是（    ） A.一组对角相等，一组邻角互补 B.一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线 C.一组对边平行，一组对角相等 D.一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【解析】如图， A.，， 则，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故一组对角相等，一组邻角互补的四边形一定是平行四边形，不符合题意； B.，， 则，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线的四边形一定是平行四边形，不符合题意； C.，， 则， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故一组对边平行，一组对角相等的四边形一定是平行四边形，不符合题意； D.组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，符合题意； 故选：D． 4.在四边形中，对角线、相交于点，在下列条件中，①，，②，；③，；④，；⑤，，能够判定四边形是平行四边形有           （填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】①添加，条件， 则根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故①可以； ②添加，；条件， 则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故②可以； ③添加，条件， 即一组对边平行，另一组对边相等，该情况不能判定平行四边形；故③不可以； ④添加，条件， 则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故④可以； ⑤添加，条件， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形；故⑤可以； 故答案为：①②④⑤． 5.如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是          ． 【答案】①②④⑤ 【解析】①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ③∵，，无法得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； ⑤∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故⑤正确； ⑥∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故⑥不正确． 综上所述，添加的条件①②④⑤，可证明四边形是平行四边形． 故答案为：①②④⑤． 6.如图，在中，，O是的中点，点M在的延长线上． (1)作的平分线，连接，并延长交于点D，连接（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】解：（1）如图，，即为所求； （2）四边形ABCD是平行四边形，证明如下： 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 7.学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究． 以下是小明探究过程，请补充完整： (1)在四边形中，对角线与相交于点．若，补充下列条件中的一个，能判断四边形是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）； （A）；（B）. (2)将（1）中的命题用文字语言表述为： ①命题1_____________________________________________； ②画出图形，并写出命题1的已知和求证； (3)小明进一步探究发现： 若一个四边形的三个顶点的位置如图所示，且这个四边形满足，，但四边形不是平行四边形，请画出符合题意的四边形（不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题． 【答案】解：（1）在四边形中，对角线与相交于点， 若，则当时，四边形是平行四边形； 故答案为：B； （2）①文字语言表述为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； 故答案为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ②已知：如图，在四边形中，，对角线与相交于点，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）如图所示，四边形满足，但四边形不是平行四边形． 四、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，在正六边形中，，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是（    ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】① 如图，连接，交于点， ∵正六边形中，， ∴和是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，故①符合题意； ②在正六边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故② 符合题意； ③∵，，， ∴与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意． 故选：A．   2.如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B.∵， ∴， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C.由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D.∵， ， ， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 3.在四边形中，，添加下列条件，不能使四边形成为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形，故B正确； ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故D正确； 当，时，四边形也可能是等腰梯形，故C错误， 故选：C． 4.如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为      ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 5.如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件            （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】添加条件为：或或， ①添加， 理由：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ②添加， 理由：∵， ∴是直角三角形，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ③添加， 理由：∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 综上所示，添加的条件有或或， 故答案为：或或（答案不唯一）． 6.在①AD＝BC，②，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，_______（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形． 【答案】解：补充条件②， ∵， ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC， 又∵OA=OC， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 条件① ③无法证明四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：②. 7.在①，②，③这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．如图，在四边形中，对角线AC与BD相交于点O，，若______．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形是平行四边形．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分） 【答案】解：若，四边形是平行四边形； ， ，， 又， ， ， 且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①. 五、平行四边形的个数问题 1.已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B为顶点的网格平行四边形的个数为(   ) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】如图所示,根据平行四边形的定义,则以AB为边的网格平行四边形有6个,以AB为对角线的网格平行四边形有6个,则共有12个. 故选D. 2.平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，从3条平行线中任选2条直线的方法有3种，从5条平行线中任选2条直线的方法有10种，故平行四边形的个数为， 故选：C. 3.如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，，，为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选C． 4.如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有      个平行四边形． 【答案】3 【解析】依题意，，则四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ∴有个平行四边形, 故答案为：． 5.如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 【答案】4 【解析】∵在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点， ∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD， ∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上▱ABCD本身，共有4个平行四边形4． 故答案为4． 6.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【答案】解：如图所示： 7.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】解：（1）如图所示； （2）由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 六、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s 【答案】D 【解析】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2 s或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故选：D． 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A. B. C.或 D.或 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 设运动时间为t． 