24.2 点和圆、直线和圆的位置关系-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

,(27)2+(6-x)2=(w2x)2. 解得x=4(负值已舍去)，.ED=2 13.解：(1)如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O,连接OA,OC :D是AB的中点，DCLAB, O,C,D三点在一条直线上 “AC=BC=2AB=12m. 设OA=OD=rm,则OC=OD-CD ① (r-8)m. 在R:△AOC中，由勾殿定理，得OC十AC=OA, 即(r一8)2十122=r2,解得r=13. 故主桥拱所在圆的半径为13m. (2)如图②，记桥下水面上升2m所在水面为EF,EF交CD 于点G,连接OF,OC 由题意，得CG=2m,∴.DG=CD-CG =6 m..OG=OD-DG=7m. 在Rt△OGF中，由勾殿定理， 得GF=√OF-OG=2/36m, ∴EF=2GF=4√30m 故此时水面的宽度为4√30m. 24.13弧、弦、圆心角 1.B2.B3.60°4.D5.D6.30 7.解：(1)证明：如图，连接AF ,四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC, ∴∠DAF=∠AFB,∠GAD=∠B AB=AF,∴∠B=∠AFB, ,∠GAD=∠DAF .GE=EF. 2)F为BE的中点，BF=EF GE,.,∠BAF=60°， :AB=AR,∠B=∠AFB=180-∠BAFD=60 :四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB∥CD,.∠C=180°-∠B=120 8<9.c10.An.9 12.101°13.3 14.解：(1)证明：如图，连接OB,OC ,AB=AC,共AB=AC .OC=OB.OA=0A: .△AOB2△AOC(SSS), ∠1=∠2， AO平分∠BAC. (2)如图，延长AO交BC于点E "AB=AC,AO平分∠BAC, ∴BE=2BC=4,AELBC. 在Rt△ABE和Rt△OBE中，由勾股定理，得AB一BE AE,OB2OE+BE 设OA■x, 则(45)2-4°=(x十0E),x2=0+4, .x十OE=8,x2=OE+4, 解得x=5,0E=3, .⊙0的半径是5， 5.解，(1)证明：AD=BC, ..AD=BC, AD-AC=BC-AC,即CD=AB. CDAB. (2)如图，过点O作OE⊥BD于点E,延长OE交⊙O于点 F,连接OB,BF, 易得BF=DF,BD=BF+DF,BE=DE 178 数学九年级BJ版 BD=24 ,BE=DE=12. .BD=AB+CD.AB=CD. :.AB=BF. .AB=BF=413 在Rt△BEF中，由勾股定理，得EF=√BF一BE=8 设⊙O的半径为r,则OE=r一8. 在R△OBE中，BE+OE=OB,∴122+(r-8)2=72,解 得r=13, ∴.⊙0的半径为13 24.1.4圆周角 1.C2.B3.B4.80 5.解：补全过程如下： ,DE为⊙O的直径， .∠DAE=90°，即∠BAD十∠BAE=90 'AB⊥CD,.∠ABC+∠BCD=90 :∠BAD=∠BCD,,∴.∠ABC=∠BAE, ∴AC=BE, 即AE+EC=EC+BC,.AE-BC ..AE-BC=3. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=√AE+AD= √/3+4=5， .⊙0的直径为5. 6.C7.D8.60或120”9.A10.C11.C12.D13.2 14.解：(1)AB=62 (2)AC=4w2. 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 1.A2.D3.在圆上4.(1)上外(2)5 5.(1,-2) 6.解：(1)证明：AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD. 又'∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD BE平分∠ABC,∴.∠CBE=∠ABE, ,.∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE十∠BAD 又：∠BED=∠ABE+∠BAD, ∴.，∠BED=∠DBE,DE=DB (2)如图，连接CD :∠BAC=90',∴BC是直径， .∠BDC=90 AD平分∠BAC,BD=CD .CD=BD=4. ∴.BC=BD+CD=4W2, “△ABC外接圆的半径为号×42=22。 7.D8.D9.C10.C11.D12.A13.D14.6十33 15.证明：(1)由题意，得∠B=∠E. 又，∠B=∠D,∠E=∠D 'CE∥AD,∴∠D+∠ECD=180", ∴∠E+∠ECD=180°，∴AE∥CD, ∴四边形AECD为平行四边形 (2)如图，过点O作OM⊥BC于点M,ON⊥CE于点N 四边形AECD为平行四边形， ..AD=CE. AD=BC.CE=CB. 08 'OM I BC,ON⊥CE, .CN EN CE.CM-BM- 专C ..CN=CM. 在Rt△ONC和Rt△OMC中， OC-OC. CN=CM. ,.Rt△ONC2Rt△OMC(HL), .∠OCN=∠OCM,即CO平分∠BCE. 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 1.A 2,解：如图，过点C作CD⊥AB,垂足为D. 在R△ABC中，AB=4cm,BC=2cm, ∴AC=√AB-BC=23cm 又ae=合AB·CD=2BC,AC, .CD-BCAC-3 cm. AB (1)当r=1.5cm时，⊙C与直线AB相离 (2)当r=√3cm时，⊙C与直线AB相切 (3)当r=2cm时，⊙C与直线AB相交. 3.445.2 6.(1)0<r<4(2)4<r≤8(3)r=4或r>8 7.D8.B9.C10.311.1或512.3≤≤5 13.解：(1)如图，连接AM A(2,0),B(6,0), .OA=2,OB=6,AB=4 MN⊥x轴于点N, ..AN-NB-2. 0 在Rt△AMN中，由勾骰定理，得AM= √AN+MW=5, .⊙M的半径为W5 (2)相离，理由如下： 由(1)，得AN=2, ·点M的横坐标为4，其到直线x=7的距离为3. 3>W5, “⊙M与直线x=7相离. 14.解：如图，过点O作OD⊥AC于点D. ∠C=90',∠B=60, .∠A=30 BC=4,AO=x,∴AB=8,OD= 22 0 ①当AC与⊙0相离时，有OD>r,即号>1，解得x>2. 又：点O在AB上（不与点A,B重合），.x<8, .2<x<8: ②当AC与00湘切时，有0D=7,即受x=1,解得x=2: ③当AC与⊙0相交时，有OD<,即2x<1,解得x<2. 又x>0,∴.0<x<2. 综上所述，当AC与⊙O相离时，2<x<8:当AC与⊙O相 切时，x=2:当AC与⊙O相交时，0<x<2. 第2课时切线的判定和性质 1.65”2.相切 3.证明：AF=BE .∠ABF=∠BAE 又：∠CAD=∠CDA,∠CDA+∠ABF+∠BAE+∠CAD =180°， ∴.∠BAE+∠CAD=90°， 即∠BAD=90,AD⊥AB, ∴AD是⊙O的切线. 4,D5.A6.50°7.35°8.C9.A10.B1135 12.证明：(1)，D,E分别是BC,AC的中点， ,DE是△ABC的中位线， DE∥AB,DE=2AB :DE=EF=号DR, ∴DF=AB, ,四边形ABDF是平行四边形 (2)如图，连接AD,OB,OC 'AB=AC,D为BC的中点， 六AD⊥BC,∴AD是BC的垂直平分线 OB=OC. ∴，点O在BC的垂直平分线上，即A,O,D三 点共线 由(1)，得四边形ABDF是平行四边形， .BC∥AF,.OA⊥AF OA是⊙O的半径， ∴AF与⊙O相切 13.解：(1)正明：，BC=BD,∴.∠BOD=2∠CAB '∠BOD=2∠F,∠CAB=∠F AB是⊙O的直径，.∠ACB=90, ∴∠CAB+∠CBA=90°，·∠F+∠CBA=90 DE⊥AC,.∠AEF=∠ACB=90', .BC∥EF,∴.∠F+∠FBC=180°. ∴.∠OBF=180°-∠CBA-∠F=90',∴.OB⊥BF. :OB是⊙O的半径，.BF是⊙O的切线 (2)△DGB是等腰三角形，理由如下： AB是直径，BC=BD,∴AC=AD .∠ABD=,∠ABC 由(1)可知，BC∥EF,·∠DGB=∠ABC=∠ABD, .DB=DG,.△DGB为等腰三角形 (3)由(1)可翔，∠OBF=90°，∠CAB=∠F, ∴∠OBD+∠DBF=90 ∠OBC=∠OBD,∠OBC+∠CAB=90°， .∠DBF=∠CAB,.∠DBF=∠F, .DB=DF=2. 由(2)可知，DG=BD, ∴DG=BD=DF=2, .FG=DG十DF=4. 第3课时切线长定理及三角形的内切圆 1.B2.D3.10 4.解：(1)如图，连接OD ,⊙O与AC相切于点D, OD⊥AC设⊙O的半径为rcm 在Rt△AOD中，十42=(r十2)，解得r =3, .⊙O的半径为3cm (2)由题意，得BC是⊙O的切线 ,CD是⊙O的切线，.CD=CB. 设CD=CB=xcm,则AC=(x十4)cn 由(1)，得AB=AO+BO=3十2十3=8(cm) 在Rt△ABC中，x2十82=(x十4)2，解得x=6,.CD的长为 6 cm. 5.A6.B7.<8.C9.7 10.解：(1)，△ABC为直角三角形，∠ABC=30°， .∠ACB=60°， .∠ACE=120° :边AC与轮胎⊙O相切于点D,轮胎⊙O与地面相切于 点E, .∠ODC=∠OEC=90", ∴.∠D0E=360°-90°-90°-120°=60 (2)如图，连接OC 179 上册参考答案 由(1)可知，∠DCE=120' i∠0CE=号∠DCE-60 ∴.∠C0E=90'-∠OCE=30 CE=20 cm,.OC=2CE=40 cm .在Rt△OCE中，由勾殷定理，得OE=√OC-CE √40-20=20,3(cm), 轮胎的直径为405cm 11.解：(1)ADBE1 (2)证明：如图，连接OD,OE,OF,过点 O作OG⊥MN于点G. MN⊥AB, .∠ACB=∠ANM=90 ,∠CAB=∠NAM,AM=AB .△CAB2△NAM ..AC-AN. ,'⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F, .∠OFC=∠OEC=∠ECF=90°， ∠ODN=∠OGN=∠DNG=90', ,四边形OECF和四边形ODNG都是矩形，，CF■OE, DN=OG. 由切线长定理，得AF=AD .AC-AF=AN-AD, 即CF=DN, ..OG-DN-CF-OE. 0G为⊙0的半径， :OG⊥MN, ,MWN是⊙O的切线 24.3正多边形和圆 1.C2.B3.B4.C5.v56.54 7.解：如图，连接OA,OD,OC 由题意，得∠A0c=号×360*=120， ∠A0D=b×360=30, ,∴.∠C0D=∠A0C-,∠AOD=120°-30 =90 :OC=OD,∴.△OCD是等腰直角三角形， .OC+十OD=CD, ∴00=0D=cD=2 2 X6√2=6(cm), .⊙O的半径为6cm. 8.A9.C10.D11.1312.2 13.解：(1)108 (2)如图，AB为正六边形的一条边，点O 为它外接圆的圆心，连接OA,OB,过点O 作OM⊥AB 0A=0B,∠A0B=360 =60° .△OAB是等边三角形，.AB=OA=OB=a. OMLAB..AM-TAB-T0. 在Rt△OAM中，由勾股定理，得OM=√VOA-AF= V-(- 2a, 即该正大边彩的边心臣为号。 14.解：(1)五边形ABCDE是正五边形， ÷∠ABC-5-2)X180=108 5 (2)△AMN是正三角形. 理由：如图，连接ON,NF 180 数学九年级BJ版 由题意可得FN=OF=ON. ∴△FON是等边三角形， ∴.∠NFA=60°， ∴.∠NMA=∠NFA=60 司理可得∠ANM=60°， ∴.∠MAN=60°， .△AMN是正三角形 (3)如图，莲接OD. ∠NMA=60',.∠AON=2∠NMA =120, “∠A00=X2=14, ∴∠N0D=∠A0D-∠A0N=144°-120°=24 :360÷24=15,∴m的值是15 24.4弧长和扇形面积 第1课时弧长和扇形面积 1.C2.8r 3.解：(1)如图，连接OA ,AB是⊙O的切线，A为切点， .∠BAO=90°.：AB=AC,QA= OC,.∠B=∠C=,∠OAC 在△ABC中，∠B十∠C+∠BAC 180°，∴.∠C+∠C+90°+∠C=180°，.∠C=30. (2)由(1)可知，∠0AC=∠C=30°，∠A0C=120°， ·AC的长为120rX3=8元 180 4.C5.11t6.D7.B8.(6x-9/3) 9.解：(1)如图，连接OE :∠ADE=40°， .∠AOE=2∠ADE=80°. ∴.∠B0E=180°-∠AOE=100° AB=4,,0B=2, BE的长为100x×2_10x 180 0 (2)证明：0A=0E,∠AOE=80°， ÷∠0AE=180'-A0E-50, .∠BAC=∠EAD-∠OAE=26 ∠C=64, ∠ABC=180°-∠BAC-∠C=90°，即AB⊥CB. 又'点B在圆上，AB为⊙O直径， .CB为⊙O的切线， 10.解：(1)证明：如图①，连接OC 'CD为⊙O的切线， ∴∠OCD=90°，即∠DCA十∠OCA =90 又：AB为直径， ∠ACB=90°，即∠1十∠OCA =90°， 盟① .∠DCA=∠1. 0C=0B,∠1=∠2 AC=CE,∴∠2=∠3， ∠DCA=∠3，∴.DC∥AE (2)如图②，连接OC,OE,BE ,EF垂直平分OB, ∴.OE=BE 又OE=OB, .△OEB为等边三角形， ∴∠B0E=60°，∠A0E=120. ② .OAOE. .∠OAE=∠OEA=30 :DC∥AE,24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 要点提示 1.如果圆的半径是r,某个点到国心的距离是d,那么：(1)支在外白d>r.(2)支在通上曰d=r.(3)点在面南曰 K<r. 2.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个国叫做三角形的外接衡.外接圆的圆心是三角 形三条边的垂真平今有的受点，叫做这个三角形的外心」 O1因基础 △ABC外接圆的圆心的坐标为 6.如右图，∠BAC的平分线交 知识点1点和圆的位置关系 △ABC的外接圆于点D, 1.若⊙O的直径为15cm,点O与点P的距离 ∠ABC的平分线交AD于 为8cm,则点P的位置 点E A.在⊙O外 B.在⊙O上 (1)求证：DE=DB C.在⊙O内 D.不能确定 (2)若∠BAC=90°，BD=4,求△ABC外接 2.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为 圆的半径 d.若点P在圆内，则d的取值范围为( A.d<5 B.d=5 C.d>5 D.0≤d<5 3.若⊙O的半径是5，圆心的坐标是(0,0)，点 P的坐标是（一4,3），则点P与⊙O的位置 关系是点P (填“在圆上” “在圆外”或“在圆内”)。 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10, BC=8,CD⊥AB于点D,O为AB的中点 (1)以点C为圆心，6为半径作圆，则点A在 ⊙C ,点B在⊙C (均填“内”“外”或“上”) (2)当⊙C的半径为 时，点O在 知识点3反证法 ⊙C上. 7.要运用反证法证明“若a>b>0,则√a> √石”，首先应该假设 A.a<B B.a=√b C.a<b D.√a≤b 第4题园 第5题图 8.用反证法证明时，假设结论“点在圆内”不成 知识点2三角形的外接圆 立，那么点与圆的位置关系只能是() 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的 A.点在圆外 B.点在圆上 三个顶点都在正方形网格的格点上，则 C点在圆心上 D.点在圆上或圆外 数学九年级RJ板 易错点忽视三角形的外心与三角形的 位置关系，出现漏解 9.若点O是等腰三角形ABC的外心，且 ∠BOC=60°，底边BC=2,则△ABC的 第13题国 第14题田 面积为 14.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB 号 是⊙O的直径，P是⊙O上的动点.若∠P A.2+3 =60°，⊙O的半径是6，则点P到AC距离 C.2+√3或2-√3 D.4+23或2-√3 的最大值是 O2提能力 。。。 O3拓思维 10.如图，在△ABC中，∠ACB= 15.如右图，在四边形ABCD 90°，AB=5,BC=4.