专题训练十三-十四 与圆相关的无刻度直尺作图 分类讨论思想在圆中的应用-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

专题训练十三 与圆相关的无刻度直尺作图 (限时：30分钟) 类型①找圆心 4.如图，点A,B,C在⊙O上，且∠ABC= 1.如图，D,E分别是AB,AC的中点，且AB⊥ 120°.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求 AC.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求 作图（保留作图痕迹，不写作法）： 作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，AB>BC,作一个度数为30 (1)在图①中，点A,B,C在圆上，作出圆心O 的圆周角 (2)在图②中，点A,B在圆上，点C在圆内， (2)在图②中，AB=BC,作一个顶点均在 作出圆心O ⊙O上的等边三角形. 图① 图② 类型2作角 类型3作线段 2.如图所示的是由小正方形构成的？×7网 5.如图，C是以AB为直径的半圆O内任意一 格，每个小正方形的顶点叫做格点.图中的 点，连接AC,BC,点D在AC上，且AD 圆经过A,B,C三个格点，连接AB,AC, BC.请仅用无刻度的直尺在给定网格中分 CD.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求 别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作 作图（保留作图痕迹，不写作法）： 法)： (1)在图①中，作出△ABC的中线AE. (1)在圆上找点D,使得∠BAD=90°. (2)在图②中，作出△ABC的角平分线AF. (2)在劣弧BC上找点E,使得∠CBE=45°. 图① ② 6.如图，P是⊙O外一点，AB为弦，且PA AB.请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要 图D 围2 求作图（保留作图痕迹，不写作法）： 3.在△ABC中，AB=AC,点A在以BC为直 (1)在图①中，在⊙O上找一点C,使得AC 径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别按下 =AB. 列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： (2)在图②中，以P,A为顶点，作一个平行 (1)在图①中，作一个等于∠ACB的圆周角. 四边形 (2)在图②中，作一个45°的圆周角， 图① 图② ② 109 上册专题练 专题训练十四 分类讨论思想在圆中的应用 (限时：30分钟) 类型①由于点和圆的位置关系的不确定引 7.如图，在⊙0中，半径OA垂直于 起的不唯一性 弦BC.若∠AOB=60°，点D在 方法归纳：点和圆的三种位置关系为点在圆 圆上，则∠ADC的度数为 内、点在圆上和点在圆外，因为圆上的点具有 第7题图 唯一性，所以只考虑圆内和圆外两种情况 类型4由于动点问题而引发的直线和圆位 1.一个点到圆的最小距离为3cm,最大距离为 置关系的不唯一性 6cm,则该圆的直径是 () 方法归纳：由于动点的移动而导致的图形整体 A.1.5 cm B.1.5cm或4.5cm 运动，要抓住在图形变化时几种特殊静态位置 C.4.5 em D.3cm或9cm 的关键要素，从而分类以静态位置的条件达到 2.已知⊙O的半径为5，弦AB=8,P为直线 解题的目的 AB上一点，PA=2,则OP的长为 8.如图，在平面直角坐标系中，已 知点A(0,5√3)，B(5,0),以点 类型2由于圆的对称性引起的不唯一性 B为圆心，BO长为半径作半 0 方法归纳：平行弦位于圆心O的同侧时，平行弦 圆.点P在半圆上，当△ABP 第8题图 之间的距离等于孩心距之差；平行弦位于圆心O 为直角三角形时，点P的坐标为 的异侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之和 3.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的 9.推理能力如下图，在△ABC中， 弦，AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则 AC=2,BC=4,点O在BC上，以 AC的长为 OB为半径的圆与AC相切于点 4.AB是⊙O的弦，OM⊥AB,垂足为M,连接 A,D是BC边上的动点.当△ACD为直角 OA.若△AOM中有一个角是30°，OM= 三角形时，求AD的长 2√3，则弦AB的长为 5.已知⊙O的直径AE=20cm,弦BC 16cm,且BC⊥AE于点D,则△ABC的面 积为 类型3由于一弦对二弧引起的不唯一性 方法归纳：一孤对一圆心角和一圆周角，但一 弦却对一圆心角和两圆周角，且同弦所对两圆 周角互补 6.已知点O是△ABC的外心.若∠BOC= 80°，则∠BAC的度数为 A.40° B.100 C.40°或140° D.40°或100° 110 数学九年级RU版∴.∠BAE+∠AEB-90 ∠ABE=90°，即AB⊥BE OB为⊙O的半径 .BE是⊙O的切线 (2)OB=2, AB=20B=4,AC=√AB-BC=√4-3=7. :AB是⊙O直径，BC-BD, ∴，AD=AC ∴.AD=AC=7 2.解：(1)证明：如图，连接OE 由题意，得DF=EF,OE=OC, ∴∠FDE=∠FED,∠OEC=∠OCE 又，∠ODC=∠EDF,OC⊥AB, ∠OCD+∠ODC=90°， ∴.∠OED+∠DEF=90°，.OE⊥EF :0E为⊙0的半径， ∴EF为⊙O的切线 (2)由题意，得OD=1,BD=BF,OE⊥EF,DF=EF 设⊙O的半径为r, ∴，OE=r,BD=x-OD=r-1, .DF=EF=2BD=2(r-1)=2r-2. ,∴.OF=OD+DF=2r-1 在Rt△OEF中，OE十EF=OF2 即，2+(2r-2)2=(2r-1)2,解得n=1(舍去)，n=3. 敢⊙0的半径为3. 3.解：(1)证明：如图，连接O℃ .CE⊥DB,∴.∠DEF=90 OC-OA,∴∠BAC-∠ACO, ·∠COF=2∠BAC '∠ABD=2∠BAC,.∠ABD =∠COF, .OC∥DE,.∠OCF=∠DEF=90°， .OC⊥CF,CF为⊙O的切线 (2)如图，过点O作OC⊥DE,垂足为G, ∴.∠0GE=90. :CE⊥DB,.∠DEC=90 :∠OCE-90°，.四边形COGE是矩形， ∴.OG=CE=2,OC=EG=1十BG 设OC=x,则BG=x一1，在R△OGB中，OB2=OG十B, 六d=4+G-1),解得x=号，0C=多，∴AB=20A= 20C=5. 4.解：(1)证明：如图，连接OM,过点0作ON⊥ CD于点N BC与⊙O相切于点M, ..OMIBC. ,四边形ABCD是正方形， ,∴CA平分∠BCD,∴OM=ON ,OM是⊙O的半径，.ON是⊙O的半径， ∴，CD与⊙O相切. (2):四边形ABCD是正方形， .AB=BC=1,∠B=90°，∠ACB=45°， ∴.AC=√2，∠MOC=∠MC0=45", ..MC=OM=0A, ∴OC=√OM+MC=√2OM=2OA AC=QA十OC,∴OA十/2QA=2, ∴，QA=2-W2, 即⊙0的半径为2-√② 5.证明：如图，连接0C. 188 数学九年级BJ版 ,⊙0的直径AB=12 ∴.0B=0C=6. PB=4,.P0=10 在△P0C中，PC+0C=82+6=100, PG=102=100. :PC+OC-PO ,∠OCP=90,即OC⊥PC 又OC是⊙O的半径， .PC是⊙0的切线 6.证明：如图，连接OD ,四边形AOCD是平行四边形，OA=OC, ∴，四边形AOCD是菱形， “△OAD和△OCD都是等边三角形， ∴.∠AOD=∠COD=60', ∴.∠BOF=60=∠DOF DF是⊙O的切线，OD⊥DF, ·∠FD0-90 OD=OB, 在△FDO和△FEO中，X∠DOF=∠BOF, OF=OF. ∴.△FDO2△FBO(SAS), ∴∠ODF-∠OBF=9g', .OB⊥BF,∴BF是⊙O的切线. 7.证明：如图，连接OF,OC ,四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC且AD=BC,∠D=90°. :E为BC的中点，AO=DO, ∴A0=合AD,BC=号BC, ∴.AO=EC. 又，AO∥EC,,四边形OAEC为平行四边形， :.AE∥OC, .∠DOC=∠OAF,∠FOC=∠OFA ,OA=OF,.∠OAF=∠OFA, .∠DOC=∠FOC OD-OF 在△ODC和△OFC中，，∠DOC=∠FOC, LOC-OC. ∴.△ODC2△OFC(SAS),∴.∠D=∠OFC=90°， .OF⊥CF,,CF与⊙O相初. 专题训练十二不规则图形面积的 常见计算技巧 1.D2A3A42x+g-号5B6警7A 专题训练十三与圆相关的无刻度直尺作图 1.解：(1)如图①，点O即为所求 (2)如图②，点0即为所求。 ① 2.解：(1)如图①，点D即为所求 (2)如图②，点E即为所求. 3.解：（答案不难一）(1)如图①所示，∠FEC即为所求 (2)如图②所示，∠GBC即为所求. 图① 图② 4,解：（答案不唯一）(1)如图①所示，∠PBC即为所求. (2)如图②所示，△QAC即为所求. 县① 图@ 5.解：(1)如图①，AE即为所求。 (2)如图②，AF即为所求 器① 图② 6.解：(1)如图@，点C即为所求， (2)如图②，□PAMN即为所求 ① 层② 专题训练十四分类讨论思想在圆中的应用 1.D2.√/13或3w53.25cm或4W5cm4.12或4 5.32cm2或128cm26.C7.30°或150 80,0攻（货，5）攻5+5，） 9.解：AD的长为或？ 专题训练十五隐形圆问题 1.52号3B490或180或2705.5或36D 7.6 8.解：存在 作法：如图，构造等边三角形ABE,作△ABE的外接圆⊙O, 过点C作AB的平行线交⊙O于点M,M 分别作点M,M关于AB的对称点M2,M,则点M,M也 满足要求 故符合题意的点有4个，它们分别是点M,M,M,M。 △AMB,△AM1B,△AAM2B,△AMB即为所求. 专题训练十六概率中的“放回” 与“不放回”模型 1.解：(1)当a=1,b=一2时，a十6=一1,2a十6=0，a一b=3.从 三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取 出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，，P(取出的卡 片上代数式的值为负数)=子 (2)补全表格如下： a+b 2a+b a-b a+b 2a+2b 3a+2b 2a 2a+b 3a+26 4a+26 a-b 2a 3a 2a-26 由表可知，共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果 有2a,3a,2a,3a,共4种，P和为单项式)=合 2解：(1号 (2)设甲用A表示，乙，丙、丁分别用B1,B,Bg表示，列表 如下： A B B: B A AB AB ABs B BA B:B BB 令 B:A B:B B:B3 B B:A B:B B:B 由表可知，从这4名教师中随机拍取2人，共有12种等可能 的结果，其中被抽到的2名教师都是共产党员的结果有 6种， ·P(被指到的2名教年都是共产党员)=2=2 6 3.解：1) (2)百树状图如图. 第一 第二张BCD AC D 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中小军抽取的字谜 均是猜“数学家人名”的结果有2种，∴P(小军抽取的字醚均 是清数学家人名”)=品言 周周练 周周练一21.121.2.2 1.A2.C3.D4.B5.D6.20257.4 8.1(答案不唯一)9.202410.AD 11.解：(1)移项，得4(2x+1)2=81. 两边同时除以4，得(2x十1)= 4 开平方，得2x+1-士号， 新得子西=一 (2)二次项系数化为1，得x2-24x+12=0 移项，得x2一24x=一12. 配方，得x2-24x十144=132， 即(x-12)2=132. 开平方，得x-12=±2W33, 解得1=2w/33+12,x2=-2/33十12. (3)a=2,b=-4,c=-5, .4=-4ac=(-4)2-4×2×(-5)=56>0, “方程有两个不相等的实数根， 189 上册参考答案