精品解析：辽宁省五校联考2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度下学期期末考试高二年级数学科试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合（ ） A. 2 B. C. D. 2. 随机变量，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 3. 运用复合函数求导方法求函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 4. 设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等比数列，则“数列为单调递增数列”的_____条件是“对任意有恒成立”．（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 非充分非必要 6. 曲线和曲线的公共切线的斜率为（ ） A. 1 B. 3 C. D. e 7. 高二学习小组自主探究三次函数的性质得出以下命题： ①无论系数如何变化，函数的图象始终都是中心对称图形； ②过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切； ③任意三次函数都存在零点，至少有一个，至多有三个； ④当函数存在极值点时，中心点处的导数与两极值点处的函数值有固定关系；． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 不确定 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知无穷数列满足，设其前n项和为，记，则（ ） A. 存在等差数列，使得是递增数列； B. 存在等比数列，使得是递增数列； C. 若是递减数列，则且； D. 若是递减数列，则可能存在且，使得． 11. 已知函数的极值点均为，则（ ） A. 若，则 B. C. c可能为 D. b可能为1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 《庄子·天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.其中隐含了关系式：．类似的，我们可以将一个无限循环小数表示为分数：_____． 13. 已知符号函数，，若，则实数a的取值范围是_____． 14. 已知函数，则①若对任意，有，则a的值为_____．②若图象上存在两点P、Q，使得（O为坐标原点），则a的取值范围是_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 最近育才园举行了乒乓球、羽毛球、足球等联赛、激发起了同学们的运动热情．调查小组为了解本校学生身体素质情况，决定在全校500名男生和400名女生中，按分层抽样的方法随机抽取45名学生，对他们课余参加体育锻炼时长进行问卷调查，将学生参加体育锻炼时长的情况分三类：A类（课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时），B类（课余时间参加体育锻炼但平均每周锻炼时长不超3小时），C类（课余时间不参加体育锻炼），调查结果如下表： 类别 A类 B类 C类 男生 18 x 3 女生 8 10 （1）求出表中x，y的值； （2）根据表格统计的数据，完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时与性别有关． 性别 男生 女生 A类 B类和C类 附：，其中． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值； （3）数，设是的极值点，且，求证：．注：表示a，b，c中最小的． 17. 甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为． （1）采取五局三胜制（在不超过5局比赛中先累计胜3局者赢得比赛，比赛结束） （ⅰ）求一场比赛中，甲以的比分赢得比赛的概率； （ⅱ）求一场比赛中（不一定打满5局），甲最终赢得比赛的概率； （2）判断“五局三胜制”和“三局两胜制”哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由． 18. 设数列的前n项和为，且满足：． （1）求； （2）设数列满足：． （ⅰ）求的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若对任意，有，求实数的最大值． 19. 已知函数． （1）讨论函数的零点情况，只要求写出结论即可； （2）若对任意，有，求a的取值范围； （3）求证：对在意且，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期末考试高二年级数学科试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】, 故选：B 2. 随机变量，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】由于，故， 则. 故选：C 3. 运用复合函数求导方法求函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】同时取对数，即可根据复合函数的求导法则求解. 【详解】由可得，两边同时求导可得， 故， 故选：C 4. 设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】离散随机变量可能取的值为1，2，3， （）， 故的数学期望①， 而且② ①②联立方程组，，解得： 则. 故选：D 5. 已知数列为等比数列，则“数列为单调递增数列”的_____条件是“对任意有恒成立”．（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 非充分非必要 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列及递增数列的性质判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义判断即可得. 【详解】设的公比为且，， 若为递增数列，则恒成立； 若对任意有恒成立，则，所以， 时，或，显然时，不符； 所以，此时，则为递增数列； 时，或，显然时，不符； 所以，此时，则为递增数列； 综上，“对任意有恒成立”是“数列为单调递增数列”的充要条件. 故选：C 6. 曲线和曲线的公共切线的斜率为（ ） A. 1 B. 3 C. D. e 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据斜率相等以及两点斜率公式即可求解. 【详解】由于，， 设的切点为，的切点为， 故且， 故，， 因此公切线的斜率为， 故选：B 7. 