22.3 实际问题与二次函数-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

22.3实际问题与二次函数 第1课时几何图形面积问题 要点提示 L求因形的最女面积时，通常可以用含有自变量无的代数式来表示图形而积根据园形面积构造关于x的二次 函数，再利用二次函敏的性质求出二次函数的最值，从而解决几何图形面积的最值间题，解题过程中要注意自 变量的取值范面。 2.解决有关二次函数的实际问题求最值的基本方法是把关于最值的实际问题转化为二次函数的问题，然后按 二次函数求最值的方法求解其一般步聚如下：(1)理解题意：(2)分析问题中的变量与常量以及它们之间的关 系：(3)用二次函数表示出变量之间的关系；(4)骑定最大值或最小值：(5)检验解的正确性. O1固基础】念 知识点2利用二次函数求动点图形面积的 最值 知识点1利用二次函数求几何图形面积的 4.如图，在Rt△ABC中，∠C= 最大值 90°，∠B=30°，AB=12cm,P 1.(教材变式)已知一个直角三角形两直角边 是AB边上的一个动点（不 长之和为20cm,则这个直角三角形的最大 与端点A,B重合)，过点P 第4题围 面积为 分别作PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F. A.25 cm2 B.50 cm2 当PB cm时，四边形PECF的面 C.100cm2 D.125 cm2 积最大，最大面积为 cm2. 2.(教材变式)如图，四边形ABCD 5.如下图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10 的两条对角线互相垂直，AC十 BD=16,则四边形ABCD面积 cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以 的最大值是 ( 第2题圈 1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB A.16 B.32 C.36 D.64 向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到 点B停止，同时点P也停止)，在运动过程 3.已知菱形的两条对角线长度之和恰好为 中，求△PCQ面积的最大值. 60cm,面积S(单位：cm2)随其中一条对角 线的长度x(单位：cm)的变化而变化. (1)请直接写出S关于x的解析式. (2)当x的值是多少时，菱形的面积S最大？ 最大面积是多少？ 数学九年级RJ板 02提能力 …。 O3拓思维 6.(2024自贡)九(1)班劳动实 8.如下图，某校劳动实践基地用总长为80m 践基地内有一块面积足够大 的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田， 的平整空地.地上两段围墙 D 墙长为42m.橱栏在安装过程中不重叠，无 AB⊥CD于点O(如图)，其中 第6题图 损耗.设矩形试验田与墙垂直的一边长为x AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE (单位：m),与墙平行的一边长为y(单位： 6.6 m,OE=1.4 m.OB=6 m,OC=5 m,OD= m),面积为S(单位：m2) 3m.班长买来了16m可切断的围栏，准备利 (1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析 用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该 式（不要求写x的取值范围）， 菜地最大面积是 m2. (2)矩形试验田的面积S能达到750m2吗？ 7.工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中 如果能，求x的值；如果不能，请说明理由， 裁出一块矩形铁皮制作工件，如下图所示 (3)当x的值是多少时，矩形试验田的面积 经测量，AB∥DE,AB与DE之间的距离为 S最大？最大面积是多少？ 2m,AB=3m,AF=BC=1m,∠A=∠B= -42m 墙 90°，∠C=∠F=135°，MH,HG,GN是工匠 试鞍国 师傅画出的裁剪线.当MH的长度为多少 时，矩形铁皮MNGH的面积最大？最大面 积是多少？ H 上册第二十二章 第2课时最大利润问题 要点提示 公式：1)商品制简=高品售价一商品进价，(2)商品利0率一商品利测×100%.(3)商品售价=商品进价X1 商品进价 十利润率).(4)打新问题：打n折后的售价=原价×品 O1固基础之 段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮 产品的最大利润为多少元？ 知识点1直接根据函数解析式求最大利润 问题 1.某商品的利润y(单位：元)与售价x(单位： 元/件)之间的函数解析式是y=一x2十8.x 十9(1≤x≤3)，则最大利润为 A.16元B.21元C.24元D.25元 2.已知某商品每月的销售利润y(单位：元)与 该商品的销售单价x(单位：元)之间满足函 数解析式y=一20x2十1400x-20000,则每 月的销售利润最大为 元 6.(2024一2025赣州寻乌月考)某个体商户购 3.已知某快餐店卖出盒饭的数量x(单位：盒) 进一批进价是50元/个的电子产品，根据市 与所获利润y(单位：元)满足函数解析式y 场调研发现，当售价是80元/个时，每周可 =一x2+1200x-357600,则当卖出盒饭的 卖出160个，若销售单价每降低2元，则每 数量为 时，获得的利润最大，最 周销售量相应增加20个，设销售单价降低x 大利润为 元 元，每周销售量为y个。 知识点2先列解析式再求最大利润 (1)请求出销售量y个与降价x元之间的函 4.某商场购进一批进价为20元/件的日用商 数关系式 品，如果销售单价为30元，那么半个月内可 (2)设商户每周获得的利润为W元，当销售 售出400件.根据销售经验发现，提高销售 单价降低多少元时，每周销售利润最大？最 单价会导致销售量的减少，即销售单价每提 大利润是多少元？ 高1元，销售量相应藏少20件.当销售单价 为 元时，才能在半个月内获得最 大利润，最大利润是 元 5.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成 本为8元，在销售过程/个 2 中，每天的销售量y(单 10 位：个)与销售价格x (单位：元/个)的关系 1020成元/个)】 如右图所示.当10≤x≤20时，其图象是线 数学九年级RJ板 02提能力 之O3拓思维… 7.某商人将单价为8元的商品按每件10元出售， 9.(2024新疆)某公司销售一批产品，经市场调研 每天可销售100件.已知这种商品每提高2元， 发现，当销售量在0.4t至3.5t之间时，销售额 其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最 为（单位：万元）与销售量x(单位：t)的函数解析 多，该商人应将销售单价（为偶数）提高 式为出=5x;成本边（单位：万元）与销售量x 元 的函数图象是如下图所示的抛物线的一部分， 8.(2024滨州)春节期间，某影院每天运营成本为 其中（分，）是其顶点。 2000元，该影院每天售出的电影票数量y(单 位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函 (1)请求出成本y2关于销售量x的函数解 数关系(30≤x≤80，且x是整数)，部分数据如 析式。 下表所示： (2)当成本最低时，产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最 电影票售价x/(元/张) 0 50 大利润是多少？（注：利润=销售额一成本） 售出电影票数量y/张 164 124 为历元◆ (1)请求出y与x之间的函数关系式 0 (2)设该影院每天的利润（利润=票房收入一运 营成本)为（单位：元），求w与x之间的函数 (2,4 关系式。 (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天的 3 利润最大？最大利润是多少？ 上册第二十二章 第3课时建立适当坐标系解决实际问题 要点提示 步骤：(1)根据题意，建立通当的坐标集，(2)把已知条件转化为点的坐标.(3)合理设出函数的解析式.(4)利用精定桑 熱求出函数的解析式，（⑤）报据求得的解析式选一步分析、判断，并进行有关的计算。 O1固基础 。。。 5.应用意识一次足球训练中，小明从球门正 前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈 知识点1拱桥及其他实物型抛物线问题 抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球 1.