当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t， ∴10﹣t＝10﹣2.5t， 1.5t＝0， ∴t＝0（舍去）； 当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10， ∴10﹣t＝2.5t﹣10， 解得：t； 当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t， ∴10﹣t＝30﹣2.5t， 解得：t（舍去）； 综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 故选：B． 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 【答案】C 【解析】∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝8， 由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t， ①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t， ∴3t﹣8＝6﹣t， 解得：t＝3.5； ②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t， ∴8﹣3t＝6﹣t， 解得：t＝1， ∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故选：C． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，当点P、Q中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则　　s后四边形PQCD是平行四边形． 【答案】 【解析】设运动了x秒． 根据题意有AP＝x cm，CQ＝2x cm，PD＝（8﹣x）cm， ∵AD∥BC， ∴当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形， ∴8﹣x＝2x， 解得：x， ∴s时，四边形PDCQ是平行四边形， 故答案为：． 5.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以3 cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P、Q同时出发 　     　秒后其中一个新四边形为平行四边形． 【答案】2或3 【解析】根据题意有AP＝t cm，CQ＝3t cm，PD＝（8﹣t）cm，BQ＝（12﹣3t）cm． ①∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形． ∴t＝12﹣3t． 解得t＝3． ∴t＝3时四边形APQB是平行四边形． ②AP＝t cm，CQ＝3t cm， ∵AD＝8 cm，BC＝12 cm， ∴PD＝AD﹣AP＝（8﹣t）cm． ∵AD∥BC， ∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形． 即：8﹣t＝3t， 解得t＝2． ∴当t＝2时，四边形PDCQ是平行四边形． 综上所述，当P，Q同时出发3或2秒后其中一个新四边形为平行四边形． 故答案为：2或3． 6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒． （1）若PE⊥BC，求BQ的长； （2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示： ∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠C＝45°＝∠B， ∴AB＝AC， ∴BM＝CM， ∴AMBC＝5， ∵AD∥BC， ∴∠PAN＝∠C＝45°， ∵PE⊥BC， ∴PE＝AM＝5，PE⊥AD， ∴△APN和△CEN是等腰直角三角形， ∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t， ∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2， ∴5﹣t＝2t﹣2， 解得：t，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2； （2）存在，t＝4或12；理由如下： 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则AP＝BE， ∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10 解得：t＝4或12 ∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12． 7.在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6厘米，AD＝9厘米，P、Q分别从A、C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动．Q以2厘米/秒的速度由C向B运动，问几秒时，四边形ABQP是平行四边形？ 【答案】解：设t秒时，四边形ABQP是平行四边形， 根据题意得：AP＝t厘米，CQ＝2t厘米， 则BQ＝（6﹣2t）厘米， ∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t＝6﹣2t， 解得：t＝2， 答：2秒时，四边形ABQP为平行四边形． 七、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ） A.20 B.24 C.30 D.10 【答案】A 【解析】∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 2.如图，在四边形中，，，点E为的中点，连结，若四边形的面积为16，则的面积为（   ） A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】B 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积为16， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 故选B. 3.如图，在中，，，将沿向右平移得到，若平移距离为2，则四边形的面积等于（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】由平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4.如图，在平行四边形中，，，以为底边向右作腰长为的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为           ． 【答案】 【解析】过点作交于点，在上取一点，使得，连接，． 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 8， ﹣， ∴， ﹣ ， 的最小值为 ． 故答案为： ． 5.如图，在内一动点，，连接并延长与交于点，连接并延长与交于点．若           ． 【答案】 【解析】过点F作平行线，过点E作平行线，交于点H，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6.如图，将沿平移，得到，连接，已知， ． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】解：（1）∵沿平移，得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵沿平移，得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形，， ∵， ∴． 7.如图中，D是边的中点，E是上一点，且，以为直角边作等腰，连接 (1)求证：四边形平行四边形； (2)若，连接，求的大小． 【答案】解：（1）∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴, ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵， ∴． ∵, ∴, ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 八、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，； ∴①②③正确，④错误． 故选：B． 2.如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（    ） A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙 【答案】A 【解析】甲方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， , ， ， ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，四边形为平行四边形； 乙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， , ， ， ， ，则， 在和中， , ， ， 在四边形中，由一组对边平行且相等可知，四边形为平行四边形； 丙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ，， 在和中， , ， ， 平分；平分； ， 在和中， , ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，，四边形为平行四边形； 综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点为顶点的四边形为平行四边形， 故选：A． 3.如图，已知，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形为平行四边形．以下是排乱的证明过程：①∴四边形为平行四边形；②∵四边形为平行四边形，∴，；③连接，交于点；④∵，∴，即．证明步骤正确的顺序是（    ） A. ①②③④ B. ③④②① C. ③②④① D. ④③②① 【答案】C 【解析】连接，交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， 证明步骤正确的顺序是③②④①， 故选：C． 4.如图所示，已知与关于点中心对称，过任作直线分别交，于点，，下面的结论： ①点和点，点和点是关于中心的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与成中心对称． 其中正确的是           ． 【答案】①②③④ 【解析】∵与关于点中心对称， ∴，，， ∴, ∴四边形是平行四边形， 在与中， ∵， ∴， ∴点和点，点和点是关于中心的对称点， ∴与成中心对称，直线必经过点, ∴四边形与四边形也关于点对称， ∴， 综上，正确的是①②③④, 故答案为：①②③④. 5.如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，在不添加辅助线的情况下，图中与全等的三角形共有            个． 【答案】3 【解析】和都是等腰直角三角形，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ； ， ，即， ； 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； 综上与全等的三角形共有3个, 故答案为：3． 6.已知，如图，． (1)的对角线相交于点，直线过点，分别交于点．求证：； (2)将（纸片）沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点分别交于点． ①求证：； ②连接，求证：． 【答案】解：（1）∵在中，， ∴， 又∵， 在和中， , ∴， ∴； （2）① 由（1）得， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点作，交于点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 7.如图，在中，点分别在边上，，连接交于点，求证：点是线段的中点． 【答案】证明：连接，如图所示： 在中，，， ， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， 点为线段的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$