高二学习小组自主探究三次函数的性质得出以下命题： ①无论系数如何变化，函数的图象始终都是中心对称图形； ②过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切； ③任意三次函数都存在零点，至少有一个，至多有三个； ④当函数存在极值点时，中心点处的导数与两极值点处的函数值有固定关系；． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的对称中心的概念、导数的几何意义、极值点概念等知识对命题逐一判断即可. 【详解】对于①： 设三次函数的对称中心为，根据三次函数的性质，有恒成立. 将代入可得： , 因为对任意恒成立，所以的系数都为0， 即，解得. 因为，即, 注意到,可求得. 所以无论系数如何变化，函数的图象始终都是以为对称中心的对称图形，①正确； 对于②： 对函数求导得，设切点为， 所以切线斜率为. 设定点坐标为，则切线方程为， 将切点代入方程得， 即，是三次方程， 所以过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切，②正确； 对于③： 因为为奇数次多项式，至少有一个实根， 根据代数基本定理最多有三个实根，所以③正确； 对于④： 设函数的对称中心为，其中，. 因为，所以，则. 设是函数的两个极值点，则是方程的两个根， 根据韦达定理得. 所以 所以④正确. 故选：A. 8. 已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为且，等差数列的公差为且，进而根据累加法得，，进而整理得，故，即. 【详解】解：设等差数列的公差为，且，则， ∴， ∴， ∵为等差数列，∴，(且为公差) ∴， ∴，∵，∴. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，转换为关于的二次函数即可验算；对于B，由结合基本不等式即可验算；对于C，由基本不等式即可验算；对于D，由乘一法验算即可. 【详解】对于A，因为a，b均为正实数，且， 所以， 因为，所以当时，的最小值为1，故A正确； 对于B，， 等号成立当且仅当，故B错误； 对于C，，等号成立当且仅当，故C正确； 对于D， ， 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知无穷数列满足，设其前n项和为，记，则（ ） A. 存在等差数列，使得是递增数列； B. 存在等比数列，使得是递增数列； C. 若是递减数列，则且； D. 若是递减数列，则可能存在且，使得． 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差求和公式，结合作差即可求解A,据特例即可求解B，利用单调性得，即可由迭代法求解C，根据单调性得，即可判断D. 【详解】对于A,当为等差数列时，设首项和公差分别为，则， 则，当时，， 由于， 由于，故当时，， 故，不满足为递增数列，故A错误， 对于B, 当为等比数列时，设，则， ，由于单调递减，故为递增数列，故B正确， 对于C, 是递减数列，则时，， 即，故，故C正确， 对于D, 是递减数列，则时，， 即， 故不存在且，使得．故D错误， 故选：BC 11. 已知函数的极值点均为，则（ ） A. 若，则 B. C. c可能为 D. b可能为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，问题化为两两相交且交点横坐标为正实数，结合各选项描述，并应用导数、对数函数的性质判断各项的正误. 【详解】由题设， 所以是的两个零点，即两两相交且交点横坐标均为正实数， 所以的交点横坐标为，即是的两个根， 所以的两个根为，故， 所以，，且，B对， A：当，即，显然存在一个根为1，故，则，A对， C：若，则在上存在两个根， 对于，即，仅当时取等号， 对于，则，显然有，有， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 所以，仅当时取等号， 综上在上恒成立，故在上不存在实根，与题设矛盾，C错， D：若，由有两个正实根，结合一次函数和对数函数的图象，易知且， 由，则且， 此时，且， 同时，故，，满足前提， 综上，时，存在，且满足要求，D对. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 《庄子·天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.其中隐含了关系式：．类似的，我们可以将一个无限循环小数表示为分数：_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，即可列方程，解方程即可求值. 【详解】， ， 令,则,解得， 故答案为： 13. 已知符号函数，，若，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，画出的大致图象，从而即可分析出若，则，进而即可求出实数a的取值范围． 【详解】由，则， 所以的图象如下图所示， 若（*），由分段函数可知： 当时，由（*）可得，即，解得； 当时，由（*）可得恒成立； 当时，由（*）可得恒成立. 综上可得. 若，则有，即恒成立； ，则有恒成立； 若，则有，解得， 综上分析，实数a的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知函数，则①若对任意，有，则a的值为_____．②若图象上存在两点P、Q，使得（O为坐标原点），则a的取值范围是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①由题意得，令，求导，分和两种情况，得到其单调性和最值，得到，构造，，求导得到其单调性和极值情况，求出的解集为； ②当时，取，当时，由函数单调性，特殊点函数值和零点存在性定理得到，使得，故可取，满足要求；当时，得到函数单调性，假设图象上不存在两点P、Q，使得，结合函数单调性可知，则在上恒成立，参变分离得到，，构造函数得到单调性，进而求出最值，进而得到，要想图象上存在两点P、Q，使得，需，综上求出答案. 【详解】①由题意得，令，则， 当时，恒成立，故在R上单调递增， 其中，故当时，，不合要求，舍去； 当时，令得， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，也是最小值， 故只需， 即， 令，， 则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，也是最小值，其中， 所以的解集为，故a的值为； ②当时，，不妨取，满足，满足要求； 当时，恒成立，故在R上单调递增， 其中，且， 由零点存在性定理得，使得， 故可取，满足，满足要求； 当时，令得， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中在上恒成立， 假设图象上不存在两点P、Q，使得， 结合函数单调性可知，则在上恒成立， 即，则，， 令，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 其中，所以， 所以要想图象上存在两点P、Q，使得，需， 综上，. 