精品解析：湖南省娄底市新化县2024—2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2025年上学期期末测试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ） A. B. C. D. 2. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，其主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A. 10cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26cm 6. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 不相交的两条直线叫做平行线 C. 平行四边形的对角线相等 D. 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形 8. 下列说法正确的是（ ） A. 将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件 B. 抛出的篮球会下落是随机事件 C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点是点的“倍增点”，则的最小值是． 其中，正确结论的个数是（　　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 2025的相反数是_________． 12. 计算：________． 13. 已知一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是______． 14. 人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时，是女性；当染色体为时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，若李红妈妈又怀上了一个胎儿，则该胎儿是女孩的概率为______． 15. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 16. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 17. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是_____________． 18. 舂米是中国传统农业劳作方式，过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期．舂的结构类似于杠杆（如图1所示），一口石臼上架着用一根木头做成的“碓身”，“碓”的头部下面有杵（），“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高舂米效率．舂米工作时（如图2所示），碓尾落于深坑底部时，在点处测得碓头所在位置仰角为，已知坑深，碓身长，则碓头离地面的高度是______． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 23. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 综合楼，宣传牌，为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿山坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为， ②测得，，斜坡的坡角为． ③用计算器计算得：，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： （1）求综合楼的高度； （2）求宣传牌的高度． 25. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标； （3）在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标． 26. 如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，． 【初步认识】 （1）①求证：； ②若，求的值． 【特值探究】 （2）若，，，求长； 【逆向思考】 （3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末测试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可． 【详解】解：能够耐受的温差是， 故答案为：D． 2. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据万亿用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 下列几何体中，其主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从几何体的正面看到的图形是几何体的主视图，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的主视图是三角形，故该选项符合题意； B、的主视图是圆；故该选项不符合题意； C、的主视图是正方形；故该选项不符合题意； D、的主视图是长方形；故该选项不符合题意； 故选：A 4. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据同类项的合并，完全平方公式，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可． 【详解】A、原计算错误，不符合题意； B、原计算错误，不符合题意； C、原计算错误，不符合题意； D、正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式以及同底数幂的除法、积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键． 5. 如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A. 10cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26cm 【答案】C 【解析】 【分析】过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，先利用勾股定理求出BC的长，进而根据垂径定理得出AB. 【详解】解：过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D， ∴CD=8，OD=13， ∴OC=OD-CD=5， 又∵OB=13， ∴Rt△BCO中，BC==12， ∴AB=2BC=24． 故选C. 6. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需根据二次根式的加减乘除法则逐一判断各选项的正确性，据此进行作答即可． 【详解】解：A、 不是同类二次根式，，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 不相交的两条直线叫做平行线 C. 平行四边形的对角线相等 D. 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，掌握有关定义及定理是解答本题的关键． 利用对顶角的定义，平行线的定义，平行四边形的性质及菱形的对称性分别判断每一个选项，由此得到答案． 【详解】选项中，相等的角不一定是对顶角，原命题错误，是假命题，故不符合题意； 选项中，平面内不相交的两条直线叫做平行线，原命题错误，是假命题，故不符合题意； 选项中，平行四边形的对角线互相平分但不相等，原命题错误，是假命题，故不符合题意； 选项中，菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，原命题正确，是真命题，故符合题意； 故选：． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件 B. 抛出的篮球会下落是随机事件 C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定 【答案】D 【解析】 【分析】依据随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A不符合题意； B、抛出的篮球会下落是必然事件，故B不符合题意； C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故C不符合题意； D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故D符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，解题的关键是掌握相应知识点的概念． 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点是点的“倍增点”，则的最小值是． 