如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是 达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高 16m,跨度是40m,则在线段AB上离中心M OB为2.44m,现以O为原点建立如下图所 处5m的地方，桥的高度是 示的平面直角坐标系， A.15m B.14m (1)求抛物线的函数解析式，并通过计算判 C.13m D.12m 斯球能否射进球门（忽略其他因素） YA (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形 状、最大高度均保持不变，则当时小明应该 带球向正后方移动多少米射门，才能让足球 经过点O正上方2.25m处？ 第1题国 第2题固 2.廊桥是我国古老的文化遗产.如图所示的是 y/m 某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的 函数解析式为y一一+10.为保护廊桥的 安全，在该抛物线上距水面AB高为8m的点 E,F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水 平距离EF= m. 知识点2运动中的抛物线问题 3.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10m/s,经过t(单位：s)时球距离地面的高 度h(单位：m)适用公式h=10t-5r,那么球 弹起后又回到地面所花的时间t是() A.5s B.10s C.1s D.2s 4.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心 位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管， 如果要使喷出的抛物线形水柱在与池中心 的水平距离为1m处达到最高，高度为3m, 水柱落地处离池中心的水平距离也为3m, 那么水管的设计高度应为 数学九年级RJ板 02提能力 6.(2024甘肃)图①为一汽车停车棚，其棚顶的 横截面可以看作是抛物线的一部分，图②是棚 顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车榻支柱 AO的水平距离x(单位：m)近似满足二次函数 关系y=-0.02x2十0.3x+1.6的图象，点B(6, 03拓思维◆ 2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车橱下 8.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏，某同学借此情境 避雨，货车截面看作长CD=4m,高DE 编制了一道数学题，请解答这道题， 1.8m的矩形，则货车 完全停到车桐 如下图，在平面直角坐标系中，一个单位长 内（填“能”或“不能”）， 度代表1m.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包抛 2 出，其运动路线为抛物线C:y=a(x一3)2+ 2的一部分，淇淇恰在点B(0,c)处接住，然 D 图① 图② 后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C:y 第6题困 7.(2024江西)如下图，一小球从斜坡O点以 -一日+gx计c+1的一廊分。 一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次 (1)写出C的最高点坐标，并求a,c的值。 函数y=ax2十bx(a<0)的图象表示，斜坡 (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到 可以用一次函数y=子2的图象表示，小球 点A水平距离不超过1m的范围内可以接 到沙包，求符合条件的n的整数值. 飞行的水平距离x(单位：m)与小球飞行的 ym 3 C 高度y(单位：m)的变化规律如下表： B 0 1 2 4 6 0 0 6 15 8 2 2 (1)①m= ②小球的落点是A,求点A的坐标 (2)小球飞行的高度y与飞行的时间t(单 位：s)满足关系y=一5t2+u. ①小球飞行的最大高度为 m; ②求的值， 小球斜城 m 上册第二十二章.Soar=PE:(zm+im+5)x6- -3(m-2)1十27 :-3<0, 当m=2时，S么sr有最大值，此时点P的坐标为(2， -12). 