16.2整式的乘法（第三课时）（思维导图+知识点+习题精练）2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.2整式的乘法第二课时 一、知识框架 二、知识梳理 1、同底数幂相除 （1）运算法则：同底数幂相除， . （2）规定：任何不等于0的数的0次幂都 2、单项式相除 （1）运算法则：一般地，单项式相除，把 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 3、多项式除以单项式 （1）运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 . 三、例题精讲 知识点一：同底数幂的除法 学用P1 例1：计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再分别计算同底数幂的除法和乘法，最后合并即可； （2）先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除法运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 例2：请运用幂的运算性质解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式和实数的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法法则、幂的乘方法则和积的乘方法则． （1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，把所求幂写成含有的形式，再代入进行计算即可； （2）先把写成，然后利用乘法的运算律和积的乘方法则进行简便计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 跟踪训练一： 1．计算的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，包括幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘除法．需分步计算各部分的符号和指数，再合并结果即可． 【详解】解： ； 故选：A． 2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算；根据同底数幂乘除法法则，积的乘方及合并同类项法则直接计算即可求解． 【详解】解： 3．已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了幂的乘方以及同底数幂相乘，同底数幂相除，先根据得，即，解得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：， ∴ ， 解得 ． 知识点二：单项式除以单项式 学用P1 例1：计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以单项式、幂的乘方与积的乘方、单项式除以单项式，再合并同类项即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 例2：计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算单项式乘单项式，积的乘方，单项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 跟踪训练二： 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先进行积的乘方运算，再进行乘除运算，最后合并同类项即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 知识点三：多项式除以单项式 学用P1 例：先化简再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．先计算积的乘方运算，再计算单项式的乘法，最后计算多项式除以单项式即可化简，然后把值代入代简式计算即可． 【详解】解： 当时，原式 跟踪训练三： 1、计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，先计算多项式除单项式，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据多项式乘以多项式以及多项式除以单项式进行计算即可化简，最后代入、的值计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 四、知识精练 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A．1 B．m C．2 D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，则的值为（      ） A．4 B． C．64 D．12 4．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如果，那么m的值不能取（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．在等式中，括号内表示的整式是（   ） A． B． C． D． 7．若多项式除以单项式的值为多项式M，则多项式M是（   ） A． B． C． D． 8．若，则内应填的式子是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10．已知（m、n是正整数），则 ． 11．若，则的值为 ． 12．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 13．计算的结果为 ． 三、解答题 14．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 15．化简： (1)； (2)． 16．数学课上，老师出了一道题：化简. 小明同学马上举手，下面是小明的解题过程： 解：原式. 小亮也举起了手，说小明的解题过程不对，并指了出来.老师肯定了小亮的回答.你知道小明错在哪儿吗？请指出来，并写出正确的解答过程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查同底数幂相除，根据同底数幂的除法法则求解即可． 【详解】解：． 故选：B 2．D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则逐一验证即可． 【详解】解：A：，故该选项不符合题意； B：与不是同类项，无法合并，故该选项不符合题意； C：，故该选项不符合题意； D：，故该选项符合题意． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了同底数幂除法．熟练逆用同底数幂除法的法则，是解题的关键． 逆用同底数幂除法的法则把化为，代入已知即得． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了幂的运算，同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用，代数求值等知识点，解题的关键是掌握各运算的逆应用． 利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知条件的代数式，代入计算即可． 【详解】解：， 将，代入上式得， 原式， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了零指数幂的意义，乘方的意义，把各选项m的值分别代入验证即可. 【详解】A．把代入得 ，不符合题意． B．把代入得 ，符合题意． C．把代入得 ，不符合题意． D．把代入得 ，不符合题意． 故选B． 6．A 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．将等式两边除以已知的单项式，计算多项式除以单项式即可求解． 【详解】解：设括号内的整式为，则原等式为： 两边同时除以，得： ， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了多项式除以单项式，理解整式的除法运算法则是解题的关键． 将多项式中的每一项分别除以单项式，系数相除，字母部分按同底数幂的除法法则运算． 【详解】 ， ， 多项式， 故选：A． 8．A 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据乘除法互为逆运算，将等式两边除以即可求出方框内的式子． 【详解】解：设方框内的式子为，则原式可写为．两边同时除以，得： 因此，方框内应填的式子是， 故选：A． 9． 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10．16 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，（，m、n都是正整数，且），根据同底数幂的除法法则即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：16． 11． 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用，幂乘方的逆用，利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．＞ 【分析】考查零指数幂的运算，及有理数比较大小，熟练掌握零指数幂的运算法则是解题关键． 先根据，分别求出和，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又， ∴． 故答案为：＞ 13． 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据多项式除以单项式计算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 14．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，再计算同底数幂的除法，最后计算加法即可； （2）先计算积的乘方，再计算除法即可； （3）直接计算单项式乘以多项式即可； （4）直接计算多项式乘以多项式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 15．(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的运算和多项式除以单项式，解题的关键是熟练运用相关运算法则进行计算． （1）先根据幂的乘方计算，再用单项式乘多项式法则计算，最后合并同类项化简． （1）利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再进行计算化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．详见解析 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，观察可知有两处错误第一处错是把化为；第二处错是把化为；把中括号内的每一层分别除以即可得到答案. 【详解】解：第一处错是把化为； 第二处错是把化为. 正确的解答过程如下： 原式 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$