以点A为 中，AD=BC,∠B= 圆心，r为半径作圆.当点C在 ∠D,AD不平行于BC, ⊙A内且点B在⊙A外时，r 第10题图 连接AC.过点C作CE∥ 的值可能是 AD交△ABC的外接圆⊙O于点E,连接 A.2 B.3 C.4 D.5 AE,CO.求证： 11.一张直径为10cm的半圆形卡纸，过直径 (1)四边形AECD为平行四边形. 的两端点剪掉一个三角形.以下四种裁剪 (2)CO平分∠BCE. 图中，数据（单位：cm)长度不合理的是 ( B 12.如图，⊙O是△ABC的外接 圆，弦BD交AC于点E,连 接CD,且AE=DE,BC CE,则∠ACB的度数为 ( 第12题围 A.60 B.55 C.70 D.45 13.如图，点A,B,C,D均在直线1上，点P在 直线外，则经过其中任意三个点，最多可 画出圆的个数为 () A.3 B.4 C.5 D.6 上册第二十四量 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 要点提示 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线1的距离为d,那么：(1)直线1和⊙O相文台d<r.(2)直线1和⊙O相切曰d =r.(3)直线1和⊙0相离台d> O1固基础 0 知识点1直线和圆的位置关系的判定 1.跨语文学科如图，小明在旅 途中看到了王维诗中描述的 第3题周 第5题图 “大漠孤烟直，长河落日圆” 4.已知⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距 的景象.图中太阳可看作圆， 第1题图 离为d,r,d是方程x2一4x十m=0的两根， 地平线可看作一条直线，则它们的位置关系 当直线L与⊙O相切时，m的值为 为 ( A.相离 B.相切 5.如图，⊙O的半径OC=5cm,直线l⊥OC, C.相交 D.无法确定 垂足为H,且交⊙O于A,B两点.若AB= 2.(教材变式)如右图，在Rt△ABC 8cm,则当直线l沿OC所在的直线向下平 中，∠C=90°，AB=4cm,BC 移 cm时与⊙O相切. 2cm.判断以点C为圆心，下列r为 6.如图，已知∠B=30°，O是边 半径的⊙C与直线AB的位置关系. BC上一点，且OB=8.以点O B 0 C (1)r=1.5cm:(2)r=√3cm:(3)r=2cm. 为圆心，r为半径作圆 第6题因 (1)当r的取值范围为 时， ⊙O与射线AB没有公共点. (2)当r的取值范围为 时， ⊙O与射线AB有两个公共点. (3)当r的取值范围为 时， ⊙O与射线AB有且只有一个公共点. ◆易错点忽视圆心到直线的距离必须是 圆心到直线的垂线段的长而导 致出错 知识点2直线和圆的位置关系的性质 7.已知⊙O的半径为2，直线1上有一点P 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC 满足OP=2,则直线1与⊙O的位置关系 =6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的 是 圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交 数学九年级RJ板 02提能力 (2)请判断⊙M与直线x=7的位置关系， 并说明理由。 8.设⊙O的半径为2，圆心O到直线L的距离 OP=m,且m使得关于x的方程2x2 2√2x十m一1=0有实数根，则直线1与⊙0 的位置关系为 () A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定 9.两个同心圆的半径分别为3,5，直线1与大 ⊙O交于点A,B.若AB=6,则直线1与小 ⊙O的位置关系是 …03拓思维 A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 14.如右图，在Rt△ABC中， 10.已知⊙0的半径为7，直线1与⊙0相交， ∠C=90°，∠B=60°，BC 点O到直线1的距离为4，则⊙O上到直线 =4,AO=x,点O在AB 1的距离为3的点的个数为 上（不与点A,B重合），且⊙O的半径为1. 11.如图，在平面直角坐标 分别求出当AC与⊙O相离、相切和相交时 系中，⊙P的圆心P的 x的取值范围. 坐标为(-3,0)，半径 为2.将⊙P沿x轴正 某11题图 方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距 离为 12.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3.以点B为圆 心，r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共 点，则r的取值范围为 13.如右图，在平面直角坐 y↑ 标系中，点M在第一象 限内，MN⊥x轴于点 N,MN=1,⊙M与x轴 交于A(2,0),B(6,0)两点. (1)求⊙M的半径. 上册第二十四量 65 第2课时切线的判定和性质 要点提示 1切线的判定定理：经过半径的外越并且喜重于这条半径的直线是围的切焦， 2,切线的性质：(1)切线和国只有一个公共点，(2)圆心到切线的距离等于国的半径.(3)国的切线蠢重于健切点的 建楂.(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点（找切，点用）.(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心（找圆 心用) O1固基础 点A,连接OD.若∠AOD=80°，则∠C的度 数为 () 知识点①切线的判定 A.30° B.40° C.45 D.50 1.如图，AB是⊙O的弦，BC是过点B的直 线，∠AOB=130°.当∠ABC的度数为 时，BC是⊙O的切线， 2 第4题图 第5题图 5.(2024福建)如图，已知点A,B在⊙O上， ∠AOB=72°，直线MN与⊙O相切，切点为 第1题图 第2题围 C,且C为AB的中点，则∠ACM的度数为 2.如图，点A,B,D在⊙O上，∠A=29°，OD () 的延长线与直线BC相交于点C,且∠C= A.18° B.30° C.36° D.72 32°，则直线BC与⊙O的位置关系是 6.如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦， BC与⊙O相切于点B,连接OB.若∠ABC 3.如下图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，F =65°，则∠BOD的大小为 是AE上一点，AF=BE,AE,BF交于点C, D为BF延长线上一点，且∠CAD= ∠CDA.求证：AD是⊙O的切线， 第6题因 第7题因 7.如图，AB,AC是⊙O的弦，过点A的切线交 CB的延长线于点D.若∠BAD=35°，则∠C 的度数为 ◆易错点无法正确作出辅助线致错 8.如图，AB是半圆O的直径， 点C在半圆上（不与点A,B 重合)，DE⊥AB于点D,DE 交BC于点F,连接CE.下列 第8题困 知识点2切线的性质 条件能判定CE是切线的是 4.(2024山西)如图，已知△ABC,以AB的长 A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF 为直径的⊙O交BC于点D,与AC相切于 C.∠ECF=∠EFCD.∠ECF=60 数学九年级RJ板 之02提能力 (2)求证：AF与⊙O相切. 9.(教材变式)直角三角板ABC与一个量角器 按如图所示的方式放置，量角器的中心点为 O,直角顶点C在零刻度线所在直线OM 上，三角板ABC与量角器只有一个公共点 N.若点N处的读数为42°，则∠BCM的度 数为 ( A.42 B.44° C.46 D.48 ……O3拓思维 13.如下图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的 第9题固 第10题图 直径，BC=BD,DE⊥AC于点E,ED的延 10.如图，在△ABC中，∠B=30°，⊙A与边 长线交BF于点F,交AB于点G,∠BOD BC相切于点D,与AC,AB分别交于点E, =2∠F,连接BD. G,F是GFE上一点.若∠CDE=18°，则 (1)求证：BF是⊙O的切线 ∠F的度数是 ( (2)判断△DGB的形状，并说明理由. A.50°B.48° C.45 D.36 (3)当BD=2时，求FG的长. 11.如图①所示的是中国古代马车的侧面示意 图.