16.2整式的乘法（第二课时）（思维导图+知识点+习题精练）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.2整式的乘法第二课时 一、知识框架 二、知识梳理 1、单项式乘多项式 （1）运算法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去 ，再把所得的积 ， 【注意】 ① 单项式与多项式的每一项相乘，不要漏乘， 特别是多项式最后如果有常数项的时候； ② 单项式与多项式相乘，依据的是乘法分配律. 2、 多项式乘多项式 （1）运算法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积 . 三、例题精讲 知识点一：单项式乘多项式 学用P1 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 跟踪训练一： 1．一个长方体箱子的长、宽、高分别为：2、x、，则这个箱子的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的应用．先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【详解】解：这个箱子的体积为： ， 故选：D． 2．计算：（   ） A． B． C． D．a 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故选：D． 3、计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 知识点二：多项式乘多项式 学用P1 例1：计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法，根据多项式乘以多项式运算法则计算即可． 【详解】解： ． 例2：化简： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项．熟练掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算规则是解题的关键． 先计算多项式乘多项式，单项式乘多项式，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式： ． 跟踪训练二： 1．下列各个多项式的乘积是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，不符合题意，本选项错误； B. ，不符合题意，本选项错误； C. ，不符合题意，本选项错误； D. ，符合题意，本选项正确； 故选：D． 2、计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 知识点三：整式乘法的综合应用 学用P1 例1．回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)或6 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或或或， 综上，的值为或6． 跟踪训练三： 1．如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 【答案】A 【分析】本题考查整式乘法中多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答关键．将原式按整式乘法运算展开，与的每一项一一对应即可． 将左边的多项式展开后，与右边的多项式对应项系数比较，即可确定m和n的值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，． 故选：A． 2．已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)999999 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0求解即可； （2）先计算出的结果，再根据（1）所求代值计算即可； （3）根据（2）所求可得原式，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵的结果中不含项， ∴ ∴； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴ ． 四、知识精练 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（   ） A．2 B． C．14 D． 5．若，且，则代数式的值等于（　　） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（   ） A． B．0 C． D．p 7．要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算： ． 9．计算： ． 10．已知，，则的值是 ． 11．已知，则的值为 ． 12．已知，则 ． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 14．计算：． 15．回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 16．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． “平稳因子” 定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足，且是常数时，则称是一组平稳数，是该组平稳数的平稳因子． 例：对于多项式来说 ． 所以，，，是一组平稳数，是该组平稳数的平稳因子． 任务： (1)已知，，，是一组平稳数，求该组平稳数的平稳因子的值． (2)若是一组平稳数，求的值和该组平稳数的平稳因子的值． (3)当之间满足怎样的数量关系时，它们是一组平稳数？请直接写出它们之间的关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查幂的运算，单项式与多项式的乘法，合并同类项，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】选项A：根据幂的乘方法则，，故，结果应为，选项A错误． 选项B：展开乘法分配律：，结果应为，选项B错误． 选项C：根据同底数幂相乘法则，，故，选项C正确． 选项D：与不是同类项，无法合并为，结果应为，选项D错误． 综上，正确答案为C． 故选C． 2．A 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法运算．运用分配律进行计算出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查单项式乘以多项式，利用单项式乘以多项式的法则进行计算即可．熟练掌握单项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．将左边多项式展开后与右边比较对应项系数，求出m和n的值再相加，即可． 【详解】解：左边展开：，右边为： ∴， ∴． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则和整体的思想是解决本题的关键．将代数式展开后，利用已知条件代入计算． 【详解】原式展开得： 将已知条件 和 代入： 因此，代数式的值为， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值，通过展开左边多项式并与右边比较对应系数，得出关于和的关系式，进而求解的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 7．A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵计算结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：． 8． 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，化简求值． 把展开，再把和的值代入，即可得到结果． 【详解】解：，， ． 故答案为：4． 11．3 【分析】本题考查多项式乘多项式的计算，先将原式化简，对应题中给出的化简结果即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查了多项式乘多项式．将变形为即可得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：3． 13．(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式、多项式乘多项式等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用单项式乘多项式的运算法则求解即可； （2）直接运用多项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：          ． （2）解： ． 14． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 15．(1)①；②；③ (2) (3)或6 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或或或， 综上，的值为或6． 16．(1)该组平稳数的平稳因子的值为 (2)， (3) 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据定义计算M的值； （2）将分别带入多项式中，依据定义计算出和的值即可； （3）根据定义化简计算，可得，，，之间满足的数量关系式． 【详解】（1）解： ； （2）是一组平衡数， 的结果为常数， ，； （3）． 证明：是平衡数， 结果为常数， 结果为常数， ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$