12解：1)：二次函数的图象的对称轴为直线x=一 六一名=一解得6=1 ,二次函数的图象经过点A(一2,5) .(一2)十1X(-2)十c=5,∴.c■3， .二次函数的解析式为y=x2十x十3. (2)由题意可知，点B(1,7)平移后的对应点的坐标为(1一 m,9).,该点也在二次函数y=x2十x十3的图象上， .(1-m)十1-m)十3=9， 解得m1=4,=一1.”m>0, .m的值为4. @y-2++-(+》+ 六当x一言时y取最小值，最小值为兴 ⑩当n≤一是时，y随x的增大而减小， ,当x■一2时，y取最大值，最大值为5： 当x■时，y取最小值，最小值为n2十十3. “最大值与最小值的差为号 六5-(n2+n+3)=9 解得一一子 ②当-言<≤1时，y的最小值为号最大值为5， 最大值与最小值的差为5一是-是，符台题意 ③当>1时，y的最小值为号，最大值为心十十3， ÷最大值与最小值的差为产+n+3-卫=9 44 解得西=1，=一2（不符台题意，舍去）. 综上所述，的取值范围为一是<<1 22.2二次函数与一元二次方程 1.A 1 2.解：1)m>-1 (2),二次函数的图象与x轴的一个交点为1,0)，，x2十x 一m=0的一个根为1,12十1-m=0,m=2,一元二次 方程为x2十x一2=0，解得1=1，x=一2，，一元二次方程 x广十x一m=0的解为x1=1,x=一2. 3.D4.15.A6.-3<x<17.C8.D 9.(1)z1=-1,x:=3(2)-1<x<410.①②④ 11.解：(1)证明：，△=(2k一1D2十8k=4k2一4k十1十8k=4k2+ 4+1=(2k+1)2≥0，∴.二次函数y=x2+(2表-1)x-2 的图象与x轴有公共点 (2)k=1. 12.解：(1)由题意可知，△=[一(2一3)]3一4(2十1)>0，即一 12k+5>0,ki2 .5 2证明：由1知，长是十=2语-3<0，西看-对 十1>0，.x1<0,x2<0. (3)依题意，得A(x,0),B(,0》, .OA+OB=|x1+|x21=(x1+x:)■-2k+3, 174 数学九年级BJ版 0A·OB=x11川x|=x2=十1 OA+OB=2OA·OB-3, .一2k十3=2(2十1)一3，解得k1=1,1=一2. <最=-2 22.3实际问题与二次函数 第1课时几何图形面积问题 1.B2.B 3.解：(1)5■- 22+30 （2):s=-72+30x=-7-301+450,且-合<0， ,当x=30时，S有最大值，最大值是450. 故当x=30时，菱形的面积S最大，最大面积是450cm2, 4.69/3 5.解：，∠C=90°，AB=10cm,BC=8cm,.AC=6cm.设运动时 间为s,则PC=(6-)em,CQ=2红em,Sam=2CQ·PC =壹×26-0=-t+6=--3+s0<<. :一1<0，当t=3时，S△a有最大值，最大值为9cm 6.46.4 7.解：如图，连接CF,交AM阳于点Q,交NG于点P, ,'∠A=∠B=90°，.AF∥BC ,AF■BC,.四边形ABCF是矩形，. AB∥FC. F 四边形MNGH是矩形 .,∠HMN=∠MNG=90°，MH=NG. ∴∠HQF=∠GPC=90',MQ=AF=NP=BC=1m 设MH=x. ,∠BCG=∠AFH=135, .∠HFQ=∠GCP=45, ..FQ=HQ.CP=GP, :.FQ=HQ=MH-MQ=x-1. 同理，得CP=x一1，AM=NB=x一1， .MN=AB-AM-NB=3-(x-1)-(x-1)=5-2x, ·.SeBANGH=MN·MH=(5-2x)·x=5x-2x2=-2{x :AB与DE之间的距离为2m,∴0<x<2. ”一2<0，“当x=号时，S0m有最大值，最大值为罗， 即当MH的长度为：口时，铁皮MNGH的面积最大，最大 面积为管心 8.解：(1)y=80-2x,S=-2x2十80x (2)矩形试验田的面积S能达到750m2 当S=750时，-2x2+80x=750, 解得1=25，x:=15 当x=25时，y=80一2x=30<42,符合题意： 当x=15时，y=80-2x=50>42,不符台题意，舍去， x=25. (3)由题意，得80-2x>0, (80-2x≤42， 解得19≤x<40, 由(1)，得S=-2x2+80x=-2(x-20)2十800. -2<0, .