其中，正确结论的个数是（　　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴，则是点的“倍增点”； ∵，， ∴， ∴，则是点的“倍增点”； 故①正确，符合题意； ②设点， ∵点A是点的“倍增点”， ∴， 解得：， ∴， 故②不正确，不符合题意； ③设抛物线上点是点的“倍增点”， ∴，整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； 故③正确，符合题意； ④设点， ∵点是点的“倍增点”， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值是， 故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 2025的相反数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与它符号相反但绝对值相等的数． 【详解】解：由相反数的定义可知，2025的相反数是． 故答案为：． 12. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法则解题即可． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 已知一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式非负，得关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，解得， ∴a的取值范围是且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，特别注意二次项系数非零这个条件不能忽略． 14. 人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时，是女性；当染色体为时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，若李红妈妈又怀上了一个胎儿，则该胎儿是女孩的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概念，画树状图，求得有4种等可能的结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩（）的有2种， ∴P（该小孩为女孩）． 故答案为：． 15. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 16. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 17. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是_____________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据题意可得，，再根据平行线的性质可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 舂米是中国传统农业劳作方式，过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期．舂的结构类似于杠杆（如图1所示），一口石臼上架着用一根木头做成的“碓身”，“碓”的头部下面有杵（），“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高舂米效率．舂米工作时（如图2所示），碓尾落于深坑底部时，在点处测得碓头所在位置仰角为，已知坑深，碓身长，则碓头离地面的高度是______． 【答案】0.58 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，作交的延长线于点G，作于点H，则和均为含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图，作交的延长线于点G，作于点H， 由题意知，， ， ， ， ，， ， 碓头离地面的高度是，即． 故答案为：0.58． 三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为0，1，2 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集， 原不等式组的解集是， ∴整数解为0，1，2． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 22. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 【答案】（1）200；36 （2） 补全条形统计图，如图： （3）460人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体： （1）用最喜欢“D羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比，可得样本容量，再用360度乘以最喜欢“B足球”的学生人数所占的百分比，即可求解； （2）求出最喜欢“B足球”的学生人数，即可求解； （3）用2000乘以最喜欢“E乒乓球”的学生人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是； 扇形统计图中C对应圆心角的度数为； 故答案为：200；36 【小问2详解】 解：最喜欢“B足球”的学生人数为人； 【小问3详解】 解：人， 即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人． 23. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 综合楼，宣传牌，为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿山坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为， ②测得，，斜坡的坡角为． ③用计算器计算得：，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： （1）求综合楼的高度； （2）求宣传牌的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形中仰俯角及坡度角问题． （1）根据题意，，解直角三角形即可求出； （2）过作，根据斜坡的坡角为及，求出，再求得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵仰角为，， ∴（）． 答：综合楼的高度． 【小问2详解】 解：如图，过作，，则四边形为矩形， ∵的坡角为，， ∴（）， （）， ∵处测得宣传牌顶部的仰角为， ∴（）， ∴（）． 答：宣传牌的高度． 25. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标； （3）在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过，两点，列方程组，解之即可得到答案； （2）令，则，求得，作，垂足为，得到，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，设点横坐标为，得到方程，求得，，当时，，当时，，于是得到答案； （3）求得，设，分两种情况①当时，②当时，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解： 抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是； 【小问2详解】 解：令，则， ， 如图，作，垂足为， 则， ， ，， 又是中点， ， ， ， 设点横坐标为，则， 解得：，， 当时，， 当时，， 点的坐标是：，； 【小问3详解】 解：令，则， ， ， 设， ， ， ①当时， ， ， 解得：，（舍去）， 当时，， ； ②当时， ， ， 解得：， 当时，， ； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． 26. 如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，． 【初步认识】 （1）①求证：； ②若，求的值． 【特值探究】 （2）若，，，求长； 【逆向思考】 （3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由． 【答案】 （1）①证明：为的直径， ， 于点F， ， ②；（2）10； （3）是等腰直角三角形．理由如下： 中，， 由（1）可知：， ，即 ， ， ， 由题意知，上式对于任意x、y上式恒成立， 且， ， 锐角 中，， 为的直径， ， 是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）①证明，，从而证明即可； ②运用相似三角形面积比等于相似比的平方，即为相似比，从而得解； （2）先利用，求出，再用勾股定理求，利用相似三角形的性质可求出，再利用得解； （3）同（2）法求出，再利用，得到，再根据x、y的任意性，即与x、y无关，得到，从而得到，继而证明，由此得解． 【详解】（1）①略 ②， 中， （2）中，，，， ∴，， 由（1）可知：，， ，即， （3）略 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $