24.4 弧长和扇形面积-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

24.4弧长和扇形面积 第1课时弧长和扇形面积 要点提示 1弧长计算公式：在率径为R的国中，n的圈心角所对的孤长为1=R 1801 2偏形面积计算公式：①)加果病形的本轻为R,围心角为心，哪么肩形的面椒为S。=。(②)如痛形的率 径为R,弧长为，那么扇形的面积为S= 2 IR. O1固基础 知识点2扇形面积的计算 知识点弧长的计算 4.如图，正五边形ABCDE的边长为6.以点A 1.(2024安徽)若扇形AOB的半径为6， 为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面 ∠AOB=120°，则AB的长为 ( 积为 () A.2n B.3π C.4π D.6π 2.(2024长春)一块含30°角 器 B.4π 的直角三角板ABC按如图 所示的方式摆放，边AB与 C D.12π 直线1重合，AB=12cm现 第2题图 将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对 应点C落在直线L上，则点A经过的路径长 第4题围 第5题图 至少为 cm(结果保留π). 5.(2024吉林)某新建学校因场地限制，要合理 3.如右图，已知DC是⊙O的 规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图 直径，B为CD延长线上一 B 如图所示，该场地由⊙O和扇形BOC组成， 点，AB是⊙O的切线，A 为切点，且AB=AC OB,OC分别与⊙O交于点A,D.若OA= (1)求∠C的度数. 1m,OB=10m,∠AOD=40°，则阴影部分 (2)若⊙0的半径为3，求AC的长. 的面积为 m2(结果保留x). 。易错点忽视过圆上点且小于直径的弦的 位置需要讨论致错 6.在半径为1的⊙O中，弦AB,AC的长分 别为√2,5，则∠BAC所对的弧长为 ( A晋 B. C.g或 D青攻号 72 数学九年级R板 02提能力心…… 之O3拓思维 7.古代数学文化《梦溪笔谈》是我国古代科技 10.(2024乐山)如下图，⊙O是△ABC的外接 著作，它记录了计算圆弧长度的“会圆术” 圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD, 如图，AB是以点O为圆心，OA为半径的圆 交BA的延长线于点D,E为CB上一点，且 弧，N是AB的中点，MN⊥AB.“会圆术“给 AC=CE. 出了AB的长1的近似值计算公式：=AB十 (1)求证：DC∥AE. OA,当0A=4,∠A0B=60时，则1的值 MN2 (2)若EF垂直平分OB,DA =3,求阴影部分的面积 为 ( A.11-23 B.11-43 C.8-23 D.8-43 1112 第7题图 第8题国 8.如图，有一个半径为6cm的圆形时钟，其中 每个刻度间的弧长均相等.过9点和11点 的位置作一条线段，则钟面阴影部分的面积 为 cm2. 9.如右图，在△ABC中，AB= 4,∠C=64°，以AB为直径的 ⊙O与AC相交于点D,E为 ABD上一点，且∠ADE=40°. (1)求BE的长. (2)若∠EAD=76°，求证：CB为⊙O的 切线。 上册第二十四 第2课时圆锥的侧面积和全面积 要点提示 设图雏的母线长为1，底面图的半径为r,对：(1)雪锥的例面展开图是一个角形，键扇形的半径为1，扇形的蔬长 就是底面国的周长2x,(2)国锥的侧而积Sw=S。=πrl.(3)国维的全面积S=S,十5=T十πrl, O1固基础] 知识点2圆锥的侧面积和全面积 6.(2024云南)某校九年级学生参加社会实践， 知识点1圆锥及其侧面展开图相关量的 学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线 计算 长为40cm,底面圆的半径为30cm,则该圆 1.如图，圆锥形烟囱帽的底面半径 锥的侧面积为 为12cm,侧面展开图为半圆形， A.700πcm2 B.900x cm2 则它的母线长为 () C.1200rcm2 D.1 600n cm2 A.10 cm B.20 cm 第1题图 C.5 em D.24 cm 7.如图，圆锥的高h=2√3cm,底面 半径r=2cm,则圆锥的全面积为 2.圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧 面展开图的圆心角是 ( 第7题国 A.90° B.100°C.120° D.150 A.4.3 cm2 B.8πcm 3.用半径为50、圆心角为120的扇形纸片围成 C.12 cm2 D.(43+4)πcm 一个圆锥的侧面，则这个圆维的底面半径为 8.一个圆锥的高是4cm,底面圆的半径是3cm, 则该圆锥的侧面积是 cm. 9.如图①，已知圆锥的母线长1=16cm.若以 4.(2025瑞金期末)如图，从一块 顶点O为中心，将此圆锥按如图②所示的方 半径为1m的圆形铁皮上剪出 式放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成 个圆心角为120°的扇形ABC 的扇形的圆心角0=270°，求： 若将剪下来的扇形围成一个圆第4题图 (1)此圆锥的底面圆的半径. 锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m (2)此圆锥的全面积. 5.如下图，在矩形纸片ABCD中，AD=6cm, 把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片 EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大 的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面. 国② 求该圆锥的高. 数学九年级RJ板 02提能力 …。 念O3拓思维 10.如图，在☐ABCD中，AB 12.(2024广东改编)综合与实践 =3+1,BC=2,AH⊥ 【主题】滤纸与漏斗 CD,垂足为H,AH=√3. 【素材】如图①所示：①一张直径为10cm 第10题国 的圆形滤纸：②一只漏斗口直径与母线均 以点A为圆心，AH长为 为7cm的圆锥形过滤漏斗： 半径画弧，与AB,AC,AD分别交于点E, 7 cm F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧 面，记这个圆锥底面圆的半径为n,用扇形 10 cm AHG围成另一个圆雏的侧面，记这个圆锥 底面圆的半径为r2,则r1一ra= 图① 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 11.如图①，在等腰三角形ABC中，∠BAC= 步骤2：按如图②所示的步骤折叠好滤纸： 120°，AD是∠BAC的平分线，且AD=6. 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 步骤4：将围成圆维形的滤纸放入如图①所 于点E,交AC于点F 示的漏斗中 (I)求由EF及线段FC,CB,BE围成的图 形（图中阴影部分）的面积. (2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF,将扇 形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF 【实践探索】 正好重合，圆锥侧面无重叠（如图②）.求这 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗 个圆锥的高h. 管口处)？请说明理由。 (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成的 圆锥形的全面积（结果保留π）. E(F) 图② 上册第二十四量由(1)可知，∠DCE=120' i∠0CE=号∠DCE-60 ∴.∠C0E=90'-∠OCE=30 CE=20 cm,.OC=2CE=40 cm .在Rt△OCE中，由勾殷定理，得OE=√OC-CE √40-20=20,3(cm), 轮胎的直径为405cm 11.解：(1)ADBE1 (2)证明：如图，连接OD,OE,OF,过点 O作OG⊥MN于点G. MN⊥AB, .∠ACB=∠ANM=90 ,∠CAB=∠NAM,AM=AB .△CAB2△NAM ..AC-AN. ,'⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F, .∠OFC=∠OEC=∠ECF=90°， ∠ODN=∠OGN=∠DNG=90', ,四边形OECF和四边形ODNG都是矩形，，CF■OE, DN=OG. 由切线长定理，得AF=AD .AC-AF=AN-AD, 即CF=DN, ..OG-DN-CF-OE. 0G为⊙0的半径， :OG⊥MN, ,MWN是⊙O的切线 24.3正多边形和圆 1.C2.B3.B4.C5.v56.54 7.解：如图，连接OA,OD,OC 由题意，得∠A0c=号×360*=120， ∠A0D=b×360=30, ,∴.∠C0D=∠A0C-,∠AOD=120°-30 =90 :OC=OD,∴.△OCD是等腰直角三角形， .OC+十OD=CD, ∴00=0D=cD=2 2 X6√2=6(cm), .⊙O的半径为6cm. 8.A9.C10.D11.1312.2 13.解：(1)108 (2)如图，AB为正六边形的一条边，点O 为它外接圆的圆心，连接OA,OB,过点O 作OM⊥AB 0A=0B,∠A0B=360 =60° .△OAB是等边三角形，.AB=OA=OB=a. OMLAB..AM-TAB-T0. 在Rt△OAM中，由勾股定理，得OM=√VOA-AF= V-(- 2a, 即该正大边彩的边心臣为号。 14.解：(1)五边形ABCDE是正五边形， ÷∠ABC-5-2)X180=108 5 (2)△AMN是正三角形. 理由：如图，连接ON,NF 180 数学九年级BJ版 由题意可得FN=OF=ON. ∴△FON是等边三角形， ∴.∠NFA=60°， ∴.∠NMA=∠NFA=60 司理可得∠ANM=60°， ∴.∠MAN=60°， .△AMN是正三角形 (3)如图，莲接OD. ∠NMA=60',.∠AON=2∠NMA =120, “∠A00=X2=14, ∴∠N0D=∠A0D-∠A0N=144°-120°=24 :360÷24=15,∴m的值是15 24.4弧长和扇形面积 第1课时弧长和扇形面积 1.C2.8r 3.解：(1)如图，连接OA ,AB是⊙O的切线，A为切点， .∠BAO=90°.：AB=AC,QA= OC,.∠B=∠C=,∠OAC 在△ABC中，∠B十∠C+∠BAC 180°，∴.∠C+∠C+90°+∠C=180°，.∠C=30. (2)由(1)可知，∠0AC=∠C=30°，∠A0C=120°， ·AC的长为120rX3=8元 180 4.C5.11t6.D7.B8.(6x-9/3) 9.解：(1)如图，连接OE :∠ADE=40°， .∠AOE=2∠ADE=80°. ∴.∠B0E=180°-∠AOE=100° AB=4,,0B=2, BE的长为100x×2_10x 180 0 (2)证明：0A=0E,∠AOE=80°， ÷∠0AE=180'-A0E-50, .∠BAC=∠EAD-∠OAE=26 ∠C=64, ∠ABC=180°-∠BAC-∠C=90°，即AB⊥CB. 又'点B在圆上，AB为⊙O直径， .CB为⊙O的切线， 10.解：(1)证明：如图①，连接OC 'CD为⊙O的切线， ∴∠OCD=90°，即∠DCA十∠OCA =90 又：AB为直径， ∠ACB=90°，即∠1十∠OCA =90°， 盟① .∠DCA=∠1. 0C=0B,∠1=∠2 AC=CE,∴∠2=∠3， ∠DCA=∠3，∴.DC∥AE (2)如图②，连接OC,OE,BE ,EF垂直平分OB, ∴.OE=BE 又OE=OB, .△OEB为等边三角形， ∴∠B0E=60°，∠A0E=120. ② .OAOE. .∠OAE=∠OEA=30 :DC∥AE, .∠D=∠OAE=30° 又∠OCD=90°， .OD=20C=OA十AD. ..DA=0A=OC=OE=3. ,∠BOE=60°， ∴∠OEF=30°， 0F=20E= EvoE-0丽-V-(受)-3 2 六5aE-7A0~EF= 4 又：Sot=120zX3-3x, 360 S4=Sa第a-SA0s=3x-9y3 第2课时圆锥的侧面积和全面积 1.D2.c3.号4. 5.解：设AB=xcm,则DE=(6-xcm 根据题意，得需-不6一0，解得x=4,则6一x一2，即图 维的母线长为4cm,底面圆的半径为1cm .园锥的高为√-1下=√15(cm. 6.C7.C8.15x 9.解：①由题意，得3×2xr=270xX16,解得r=4cm 180. 故此圆锥的底面圆的半径为4cm (2)此圆锥的全而积为x×42十xX4×16=80x(cm2). 10号 11.解：(1)在等腰三角形ABC中，∠BAC=120, .∠B=30°. ,AD是∠BAC的平分线， ∴.AD⊥BC,BD=CD, ,.AB=2AD=12, .由勾股定理，得BD=6v5, ∴BC=2BD=125, 六S=Sae-Saw=是×6X125-120 360 36W3-12π， (2)设园维的底面圆的半径为 根据题意，得2xr-120xX6,解得，-2. 180 又十r2=AD,AD=6,,2十22=62 ,.h=4W2. 12.解：(1)能.理由如下： 设园维滤纸底而周长为C,半径为，母线为。 由题意，得期斗底面半径R-子cm,母线长L-7cm,花纸 直径d=10cm. :2d-C-2r,r-之m 1=号-5em, 7 1 “湾纸可紧贴漏斗内壁。 2由1)可知，国雀滤纸底面积为心2-5xm,侧面积为 ÷滤纸图成的图雀形的全面积为空十受-x(cm》 本章小结 1.A2.B3.B4.55.426.A7.C8.A9.5② 10.C11.66°12.2/3 13.解：(1)∠AEO或∠DCE (2)证明：如图，连接OC PC是半圆O的切线，OC是半圆 O的半径， .OC⊥DC .OA-OC ∠CAO=∠ACO. :∠DCE+∠AC0-90, ,∠DCE+∠CAO-90" DC=DE, .∠DCE=∠DEC ,∠DEC=∠AEO, ∴.∠DCE=∠AEO, .∠AEO+∠CAO=90°， .,∠AOE=90°，即OD⊥AB 14,解：1)正明：如图，连接A0并延长交BC 于点F,连接OC,则OB=OC. .AB=AC,OB=OC. ∴.AF⊥BC ,AE∥BC ,.AF⊥AE 又，QA是⊙O的半径， ∴.AE是⊙O的切线. (2)AB=AC,AF⊥BC, BF=FC=号BC=号×12=6 在Rt△AFB中，AF=/AB一BF=I0-6=8. 设⊙O的半径为R, 在Rt△OFB中，OF+BF=OB, 即(8-R)2十62=R, 解得尺=草。 ∴OF=AF-0A=8-5=1 44 BO=OD,BF=FC, :CD-20F-2x?-号 7 15.c16经7.12618(-》 19.解：(1)证明：：⊙0分别与AB,BC相切，切点分别为A,D, ∴，∠BAC=90°，AB=BD 又：DE⊥AC于点M, .∠BAC=∠DMC=90, ∴，DE∥AB 又，AE∥BC, ,四边形ABDE为菱形 (2)CE与⊙O相切. 理由：如图，连接OD,OE BD是切线， ∴.，∠ODC=90 DE⊥AC于点M DM-ME. ..CD=CE. 又OC=OC,OD=OE, ∴.△CDO2△CEO(SSS). 181 上册参考答案