当x-20时，S有最大值，最大值为800，且80-2×20=40 <42, 当x=20时，矩形试验田的面积S最大，最大面积是 800m3. 第2课时最大利润问题 1.C2.45003.60024004.354500 5.解：当10≤x≤20时，设y=kx十6把(10,20)，(20,10)代入， 得十女仁8：标号伦0 .y与x的函数解析式为y=一x十30.设该食品零售店每天 销售这款冷饮产品的利润为0元，测D=(x一8)y=(x 8)(-x十30)=-x2+38x-240=-(x-19)2十121.-1 <0,∴.当x=19时，w有最大值，最大值为121.故该食品零 售店每天销售这款冷伏产品的最大利润为121元。 6.解：(1)：由题意，得y=160+2×20=10x+160, ∴，销售量y个与得价x元之间的函数关系式为y=10x +160. (2)由题意，得W=(80一50-x)(160+10x)=-10x2+ 140x十4800=-10(x-7)2+5290. -10<0, .当x=7时，利海W有最大值，最大值为5290元 故当销售单价降低？元时，每周销售利阀最大，最大利润是 5290元. 7.8或10 8.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=表x十b 则有十年得信2： y与x之间的函数关系式为y=一4x十324(30≤x≤80，且 x是整数). (2)由题意，得w=xy一2000=x(一4x十324)一2000= -4x2十324x-2000, 即w与x之间的函数关系式为和=一4x2十324x一2000(30 ≤x≤80，且x是整数)， 《8由2)可知，w=-42+324x-200=-4(x-婴）”+ 4561(30≤x≤80，且x是整数). :-4<0,当x=时，m有录大值。 又”x是整数，且30≤x≤80， .当x=40或41元时，w取最大值，最大值为4560. 故该影院将电影票售价x定为40元或4】元时，每天的利润 最大，最大利润是4560元. 9解：1：（合，）是抢物线的题点， 六设成本为美于铅售量x的函数解析式为=（一》川 + 把2，)代入，得号a+子=4，解得a=1, 六成本为美于铅售量工的函数解析武为%一(x一是月 + 《②)由题意，得当x=号时，为有最小值，最小值为子 0,4空<85，当x=时m=5x=5×空-营， 有搁为为-为--子-是-0,5（万元 故当成本最低时，产品所获利润是0.T5万元. (3)设销售利润为W万元， 则w=-%=5x-[(-）+]=-+x-2 -(x-31+7 -1<0,且0.4≤x≤3.5， .当x=3时，W有最大值，最大值为7. 故当销售量是3t时，可获得最大利润，最大利润是7万元. 第3课时建立适当坐标系解决实际问题 1A2353.D4号m 5.解：(1)由题意知，抛物线的顶点坐标为(2,3). 设抛物线的函牧解析式为y=a(x一2)2十3. 把A8,0代人，得36a十3=0，条得a=一立 心抛物线的函数解析式为y一立工一2》+3， 当=0时，y=一高×0-2+3267>2.4 .球不能对进球门 (2)设小明带球向正后方移动m,则移动后抛物线的解析 式为y=-b红-2-m+8 把0,2.25)代人，得225=一立(-2-m0+3 解得m1=一5（舍去），m=1. 故当时小明应该带球向正后方移动1口射门，才能让足球经 过点O正上方2.25m处 6.能 7.解：(1)①36 ②将(2,6)，(4,8)代入y=ar2+z, 每都用宁 b=4, “二次函数的解析式为y=一十红 令一号2十红-冬，解得为-0（不合圆意，舍去），西 A(停，》 (2)①8 ②由(2)①可知，飞行的最大高度为8m, 根据腹点坐标公式，得》=8， 解得=4V√10（负值已舍去）， 8.解：(1)C的最高点坐标为(3,2). 将A(6,1)代人抛物线y=a(x一3)2+2中， 得1=a(6-3)2+2,解得a=-。, :抛物线C:y=一号红一3+2 将B0,6代人抛物线y-一号（一3+2中， 得c=-号×0-3》+名1. 2将-1代入抛物线y-音+骨x+c+1中， 得y=-号x+分x+2 根据题意，得嘉嘉好在(5,1)和(7,1)两个点之间能接到 沙包 将6,1)代入箱物线y=一言女十骨x十2中， 得1=一音×3+号×5+2，部得=号 将（，1)代人驰物线y一一言女+骨x十2中， 175 上册参考答案 得1=一号×7十骨X7+2,解得=号 ≤<号， .符合条件的的整数值为4和5。 本章小结 1.B2.A3.A4.D5.C6.B 7.y=一x2-3(答案不唯一)8.>9.10 10.解：(1)，抛物线y=x2一x十c与x抽交于点A(一1,0)， ,1+1十c=0,解得c=一2， .抛物线的解析式为y=x2一x一2， (2):地物线y=x一工一2的对称轴为直线x■一2× -1 z,且0<x≤2,1>0， “当x=名时，函数有最小值，最小值为一号 当x=0时，y=一2： 当x=2时，y=4一2-2=0， .当0<x≤2时，y■x一x十c的函数值的取值范围为 、9 ≤y≤0. 1.D12.-y=-2+2-3 13.B14.D15.D16.②③④17.1m 18.解：(1)由题意，得(10,8)，(20,8)是关于对称轴对称的点， .对称轴是直线x=15,.顶点坐标是15,9). 设抛物线的解析式为y=a(x一15)产十9. :抛物线过点(0,0)，∴.0=225a十9，解得a=一亦 指物线的解折式为y=一女一15)户十8 1 2)由题意，得将x=5代人y=一云红一15》十9，得y 六6-152+9=5. 故当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火 箭距离地面OA的竖直高度为5m. 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转及其特征 1.D2.B3.B4.D5.A6.(-4,8) 7.解：△ABC为等边三角形， ,∠BAC=80,AB=AC :将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置， ,,AD=AE,CE=BD=14,∠DAE=∠BAC=60°， △ADE为等边三角形，，DE=AD=10, ,.△DEC的周长=DE+DC+CE=10+15+14=39. 8.(2,10)9.A10.211.23 12.解：(1)证明：，将线段CD绕点C须时针旋转90至CE, ∴.CD=CE,∠DCE=90° ∠ACB=90", ',∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD, 即∠ACD=,∠BCE (AC-BC. 在△ACD与△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, ∴，△ACD2△BCE(SAS). (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3/2, ∠ABC=∠A=45,AB=6. 由I)可知，△ACDa△BCE,且0=3， ∠A=∠CBE=45,AD-BE=2, 176 数学九年级RJ版 ,∠DBE=∠ABC十∠CBE=90”,BD=AB-AD=4. 在Rt△BDE中，∠DBE=90°， .DE=BE十BD,∴.DE=√2+4=2W5 13.解：(1)BE=DC 理由：，'△ABD和△AEC都是等腰直角三角形，∠BAD ∠CAE=90°， ,AB=AD,AE=AC,∠BAD+∠BAC=∠CAE十 ∠BAC,即，∠DAC=∠BAE, ,将△ADC绕点A逆时针旋转90”，能与△ABE完全重 合，.BE=DC (2)∠AOD=∠AOE 理由：如图，过点A分别作AM⊥DC于点 M,AN⊥BE于点N 由(1)，得△ADC2△ABE S△c-S△A8E 2DC·AM=2BE·AN 又，DC=BE,.AM=AN. ,AM⊥DC,AN⊥BE,.∠AOD=∠AOE. 第2课时旋转作图 1.C2.B 3.解：(1)如图①，线段BE即为所求， (2)如图②，点P即为所求. 恩① 4.C5.A6.(-3,1D 7.解：点B的坐标为（一2,3）或(2，一3) 23.2中心对称 23.2.1中心对称 1.C2.03.C4.2135.(3,-1)6.D7.4.5 8.①关于点A成中心对称②号 23.2.2中心对称图形 1.C2.D3.A 4.解：(1)中心对称 (2)(答案不唯一)如图①、图②所示 图① 图② 5.B6.(0,1)7.10 23.2.3关于原点对称的点的坐标 1.B2.D3.A4.55.D6.(-1,2),(-3,-2)7.10 8.2 9.解：()如图所示，△ABC即为所求，A(一1，一1)，B1(-4, -2),C(-3,-4). (2)如图所示，△PAB即为所求，P(2,0),