22.2二次函数与一元二次方程 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程 暑期预习讲义 思维导图 知识梳理 一、二次函数与一元二次方程的联系 知识点1：二次函数 ( ) 的图象（抛物线）与 x 轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ( ) 的实数根。 （1）当抛物线与 x 轴有两个交点时，方程有两个不相等的实数根。 （2）当抛物线与 x 轴有一个交点时，方程有两个相等的实数根。 （3）当抛物线与 x 轴没有交点时，方程没有实数根。 易错点提示： 1.混淆“交点的横坐标”与“交点坐标”。交点坐标是 ( , 0 )，而方程的根是 的值。 2.忽略“实数根”这个前提，二次函数图象与 x 轴的交点对应的是方程的“实数”根。 3.理解“数”与“形”的对应：方程的根是“数”，函数图象与 x 轴的交点是“形”。 二、二次函数图象与x轴交点个数的判断 (判别式的应用) 知识点2：对于二次函数 ( )，其对应的一元二次方程为 ( )，判别式 。 （1）当 时，方程有两个不相等的实数根 ，抛物线与 x 轴有两个不同的交点 和 。 （2）当 时，方程有两个相等的实数根 ，抛物线与 x 轴有一个交点（也称为相切），这个交点就是抛物线的顶点 。 （3）当 时，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点。 易错点提示： 1.记混判别式 的符号与交点个数的关系。特别是 时，是“一个交点”而非“没有交点”或“两个相同的交点”（虽然方程是两个等根，但图象上表现为一个点）。 2.忘记判别式的公式 ，或在计算时出错（特别是符号问题）。 3.当抛物线与 x 轴只有一个交点时，这个点既是交点也是抛物线的顶点，这一点容易忽略。 三、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 知识点3：如果一元二次方程 不容易用公式法或因式分解法求解，可以通过画出对应的二次函数 的图象，观察图象与 x 轴交点的横坐标，得到方程的近似解。 步骤通常为：列表、描点、连线画出函数图象；观察图象与 x 轴交点的大致位置；通过取更精确的 x 值代入函数，逼近得到更精确的近似解。 易错点提示： 1.画图不够准确，导致得到的近似解误差过大。 2.不能准确判断交点的大致区间。 3.忽略“近似解”的含义，试图追求绝对精确，或认为图象法能得到精确解。 四、二次函数 与 y 轴的交点 知识点4：二次函数 的图象与 y 轴的交点坐标是 。这是因为当 时，。 易错点提示：求与 y 轴交点时，错把 代入后计算错误，或误以为是 。与 y 轴交点的横坐标一定是 0。 五、利用二次函数解决与一元二次方程相关的简单问题 知识点5：结合二次函数的图象和性质（如开口方向、顶点坐标、增减性等），可以解决与一元二次方程根的分布、比较函数值大小等相关的简单问题。 例如，已知二次函数图象的某些信息，判断对应的一元二次方程根的情况；或已知方程根的情况，确定二次函数中待定系数的取值范围（初步）。 易错点提示： 1.不能将二次函数的性质与方程根的情况有效联系起来，缺乏数形结合的思想。 2.在根据根的情况确定参数范围时，容易忽略二次项系数 这个前提条件（虽然本节主要讨论联系，但在综合问题中这是必要的）。 巩固练习 一、选择题 1．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是（　　） A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 2．二次函数（，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（　　） A． B． C． D． 3．如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（　　） …… …… …… …… A．， B．， C．， D．， 4．小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．根据下表列出的函数的几组与的对应值，判断方程一个解的范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线（）与x轴的正、负半轴各有一个交点，则a的取值范围为（　　） A． B． C．或 D． 7．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在平面直角坐标系中，若点满足，则称点P为“二倍点”，像点、、…，均为“二倍点”，若抛物线上有且只有一个“二倍点”，则该抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是　 　． 10．已知二次函数的部分图象如图，由其图象可知关于x的一元二次方程的两根分别为　 　． 11．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是　 　． 12．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为　 　． 13．已知抛物线（，，是常数，） ①若抛物线的顶点在第二象限，且，，则当时，随的增大而增大； ②若抛物线开口向下，顶点在第二象限，且，对称轴是，方程有整数根，则对应的值有个； ③若对任意实数都有，则； ④若，在抛物线上，则当时，． 上述结论中，一定正确的是　 　． 三、解答题 14．已知抛物线的对称轴是直线， （1）求证：； （2）若关于x的方程，有一个根为5，求方程的另一个根． 15．抛物线y=与y轴交于（0，3）点. （1）求出m的值并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线； （2）根据图像回答下列问题： ①方程的根是多少？ ②x取什么值时， ？ 16．我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． （1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． （2）已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 17．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P到x轴的距离为8时，求m的值； （3）当图象G的最大值与最小值的差为4时，求m的取值范围． 参考答案 1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．A 9． 10． 11． 12．或 13．②④ 14．（1）证明：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，∴ （2）解：∵关于x的方程有一个根为5， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于x的方程，另一个根为－1 15．（1）∵与y轴交于点（0，3） ∴ ∴抛物线的表达式为：. ∴顶点（1，4）， 列表： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 描点、连线可得如图所示抛物线. （2）①由图象可知，抛物线与x轴交点为（-1，0），（3，0）， ∴方程的解为. ②由图象可知， 16．（1）解：（答案不唯一） （2）解：①由“M点”定义知，“M点”的坐标为（x，-x）， 将（x，-x），代入y=x2-mx-3， 得，则， ， ∴此方程存在两个不相等的实数根， ∴该函数图象上一定存在两个“点”； ②∵这两个“点”的横坐标分别是， 是的解， 函数图象与轴相交于点，， 该函数图象开口向上，且， 当时，即， ． 17．（1）解：抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：点的横坐标为，点P是抛物线上的任意一点， ， ∵点P到x轴的距离为8， ∴或， 当时，整理得， 解得：或； 当时，整理得， 解得：或； 综上可得， 当点P到x轴的距离为8时， m的值为或或或； （3）解：抛物线的解析式为，与轴交于点； ∴x=0，y=0+0+5=5， ， 图象的最大值与最小值的差为4， ①当点在点上方时， ，且， ， 解得或0（舍去）， ， ②当点在点下方时， 此时点在点左侧，不满足题意， 点在点右侧， ， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值范围是或． 学科网（北京）股份有限公司 $$