故答案为：， 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 最近育才园举行了乒乓球、羽毛球、足球等联赛、激发起了同学们的运动热情．调查小组为了解本校学生身体素质情况，决定在全校500名男生和400名女生中，按分层抽样的方法随机抽取45名学生，对他们课余参加体育锻炼时长进行问卷调查，将学生参加体育锻炼时长的情况分三类：A类（课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时），B类（课余时间参加体育锻炼但平均每周锻炼时长不超3小时），C类（课余时间不参加体育锻炼），调查结果如下表： 类别 A类 B类 C类 男生 18 x 3 女生 8 10 （1）求出表中x，y的值； （2）根据表格统计的数据，完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时与性别有关． 性别 男生 女生 A类 B类和C类 附：，其中． 【答案】（1） （2）表格见解析，能在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超3小时与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组即可求解； （2）根据题意列出列联表，计算卡方对比临界值，即可作出结论. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 性别 男生 女生 A类 18 8 B类和C类 7 12 ； 故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超3小时与性别有关． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值； （3）数，设是的极值点，且，求证：．注：表示a，b，c中最小的． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）极大值为，无极小值 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数的单调性， （2）求导，即可根据单调性，结合极值的定义求解， （3）根据和的单调性，可得的图象以及单调性，即可得，进而根据等价转化，构造函数，求导，根据单调性即可求解. 【小问1详解】 的定义域为，且， 令，解得，令解得， 故单调递减区间为，单调递增区间为， 【小问2详解】 ，则， 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 故当时，取极大值，无极小值， 【小问3详解】 由（1）（2）可知在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 且当，，， 在同一直角坐标系中，作出两个函数的图象如下图所示：故存在，使得， ，则图中实线为的图象， 当时，单调递增，时，单调递减， 则是函数的极值点，，即． ，不妨设，即． 要证，只需证 令 记, 当单调递增，当单调递减， 所以，故， 故，进而 ， 所以在上单调递增， 于是有 故得证 17. 甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为． （1）采取五局三胜制（在不超过5局比赛中先累计胜3局者赢得比赛，比赛结束） （ⅰ）求一场比赛中，甲以的比分赢得比赛的概率； （ⅱ）求一场比赛中（不一定打满5局），甲最终赢得比赛的概率； （2）判断“五局三胜制”和“三局两胜制”哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）选择“三局两胜制”对乙赢得比赛更有利；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）由相互独立事件的概率乘法公式求解两种情况下的概率，比较大小即可作答. 【小问1详解】 （ⅰ）前4局甲乙各胜2局，最后1局甲胜．； （ii）甲赢得比赛分三种情况： ①，； ②，； ③，由（1）已得； 所以甲赢得比赛的概率为． 【小问2详解】 由（1）可知在“五局三胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率为； 而在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛分两种情况： ①，；②，； 所以在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率， 因为，所以选择“三局两胜制”对乙赢得比赛更有利 18. 设数列的前n项和为，且满足：． （1）求； （2）设数列满足：． （ⅰ）求的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若对任意，有，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）应用及累加法计算得出通项公式； （2）（ⅰ）应用累乘法得出通项应用错位相减计算求和；（ⅱ）先根据作商计算得出数列的单调性得出数列的最小值，结合最值计算求参. 【小问1详解】 当时， 当时，，即， 记，则． 由累加得，是也适合， 故； 【小问2详解】 （i）由题，由累乘得， ① ② ①-②得， ； （ⅱ）， 记． ， 当时，，当时，， 所以，故， ，数列单调递增，所以， 于是只需，得，所以最大值为. 19. 已知函数． （1）讨论函数的零点情况，只要求写出结论即可； （2）若对任意，有，求a的取值范围； （3）求证：对在意且，有． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数探讨函数性质确定零点情况. （2）构造函数，利用导数探讨恒成立问题求解. （3）法1：由（2）的结论，结合裂项相消法求和得证；法2：利用导数证明不等式，再赋值即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，由，得， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当或时，直线与函数的图象有一个公共点； 当时，直线与函数的图象有两个公共点； 当时，直线与函数的图象没有公共点， 所以当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数无零点. 【小问2详解】 对任意，不等式， 令函数，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，不合题意； 当时，，设其两个根，， 由，得，函数在单调递减，，不合题意； 当时，函数在上单调递增，，， 函数在上单调递增，对任意，符合题意， 所以a的取值范围是. 【小问3详解】 法1：由（2）知，当时，， 因此 所以 ． 法2：先证：对任意，有，令， 求导得，函数在上单调递增，， 因此对任意，有，即， 而， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $