专题3.3 整式的加减（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题3.3 整式的加减 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：单项式 2 知识点梳理02：多项式 3 知识点梳理03：整式 3 知识点梳理04：同类项的概念 4 知识点梳理05：去括号法则 4 知识点梳理06：整式的加法和减法 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：已知同类项求指数中母或代数式的值 5 考点2：合并同类项 6 考点3：整式的加减运算 8 考点4：整式的加减中的化简求值 10 考点5：整式加减中的无关型问题 11 考点6：整式加减的应用 13 考点7：写出满足某些特征的单项式 15 考点8：单项式规律题 17 考点9：多项式系数、指数中字母求值 18 考点10：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列 19 考点11：数字类规律探索 21 考点12：图形类规律探索 23 考点13：带有字母的绝对值化简问题 25 中考真题 实战演练 27 难度分层 培优拔尖 29 基础夯实 29 培优拔高 34 知识点梳理01：单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式；例如：等等。 技巧点拨 （1）单项式包括三种类型： · 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；例如：等等。 · 单独的一个数；例如：等等。 · 单独的一个字母．例如：等等。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：的系数分别为． 技巧点拨 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如： 它们的次数分别为：2次，3次，3次．这里切记此处的π是数，不是作为字母，因此这个单项式的次数计算时只能算r的三次。 技巧点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 知识点梳理02：多项式 1. 多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，例如：． 此例子中该多项式可以看成是，因此它是单项式的和。 多项式的概念中所说的和是包含减法的，因为所有的减法都可以转化成加法。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 这个多项式包含的项有三项： ，其中最后一项是，可不要当成1了！ 名师点拨 （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 技巧点拨 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点梳理03：整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 技巧点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点梳理04：同类项的概念 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 技巧点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 技巧点拨 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点梳理05：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 技巧点拨 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点梳理06：整式的加法和减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 技巧点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 考点1：已知同类项求指数中母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·广西桂林·期中）整式化简求值：若单项式与单项式是同类项，试求的值． 【答案】， 【思路引导】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，以及整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算．先去括号合并同类项化简，再利用同类项定义求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【规范解答】解： ， ∵单项式与单项式是同类项， ∴， ∴原式． 【变式训练】（23-24七年级上·广西河池·期末）已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同； （1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解； （2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可． 【规范解答】（1）解：∵与是关于x、y的单项式，且它们是同类项， ∴ 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 考点2：合并同类项 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【思路引导】本题考查了代数式的求值、合并同类项，掌握整体代入法求代数式的值是解题关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）先合并同类项，再运用“整体思想”代入求值即可； （3）把写成，再整体代入即可得出结果． 【规范解答】（1）解： ； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ； 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了代数式的求值、合并同类项等知识点，掌握运用整体代入法求解代数式的值是解题的关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可解答； （2）把写成，然后将整体代入即可解答； （3）将和相加可得，写成，然后将整体代入即可解答． 【规范解答】（1）解： ． 故答案为：2． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 考点3：整式的加减运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·期中）定义新运算“”，即对任意的有理数，满足． （下列运算结果均不含新运算符号“*”） (1)分别计算和； (2)计算，并用含的代数式表示的运算结果； (3)判断定义的新运算是否满足运算律： ①先计算，再判断交换律是否成立？ ②先计算，再判断结合律是否成立？ 【答案】(1) (2)， (3)①，交换律不成立；②，结合律不成立. 【思路引导】本题考查的是新定义下的有理数的运算及整式加减运算； （1）根据新运算法则计算即可； （2）根据新运算法则计算即可； （3）①计算进而得出结论；②计算，，进而得出结论； 【规范解答】（1）解： ， ． （2）由（1）得原式 ． ； （3）①， 所以交换律不成立． ②， ， ， 所以结合律不成立． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）已知关于的多项式和，其中（为常数），． (1)若多项式中不含项，求的值； (2)当时，求； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查的是整式的加减运算，求解代数式的值； （1）由多项式中不含项，可得，再进一步求解即可； （2）先代入，再去括号，合并同类项即可； （3）由条件可得：，再进一步变形整体代入计算即可. 【规范解答】（1）解：多项式中不含项 ， ； （2）解：当时 ； （3）解：由（2）可知， ， ， ； 考点4：整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（22-23七年级上·重庆永川·期中）先化简，再求值： 若，求的值． 【答案】； 【思路引导】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性及整式加减的化简求值，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性、整式加减的化简求值是解题的关键．由题意易得，然后对代数式进行化简，进而代值求解即可． 【规范解答】解：， ， ； ； 当时，原式． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)2 (2)21 (3)； 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，整式加减运算中的化简求值． （1）按照从左到右依次计算即可． （2）先算乘方，再算乘法，最后再算加减法． （3）先化简整式，再代入数值计算即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： ， 当，时， 原式． 考点5：整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【答案】 24 【思路引导】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可； （2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值； （2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可． 【规范解答】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 考点6：整式加减的应用 【典例精讲】24-25七年级上·北京·期中）如图1．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图2所示． (1)该长方形区域的长可以用式子表示为____； (2)根据图中信息，用等式表示a，b，c满足的数量关系为____． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查列代数式的知识，熟练掌握图中的数量关系是解题的关键． （1）根据图中关系列出代数式即可； （2）根据宽相等得出等量关系式即可． 【规范解答】（1）解：由图知：该长方形区域的长为， 故答案为：； （2）解：由图知长方形区域的宽为或， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠，规定如表所示： 一次性购物金额 优惠办法 少于300元 不予优惠 等于或大于300元但低于600元 九折优惠 等于或大于600元 其中600元部分给予九折优惠，超过600元部分给予七折优惠 (1)如果王叔叔一次性购物700元．那么他实际付款多少元？ (2)若顾客在该超市一次性购物元， ①当小于600但不小于300时，他实际付款 元， ②当大于或等于600时，他实际付款 元（用含的代数式表示）； (3)如果王叔叔两次购物货款合计940元，第一次购物的货款为元，用含的式子表示两次购物王叔叔实际付款多少元？ 【答案】(1)他实际付款610元 (2)①② (3) 【思路引导】本题考查列代数式，整式加减的应用，读懂题意，正确的列出代数式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出算式进行计算即可； （2）根据优惠方案列出代数式即可； （3）根据优惠方案，列出代数式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：（元）； 答：他实际付款610元； （2）①当小于600但不小于300时，他实际付款元； ②当大于或等于600时，他实际付款（元）； （3）第一次购物的货款为元，则：第二次购物的货款为元， ∵， ∴， ∴两次购物王叔叔实际付款：（元）． 考点7：写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【思路引导】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【规范解答】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）； ①；②；③；④；⑤ (2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； (3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 【答案】(1)①④ (2)（答案不唯一） (3)，是对称式 【思路引导】本题主要考查了整式的加减，正确理解对称式的定义是解题的关键． （1）根据对称式定义逐个判断即可； （2）按照要求写出一个符合要求的式子即可； （3）先将代入计算，再根据对称式的定义判断即可得答案． 【规范解答】（1）解：根据对称式的定义可知：、是对称式，、、不是对称式． 故答案为：①④． （2）解：∵只含有字母m，n，单项式是对称式，且次数为8， ∴单项式可以是：（答案不唯一）． （3）解：∵， ∴ ， ． 由根据对称式的定义可知，是对称式， ∴是对称式． 考点8：单项式规律题 【典例精讲】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了数字变化类和单项式，根据题意可总结规律为：奇数个单项式的系数为正，偶数个单项式的系数为负，第个单项式系数，次数是，从而利用规律即可解答，理解题意，总结出规律，并利用规律解题是关键． 【规范解答】解：单项式的次数为：2，，10，，26，， ； ； ； ； ； 第个单项式的系数为：， 第100个单项式的系数为：， 单项式的次数为：3，5，7，9，11，， 单项式的次数为：， 第100个单项式的次数为， 故第100个单项式是， 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级上·重庆渝中·期末）已知整式：，其中，， ，为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【规范解答】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，， 满足条件的整式有：，，， 当时，则， ∴，，， 满足条件的整式有：，，； 当时，， 满足条件的整式有：4； ∴满足条件的单项式有：，，，4，共4个，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有2个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 综上分析可知：正确的有3个． 故选：D． 考点9：多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键． 根据多项式的定义得且，求解即可． 【规范解答】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴且， ∴， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）已知多项式，． (1)若A是二次二项式，则k的值为 ； (2)若k为最大的负整数时，化简． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了整式的加减、多项式的次数等知识． （1）根据题意得到，即可求出； （2）k为最大的负整数时，得到，即可得到，再计算即可． 【规范解答】（1）解：∵是二次二项式， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵k为最大的负整数时， ∴ ∴，， ∴ 考点10：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列 【典例精讲】（24-25七年级上·四川资阳·期末）下列说法：①实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③将多项式按b的升幂排列是；④若多项式化简后不含项，则k的值是．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了运用数轴比较大小，整式加减中的无关型问题，将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，据此相关内容进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：由数轴得， ∴， 故①说法错误的； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故②说法正确的； 将多项式按b的升幂排列是； 故③说法正确的； ∵多项式化简后不含项， ∴， ∴， 故④说法错误的； 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知多项式． (1)将该多项式按y降幂排列． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查多项式的降幂排列，多项式的减法．熟练掌握多项式的降幂排列，去括号，合并同类项，是解题和关键． （１）将多项式A按y的降幂排列就是按y的指数从高到低排列，根据定义即可求解； （2）去括号，合并同类项，即得． 【规范解答】（1）解：按y的降幂排列， （2）解：∵，， ∴ ． 考点11：数字类规律探索 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索： (1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为的长方形纸片对折． （）求图中部分的面积； （）请你利用图形求的值； (2)请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形． 【答案】(1)（）；（）； (2)见解析． 【思路引导】本题主要考查了图形与数字的变化规律、有理数的混合运算等知识点，明确题意并灵活利用数形结合的思想是解答本题的关键． （）（）由对折可知，每一个图形的面积都是上一个图形面积的，由规律可得的面积是； （）由图形可知，，所以可得：； （）首先利用对角线把矩形分成两个面积相等的三角形，然后依次作点为的中点，点为的中点，点为的中点． 【规范解答】（1）解：（）由图可知，的面积为， 的面积为， 的面积为， 的面积为； （）如下图所示， 由图可知， ， ； （2）解：可设计如下图所示： 点为的中点，点为的中点，点为的中点， 由图可知， ， ； 【变式训练】（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： (1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____； (2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【思路引导】本题考查了数字规律探究题，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键； （1）第一组是连续的正整数的平方，第二组是连续的正整数乘以，第三组数据是第一组和第二组对应数据的和，据此求得每一组第6个数，即可求解． （2）根据（1）的规律，即可求解； （3）根据题意列式计算，即可求解． 【规范解答】（1）解：依题意，每一组的第6个数分别是 ，，， 故答案为：，，． （2）解：各组的第n个数分别为， 故答案为：． （3）解：每组数的第10个数，分别为， 其和为． 考点12：图形类规律探索 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值： ．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】（1）根据题意填表即可． （2）原正方形分成各个小长方形的面积之和为，由即可得出的值． 本题主要考查了有理数乘方的应用，列代数式，一元一次方程的应用，面积等知识． 【规范解答】（1）解：解：上表填写如下： 进行的次数 1 2 3 剩下图形的面积 故答案为：，，． （2）解：原正方形分成各个小长方形的面积之和为， ∴， 则， 故答案为：． 【变式训练】（2025七年级上·全国·专题练习）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解： 考点13：带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【答案】(1) (2)，， (3) 【思路引导】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和整式的加减； （1）根据数轴上，左边的数小于右边的数即可解答； （2）根据有理数的加法，减法，乘法法则判断符号，即可求解． （3）根据点在数轴上的位置和绝对值化简解答即可． 【规范解答】（1）解：根据数轴可得：； （2）解：由数轴可知，，，且， ∴，，； 故答案为：，，； （3）解：由数轴可知，，，且， ∴，， ∴ ． 【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： ； （2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ． （3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ． 【答案】 2 7 【思路引导】本题考查化简绝对值，两点间的距离，整式的加减运算，根据数轴判断数的大小，式子的符号，掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【规范解答】解：（1）由图可知：，， ∴， ∴原式； 故答案为：； （2）∵两数的倒数是他们自身， ∴， ∵表示数轴上表示的数到表示和的数的距离和， ∴当时，有最小值为：； 故答案为：；2； （3）由（2）知：当时，有最小值为， 当时，有最小值为， ∵， ∴，， ∴的最大值为3，的最大值为， ∴的最大值为：； 故答案为：7． 1．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【思路引导】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【规范解答】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 2．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 【答案】 【思路引导】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 【规范解答】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 3．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【思路引导】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【规范解答】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 4．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【规范解答】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 5．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案． 【规范解答】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1， 所以第个等式为：， 故答案为：． 基础夯实 1．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则的值为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【思路引导】本题考查整式的加减—化简求值，先将式子根据整式的加减运算法则化简，再代入计算即可． 【规范解答】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是3 B．的次数是4 C．的最高次项为 D．的系数是 【答案】D 【思路引导】本题考查了单项式和多项式的次数及系数的概念，单项式是指数字和字母的乘积，单项式的次数是指所有字母的指数和，系数是指单项式的数字部分；多项式是多个单项式的和，次数是多项式中单项式的最高次数叫做多项式的次数；根据定义逐一分析即可． 【规范解答】解：A、单项式的系数是，而非仅3，选项错误； B、单项式的次数是2，而非4，选项错误； C、多项式中，各单项式次数依次为3、4、0，最高次项为，选项错误； D、单项式的系数为，选项正确； 故选：D． 3．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）单项式的系数，次数分别是（   ） A．3、4 B．、4 C．、3 D．、3 【答案】D 【思路引导】本题考查了单项式的系数和次数，熟记定义是解本题的关键．单项式系数的定义：单项式中的数字因数；单项式次数的定义：单项式中字母因数的指数和；据此解答即可． 【规范解答】解：单项式的系数是，次数是3， 故选：D． 4．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知和是同类项，则式子的值是 ． 【答案】2 【思路引导】此题主要考查了同类项的定义，正确得出m，n的值是解题关键．直接利用同类项的定义（两个单项式中，含有相同的字母，且相同字母的指数也相同，则称这两个单项式为同类项），得出m，n的值，进而得出答案． 【规范解答】解：∵和是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 5．（24-25七年级上·福建南平·期中）若与是同类项，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了同类项的定义，代数式求值，根据同类项的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵与是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·重庆渝北·自主招生）有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…从第3个数开始，每一个数都是它前面2个数的和，那么在前2020个数中有 个奇数． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可得从第1个数开始，每3个数中有2个奇数，据此求出2020除以3的商和余数即可得到答案． 【规范解答】解：这数列的奇偶排列规律是：奇、奇、偶、奇、奇、偶…… ∴从第1个数开始，每3个数中有2个奇数， ∵， ∴在前2020个数中有个奇数， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 【答案】(1)10月的电费是80元 (2)11月的电费是120元 (3)见详解 【思路引导】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再结合10月用电量为160度，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，再结合11月用电量为230度，进行列式计算，即可作答． （3）理解题意，进行分类讨论，根据不同情况进行列式化简，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，（元） ∴10月的电费是80元； （2）解：依题意，（元） ∴11月的电费是120元； （3）解：依题意，当时，则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元． 8．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）某小区的两块紧挨在一起的长方形空地的平面图如图所示（图中长度单位：m），现该小区管理者要在此空地上修建一个半圆形花圃，其余部分进行硬化． (1)求硬化部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求硬化部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查列代数式、求代数式的值、整式的加减，根据图形正确列出代数式是解答的关键． （1）根据图形，阴影部分的面积是两个长方形的面积和减去半圆面积，进而化简可求解； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，阴影部分面积为 ； （2）解：当时，硬化部分的面积为． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一个边长为的正方形，挖去四个半径为的半圆剩下来的部分（单位：cm）． (1)用代数式表示剩下部分的周长； (2)当，时，剩下部分的周长是多少（取3.14）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了列代数式和代数式求值，正确列式是解题的关键； （1）根据剩下部分的周长4个半圆的周长求解即可； （2）把，代入（1）的式子计算即可． 【规范解答】（1）解： ， 答：剩下部分的周长是 ； （2）解：当，时， 答：剩下部分的周长为． 10．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项法则，是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）先根据去括号，合并同类项得出，然后根据代数式的值与字母的取值无关，得出，，最后代入求出结果即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 代数式的值与字母的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 培优拔高 11．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）若单项式与的和仍为单项式，则的值是（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．先根据同类项的定义求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所给代数式计算即可． 【规范解答】解：∵单项式与的和仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴． 故选：C． 12．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）将一些小圆球如图摆放，第六幅图中共有（    ）个小圆球 A．25 B．30 C．36 D．42 【答案】C 【思路引导】本题考查了数字的规律探究以及连续奇数求和的知识，解题的关键是通过观察前几幅图中小圆球数量的计算式，总结出第​n幅图中小圆球数量为这一规律． 【规范解答】解：第一幅图：1 个，即​；​ 第二幅图：​个，；​ 第三幅图：​个，；​ 第四幅图：个，．​ 由此可总结规律：第​n幅图中小圆球的数量是从 1 开始的​n个连续奇数的和，且和为． 根据上述规律，第六幅图中小圆球的数量是从 1 开始的 6 个连续奇数的和，即​ ．​按照规律，其和为．​ 所以，第六幅图中共有 36 个小圆球． 故选：C． 13．（24-25七年级下·北京房山·期末）对于一个四位正整数，若它的千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，则称正整数为“数”． （1）最小的“数”为____________； （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为 ，记，若能被8整除，则满足条件的的最大值为____________． 【答案】（1）6200；（2）9753 【思路引导】本题考查整式的加减，代数式求值等知识，读懂题意，审清概念是解题的关键． （1）根据“千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2”可知：当个位数字和十位数字都是0，取得最小的“数”，从而得解； （2）根据题意可知，从而代入消去c和d，从而得到，要使得取最大值，则千位数字a取9，由可让、7……依次判断即可． 【规范解答】解：（1）∵千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2， ∴当个位数字和十位数字都是0时，千位数字是6，百位数字是2，此时取得最小的“数”，最小的“数”为6200， （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴， 由题意可知：，即， ∴， 又∵， ∴， ∴要使得取最大值，则千位数字a取9， 则若，则，不能被8整除，不合题意； 若，则，能被8整除，符合题意，此时，； ∴满足条件的的最大值为9753． 故答案是：（1）6200；（2）9753． 14．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数 ．（用含n的式子表示） 【答案】 【思路引导】本题主要考查整式里数字类的规律题，根据题意先观察分子和第个数之间关系为，再观察分母和第个数之间关系为，即可得到答案； 【规范解答】解：， 当时，，； ， 当时，，； ， 当时，，； ， 当时，，； ， 当时，，； ∴当当时，分子，分母； ∴； 故答案为： 15．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）下列几何体都是用小正方体堆放而成的．照这样的规律，第个几何体是用 个小正方体堆放而成的：第个几何体是用 个小正方体堆放而成的． 【答案】 【思路引导】本题考查图形的变化类问题，根据各图形中小正方体的个数，找到小正方体排列的规律，再利用规律解决问题即可．找到小正方体排列的规律是解题的关键． 【规范解答】解：第个几何体中的小正方体的个数为：， 第个几何体中的小正方体的个数为：， 第个几何体中的小正方体的个数为：， ∴第个几何体中的小正方体的个数为：， …… ∴第个几何体中的小正方体的个数为：． 故答案为：；． 16．（24-25七年级上·福建福州·期中）在春节联欢晚会上，魔术师给观众们表演了一个扑克牌游戏，随机挑选了一位观众，魔术师背对该观众，让该观众按下列四个步骤操作： 第一步，把部分扑克牌分发为张数相等的四堆，分别记为，，，四堆且每堆不少于2张牌； 第二步，从A堆中拿出两张放入堆中，从堆中拿出一张放入堆中； 第三步，从堆中拿出与A堆张数相同的牌放入A堆，从堆中拿出与堆相同的牌放入堆中； 第四步，把，两堆的牌叠在一起拿在手上． 这时，魔术师准确地说出了该观众手上牌的张数，这个张数是 ． 【答案】6 【思路引导】此题考查了整式的加减的应用，弄清题意是解本题的关键．设第一步中每堆牌的张数为x，根据题中的步骤，写出每一步完成后每堆牌的张数，即可得到答案． 【规范解答】解：设第一步中每堆牌的张数为x， 则第二步完成后，，，四堆牌张数分别为，，，， 第三步完成后，，，四堆牌张数分别为，，，，即，3，3，， 第四步，把，两堆的牌叠在一起拿在手上，手上牌的张数为． 故答案为：6． 17．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，一个长方形运动场被分割成A，A，B，B，C共5个区域，A区域是边长为的正方形，C区域是边长为的正方形． (1)①B区域长方形场地的长是___________m，宽是___________m； ②列式表示一个B区域长方形场地的周长，并将式子化简． (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；当时，求整个长方形运动场的周长． 【答案】(1)①，；② (2) 【思路引导】本题考查列代数式和代数式求值，理解拼图中各个区域之间的关系是解决问题的关键． （1）①根据拼图中各个区域之间的关系得出答案； ②表示一个B区域长方形场地的长和宽，再求周长即可 （2）求出整个大长方形的长、宽，再求出周长，最后把代入计算即可． 【规范解答】（1）解：①根据图形各个区域之间的关系可得， B区长方形场地的长是，宽为， 故答案为：，； ②一个B区域长方形场地的周长为． （2）解：整个长方形运动场的长为，宽为， 因此，整个长方形运动场的周长为． 当时，． 故整个长方形运动场的周长为． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)图中阴影部分的面积为 ； (2)受此启发，得到＝ ； (3)迁移应用：得到＝ （直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据图中三角形面积之间的关系即可解决问题； （2）利用数形结合的思想即可解决问题； （3）根据（3）中的结论即可解决问题； 本题考查图形变化的规律，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键； 【规范解答】（1）解：由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． 故答案为：． （2）解：由（1）知， ， 所以． 故答案为：． （3）解：由题知， 原式． 令①， 则②， 得， ， 即， 所以原式 ． 故答案为：． 19．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下面材料： 在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离，例如，当，． 回答下列问题： (1)①在数轴上表示与两点间的距离是 ， ②在数轴上表示x与4两点间的距离是 ； ③在数轴上表示x与________两点之间的距离为． (2)下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________． ②要使，数轴上表示的数___________________． (3)求的最小值． 【答案】(1)①4；②；③ (2)①6；②5或 (3)9 【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义是数轴上两点之间的距离，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接根据题干中两点之间的距离公式计算即可； （2）①分析出的意义，再结合数轴可得； ②分析出的意义，再根据两点之间的距离为8列式计算即可； （3）分5种情况去绝对值符号，计算各种不同情况的值，最后讨论得出最小值． 【规范解答】（1）解：①在数轴上表示与两点间的距离是； ②在数轴上表示x与4两点间的距离是； ③ 则在数轴上表示x与两点之间的距离为； （2）解：①当表示数x的点在与4之间移动时， 表示数轴上x与的距离和与4的距离之和， 则此时； ②表示数轴上x与的距离和与4的距离之和为8， 则x的值为或； （3）解：表示数轴上x分别与4，2，，的距离之和， 时，原式,此时的最小值是13； 时，原式，此时的最小值是9； 时，原式， 时，原式，此时的最小值是9； 时，原式，此时的最小值是11， 综上：的最小值为9． 20．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：对于一个正的三位数，规定： 应用：有一个正的四位数，且， ， (1)若交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是 ； (2)用减去(1)中构成的四位数，得到新的四位数记为，试判断百位和十位的数字之和是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)交换的百位和十位上的数字，又构成一个新四位数，记为；把和相加求和后得到的值为，求 ． 【答案】(1) (2)百位和十位的数字之和是定值，该定值为，理由见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查整式的加减以及求代数式的值； （1）根据题意正确交换数位上的数字即可． （2）要根据，，，的大小关系，正确确定每个数位上的数字，计算百位和十位的数字之和，即可求解． （3）运用整体思想求的值． 【规范解答】（1）解：将正的四位数交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是 故答案为：． （2）是定值． ， ，且，， ， 百位和十位的数字之和是， 百位和十位的数字之和是定值，该定值为． （3）， ， ， 解得． 故答案为：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 整式的加减 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：单项式 2 知识点梳理02：多项式 3 知识点梳理03：整式 3 知识点梳理04：同类项的概念 4 知识点梳理05：去括号法则 4 知识点梳理06：整式的加法和减法 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：已知同类项求指数中母或代数式的值 5 考点2：合并同类项 5 考点3：整式的加减运算 6 考点4：整式的加减中的化简求值 7 考点5：整式加减中的无关型问题 8 考点6：整式加减的应用 9 考点7：写出满足某些特征的单项式 10 考点8：单项式规律题 11 考点9：多项式系数、指数中字母求值 11 考点10：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列 11 考点11：数字类规律探索 12 考点12：图形类规律探索 13 考点13：带有字母的绝对值化简问题 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 培优拔尖 16 基础夯实 16 培优拔高 18 知识点梳理01：单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式；例如：等等。 技巧点拨 （1）单项式包括三种类型： · 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；例如：等等。 · 单独的一个数；例如：等等。 · 单独的一个字母．例如：等等。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：的系数分别为． 技巧点拨 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如： 它们的次数分别为：2次，3次，3次．这里切记此处的π是数，不是作为字母，因此这个单项式的次数计算时只能算r的三次。 技巧点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 知识点梳理02：多项式 1. 多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，例如：． 此例子中该多项式可以看成是，因此它是单项式的和。 多项式的概念中所说的和是包含减法的，因为所有的减法都可以转化成加法。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 这个多项式包含的项有三项： ，其中最后一项是，可不要当成1了！ 名师点拨 （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 技巧点拨 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点梳理03：整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 技巧点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点梳理04：同类项的概念 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 技巧点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 技巧点拨 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点梳理05：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 技巧点拨 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点梳理06：整式的加法和减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 技巧点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 考点1：已知同类项求指数中母或代数式的值 【典例精讲】（24-25七年级上·广西桂林·期中）整式化简求值：若单项式与单项式是同类项，试求的值． 【变式训练】（23-24七年级上·广西河池·期末）已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值； (2)若，且，求的值． 考点2：合并同类项 【典例精讲】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【变式训练】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 考点3：整式的加减运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·期中）定义新运算“”，即对任意的有理数，满足． （下列运算结果均不含新运算符号“*”） (1)分别计算和； (2)计算，并用含的代数式表示的运算结果； (3)判断定义的新运算是否满足运算律： ①先计算，再判断交换律是否成立？ ②先计算，再判断结合律是否成立？ 【变式训练】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）已知关于的多项式和，其中（为常数），． (1)若多项式中不含项，求的值； (2)当时，求； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 考点4：整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（22-23七年级上·重庆永川·期中）先化简，再求值： 若，求的值． 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中，． 考点5：整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 考点6：整式加减的应用 【典例精讲】24-25七年级上·北京·期中）如图1．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图2所示． (1)该长方形区域的长可以用式子表示为____； (2)根据图中信息，用等式表示a，b，c满足的数量关系为____． 【变式训练】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠，规定如表所示： 一次性购物金额 优惠办法 少于300元 不予优惠 等于或大于300元但低于600元 九折优惠 等于或大于600元 其中600元部分给予九折优惠，超过600元部分给予七折优惠 (1)如果王叔叔一次性购物700元．那么他实际付款多少元？ (2)若顾客在该超市一次性购物元， ①当小于600但不小于300时，他实际付款 元， ②当大于或等于600时，他实际付款 元（用含的代数式表示）； (3) 如果王叔叔两次购物货款合计940元，第一次购物的货款为元，用含的式子表示两次购物王叔叔实际付款多少元？ 考点7：写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）； ①；②；③；④；⑤ (2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； (3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 考点8：单项式规律题 【典例精讲】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·重庆渝中·期末）已知整式：，其中，， ，为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 考点9：多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 【变式训练】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）已知多项式，． (1)若A是二次二项式，则k的值为 ； (2)若k为最大的负整数时，化简． 考点10：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列 【典例精讲】（24-25七年级上·四川资阳·期末）下列说法：①实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③将多项式按b的升幂排列是；④若多项式化简后不含项，则k的值是．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知多项式． (1)将该多项式按y降幂排列． (2)若，求的值． 考点11：数字类规律探索 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索： (1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为的长方形纸片对折． （）求图中部分的面积； （）请你利用图形求的值； (2)请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形． 【变式训练】（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： (1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____； (2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 考点12：图形类规律探索 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值： ．（用含n的代数式表示） 【变式训练】（2025七年级上·全国·专题练习）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)计算的值． 考点13：带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【变式训练】（24-25七年级上·北京·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： ； （2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ． （3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ． 1．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 2．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 3．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 4．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 基础夯实 1．（2025七年级上·全国·专题练习）若，则的值为（　　） A． B． C．8 D．10 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是3 B．的次数是4 C．的最高次项为 D．的系数是 3．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）单项式的系数，次数分别是（   ） A．3、4 B．、4 C．、3 D．、3 4．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知和是同类项，则式子的值是 ． 5．（24-25七年级上·福建南平·期中）若与是同类项，则 ． 6．（25-26七年级上·重庆渝北·自主招生）有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…从第3个数开始，每一个数都是它前面2个数的和，那么在前2020个数中有 个奇数． 7．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 8．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）某小区的两块紧挨在一起的长方形空地的平面图如图所示（图中长度单位：m），现该小区管理者要在此空地上修建一个半圆形花圃，其余部分进行硬化． (1)求硬化部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求硬化部分的面积（结果保留π）． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一个边长为的正方形，挖去四个半径为的半圆剩下来的部分（单位：cm）． (1)用代数式表示剩下部分的周长； (2)当，时，剩下部分的周长是多少（取3.14）． 10．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 培优拔高 11．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）若单项式与的和仍为单项式，则的值是（    ） A． B．4 C．2 D． 12．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）将一些小圆球如图摆放，第六幅图中共有（    ）个小圆球 A．25 B．30 C．36 D．42 13．（24-25七年级下·北京房山·期末）对于一个四位正整数，若它的千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，则称正整数为“数”． （1）最小的“数”为____________； （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为 ，记，若能被8整除，则满足条件的的最大值为____________． 14．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数 ．（用含n的式子表示） 15．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）下列几何体都是用小正方体堆放而成的．照这样的规律，第个几何体是用 个小正方体堆放而成的：第个几何体是用 个小正方体堆放而成的． 16．（24-25七年级上·福建福州·期中）在春节联欢晚会上，魔术师给观众们表演了一个扑克牌游戏，随机挑选了一位观众，魔术师背对该观众，让该观众按下列四个步骤操作： 第一步，把部分扑克牌分发为张数相等的四堆，分别记为，，，四堆且每堆不少于2张牌； 第二步，从A堆中拿出两张放入堆中，从堆中拿出一张放入堆中； 第三步，从堆中拿出与A堆张数相同的牌放入A堆，从堆中拿出与堆相同的牌放入堆中； 第四步，把，两堆的牌叠在一起拿在手上． 这时，魔术师准确地说出了该观众手上牌的张数，这个张数是 ． 17．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，一个长方形运动场被分割成A，A，B，B，C共5个区域，A区域是边长为的正方形，C区域是边长为的正方形． (1)①B区域长方形场地的长是___________m，宽是___________m； ②列式表示一个B区域长方形场地的周长，并将式子化简． (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；当时，求整个长方形运动场的周长． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)图中阴影部分的面积为 ； (2)受此启发，得到＝ ； (3)迁移应用：得到＝ （直接写出答案即可）． 19．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下面材料： 在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离，例如，当，． 回答下列问题： (1)①在数轴上表示与两点间的距离是 ， ②在数轴上表示x与4两点间的距离是 ； ③在数轴上表示x与________两点之间的距离为． (2)下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________． ②要使，数轴上表示的数___________________． (3)求的最小值． 20．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：对于一个正的三位数，规定： 应用：有一个正的四位数，且， ， (1)若交换千位和个位上的数字，再交换百位和十位上的数字，所构成新的四位数是 ； (2)用减去(1)中构成的四位数，得到新的四位数记为，试判断百位和十位的数字之和是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)交换的百位和十位上的数字，又构成一个新四位数，记为；把和相加求和后得到的值为，求 ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$