22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 暑期预习讲义 思维导图 知识梳理 一、图象的形状 知识点1： 二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线。 易错点提示： 无论解析式形式如何复杂，只要是二次函数（a≠0），其图象都是抛物线，是一条平滑的曲线，不是折线。 二、开口方向与开口大小 知识点2： 抛物线的开口方向和开口大小由二次项系数a决定。 （1）开口方向： 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。 （2）开口大小： |a|的绝对值越大，抛物线的开口越窄；|a|的绝对值越小，抛物线的开口越宽。 易错点提示： 1.不要混淆a的符号与开口方向的关系，牢记“a＞0开口向上，a＜0开口向下”。 2.忽略a≠0的条件，若a=0，则函数不再是二次函数，图象也不是抛物线。 3.开口大小只与|a|有关，与b、c的取值无关。不要认为a的数值越大（不考虑正负）开口就越大，实际上是|a|越大，开口越窄。 三、对称轴 知识点3： 抛物线y＝ax²＋bx＋c的对称轴是直线 x = -。 易错点提示： 1.对称轴公式是x = -，不要漏掉负号，也不要记错分子分母。 2.对称轴是一条直线，作答时要写成“直线x = ...”，而不能只写“x = ...”或“- ”。 3.计算时，要注意符号的运算，特别是b本身是负数的情况。 四、顶点坐标 知识点4： 抛物线y＝ax²＋bx＋c的顶点坐标是 (-, )。顶点坐标也可以通过将一般式化为顶点式y=a(x-h)²+k得到，顶点为(h, k)。 易错点提示： 1.顶点坐标是一个有序数对，不要忘记加括号和逗号，如(-, )。 2.记忆和计算顶点纵坐标公式时容易出错，注意符号和运算顺序。 3.可以先求出对称轴x=-，再将其代入原函数解析式求出对应的y值，即为顶点的纵坐标，这种方法有时更不易出错。 五、增减性 知识点5： 二次函数的增减性以对称轴为界，结合开口方向判断： （1）当a＞0（开口向上）时： ①在对称轴左侧（即x <-），y随x的增大而减小。 ②在对称轴右侧（即x > -），y随x的增大而增大。 （2）当a＜0（开口向下）时： ①在对称轴左侧（即x <-），y随x的增大而增大。 ②在对称轴右侧（即x > -），y随x的增大而减小。 易错点提示： 1.描述增减性时，务必指明“在对称轴的左侧/右侧”或“当x < -时/x >-时”，不能笼统地说y随x增大而增大或减小。 2.容易混淆a的正负所对应的增减区间，建议结合函数图象记忆。 3.x=-是函数增减性的转折点，在该点函数取得最大或最小值。 六、最大值或最小值 知识点6： 二次函数的最值由开口方向决定： （1）当a＞0（开口向上）时，抛物线有最低点，函数有最小值。当x = -时，y最小值 = 。 （2）当a＜0（开口向下）时，抛物线有最高点，函数有最大值。当x = -时，y最大值 = 。 易错点提示： 1.混淆最大值和最小值与a的符号关系，记住“a＞0有最小值，a＜0有最大值”。 2.忘记说明取得最值时自变量x的值。 3.计算最值时，代入x=-到解析式中计算y值，或者直接使用顶点纵坐标公式，注意计算准确。 七、与坐标轴的交点 知识点7： （1）与y轴的交点： 令x=0，得y=c。所以，抛物线y＝ax²＋bx＋c与y轴的交点坐标是(0, c)。 （2）与x轴的交点： 令y=0，得ax²＋bx＋c=0。若方程ax²＋bx＋c=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，则抛物线与x轴有两个交点(x₁, 0)和(x₂, 0)；若方程有两个相等的实数根，则抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）；若方程没有实数根，则抛物线与x轴没有交点。（此部分与一元二次方程根的判别式联系紧密，但在本小节主要是知道求交点的方法，不深入讨论判别式） 易错点提示： 1.求与y轴交点时，容易错误地代入y=0计算，应该是x=0。交点坐标是(0, c)，不要写成(c, 0)。 2.与x轴交点的个数取决于对应的一元二次方程根的情况，初学者可能会误认为所有抛物线都与x轴有交点。 八、函数的一般式与顶点式的转化（配方法） 知识点8： 可以通过配方将二次函数的一般式y＝ax²＋bx＋c转化为顶点式y=a(x-h)²+k，从而更直观地得到顶点坐标(h, k)和对称轴x=h。 （1）配方步骤： ①提取二次项系数：y = a(x² + x) + c ②括号内配方：y = a[x² + x + ()² - ()²] + c ③整理：y = a(x + )² - a() + c = a(x + )² + ④得到顶点式：y = a(x - h)² + k，其中h = -，k = 易错点提示：配方过程中，在括号内加上一次项系数一半的平方后，不要忘记减去这个数，并且如果括号外有系数a，减去的数需要乘以a才是真正减去的数，以保持等式相等。这是配方过程中最容易出错的地方。 九、二次函数性质的综合应用（简单） 知识点9： 利用二次函数的性质可以解决简单的问题，如判断函数值的增减情况、比较函数值大小、求最大或最小值（在自变量取值范围是全体实数的情况下）等。 易错点提示：在比较函数值大小时，需要结合对称轴和开口方向，判断所给自变量对应的点在对称轴的哪一侧，以及该侧的增减性。 巩固练习 一、选择题 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．把二次函数 配方化为 形式是（　　） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6． 已知二次函数y=-2x2+4x-3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥0 C．x≥-1 D．x≥-2 7．已知二次函数（，），当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D． 8． 如图， 正方形OABC有三个顶点在抛物线 上， 点 是原点， 顶点 在 轴上则顶点 的坐标是 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是　 　． 10．将二次函数，化为的形式，结果为，该函数图象不经过第　 　象限． 11．在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，y与x的部分对应值如表： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 2 m n 0 … 则m，n的大小关系为m　 　n．（填“>”“=”或“<”) 12．已知二次函数的图象的最低点在轴上，则　 　. 13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　． 14．如果二次函数的最小值是正数，则的取值范围是　 　． 三、解答题 15．已知函数是二次函数； （1）求的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 16．已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 和 ． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）当 时，请根据图象直接写出 的取值范围． 17．已知二次函数． （1）求出该二次函数图象的顶点坐标． （2）填写下列表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 　 　 　 　 　 　 … （3）在图中所示的坐标系中画出该二次函数的图象． 18．已知关于x的二次函数． （1）如果二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=2，求m的值； （2）若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围． 参考答案 1．B 2．B 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．开口向下 10．二 11．> 12．2 13．-1＜x＜3 14． 15．（1）解：由题意：， 解得：， 时，函数是二次函数． （2）解：二次函数的解析式为， 这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 16．（1）解：将 代入二次函数 （ 为常数） 中， 得到 ，解得 ， ∴ ，， ∴顶点坐标 （2）解：令，变形为x2-x-2=0，即（x+1）（x-2）=0， 解得x=-1或x=2， ∴ 当 时，。 17．（1）解：， ∴二次函数顶点坐标为 （2）-1；0；3 （3）解：如图： 18．（1）解：二次函数图象的对称轴为直线， ∵A，B两点在x轴上（点A在点B的左侧），且AB=2， ∴A（，），B（，） 把点（，）代入中， ∴， ∴. （2）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴二次函数图象顶点坐标为（2，）， ∵二次函数图象的开口方向向上， ∴二次函数图象有最低点， ∵若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$