如图②，车轮为⊙O,过圆心O的车架AC 一端点C着地时，交⊙O于点B,此时车轮 ⊙O与地面相切于点D,连接AD,BD.若∠C =20°，则∠BDC的度数为 周① 图② 第11题图 12.（2024广西节选)如下图，已知⊙O是 △ABC的外接圆，AB=AC,D,E分别是 BC,AC的中点，连接DE并延长至点F,使 DE=EF,连接AF. (1)求证：四边形ABDF是平行四边形. D 上册第二十四量 第3课时切线长定理及三角形的内切圆 要点提示 1切线长的定义及定理：(I)切线长的定义：经过图外一点的国的切线上，这点和切点之间线校的长，叫做这点 到图的加线我。(2)切线长定理：从固外一点可以引图的两条切线，它们的切镜装相多，这一点和国心的连线平 分西桑切孩的头角 2.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的叫做三角形的而初雷，内初图的图心是三角形三条角平分线的交 点，叫微三角形的南心 O1因基础 (2)CD的长. 知识点①切线长定理 1.如图，AB,AC,BD是⊙O的切线，切点分别 是P,C,D.若AB=10,AC=6,则BD的长 是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 第1题图 第2题图 2.将直尺、含60°角的三角尺和光盘按如图所 知识点2三角形的内切圆 示的方式摆放，A为三角尺60°角的顶点.若 5.(教材变式)如图，点O是△ABC的内切圆 AB=3,则光盘的直径是 ( ) 的圆心.若∠A=80°，则∠BOC的度数为 A.3 B.33 C.6 D.63 ( 3.(教材变式)如图，直线AB, A.130°B.120 C.100° D.90 BC,CD分别与⊙O相切于点 E,F,G,且AB∥CD.若OB= 6cm,OC=8cm,则BE+CG 第3题周 的长等于 cm. 第5题图 第6题图 4.如右图，∠B=90°，O是AB上一 6.如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，分 点，以点O为圆心，OB的长为半 别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF上 径的圆与AC相切于点D,与AB 一点，则∠EPF的度数是 () 相交于点E,且AE=2cm,AD=4cm.求： A.65°B.60° C.58 D.50 (1)⊙0的半径. 7.如图，点P是△ABC的内 心，连接PA,PB,PC, △PAB,△PBC,△PAC的 面积分别是S1,S2,S,则 第7题图 S S2十S(填“>”“<”或“=”). 数学九年级R板 02提能力 之O3拓思维… 8.如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC, 11.(2024自贡)在Rt△ABC中，∠C=90°， AB,AC于点D,E,F.若△ABC的周长为 ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D, 24cm,BC=10cm,则AE的长为( E.F. A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm (1)图①中三组相等的线段分别是CE= CF.AF= .BD= 若AC=3,BC=4,则⊙O的半径长为 D 第8题图 9题图 (2)如图②，延长AC到点M,使AM=AB, 9.如图所示的是周长为15cm的三角形纸片 过点M作MN⊥AB于点N,求证：MN是 ABC,小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O,他 ⊙O的切线。 先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角 形纸片BDE.若AC=4cm,则三角形纸片 BDE的周长为 cm. 0 0 10.停车楔（如图①）是一种固定汽车轮胎的装 置，小明据此抽象出如图②所示的图形.停 车楔△ABC为直角三角形，边AC与轮胎 ⊙O相切于点D,轮胎⊙O与地面相切于 点E,连接OD,OE,∠ABC=30 (1)求∠DOE的度数. (2)若CE=20cm,求轮胎的直径， 图① 图② 上册第二十四