22.2 二次函数与一元二次方程-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

.Soar=PE:(zm+im+5)x6- -3(m-2)1十27 :-3<0, 当m=2时，S么sr有最大值，此时点P的坐标为(2， -12). 12解：1)：二次函数的图象的对称轴为直线x=一 六一名=一解得6=1 ,二次函数的图象经过点A(一2,5) .(一2)十1X(-2)十c=5,∴.c■3， .二次函数的解析式为y=x2十x十3. (2)由题意可知，点B(1,7)平移后的对应点的坐标为(1一 m,9).,该点也在二次函数y=x2十x十3的图象上， .(1-m)十1-m)十3=9， 解得m1=4,=一1.”m>0, .m的值为4. @y-2++-(+》+ 六当x一言时y取最小值，最小值为兴 ⑩当n≤一是时，y随x的增大而减小， ,当x■一2时，y取最大值，最大值为5： 当x■时，y取最小值，最小值为n2十十3. “最大值与最小值的差为号 六5-(n2+n+3)=9 解得一一子 ②当-言<≤1时，y的最小值为号最大值为5， 最大值与最小值的差为5一是-是，符台题意 ③当>1时，y的最小值为号，最大值为心十十3， ÷最大值与最小值的差为产+n+3-卫=9 44 解得西=1，=一2（不符台题意，舍去）. 综上所述，的取值范围为一是<<1 22.2二次函数与一元二次方程 1.A 1 2.解：1)m>-1 (2),二次函数的图象与x轴的一个交点为1,0)，，x2十x 一m=0的一个根为1,12十1-m=0,m=2,一元二次 方程为x2十x一2=0，解得1=1，x=一2，，一元二次方程 x广十x一m=0的解为x1=1,x=一2. 3.D4.15.A6.-3<x<17.C8.D 9.(1)z1=-1,x:=3(2)-1<x<410.①②④ 11.解：(1)证明：，△=(2k一1D2十8k=4k2一4k十1十8k=4k2+ 4+1=(2k+1)2≥0，∴.二次函数y=x2+(2表-1)x-2 的图象与x轴有公共点 (2)k=1. 12.解：(1)由题意可知，△=[一(2一3)]3一4(2十1)>0，即一 12k+5>0,ki2 .5 2证明：由1知，长是十=2语-3<0，西看-对 十1>0，.x1<0,x2<0. (3)依题意，得A(x,0),B(,0》, .OA+OB=|x1+|x21=(x1+x:)■-2k+3, 174 数学九年级BJ版 0A·OB=x11川x|=x2=十1 OA+OB=2OA·OB-3, .一2k十3=2(2十1)一3，解得k1=1,1=一2. <最=-2 22.3实际问题与二次函数 第1课时几何图形面积问题 1.B2.B 3.解：(1)5■- 22+30 （2):s=-72+30x=-7-301+450,且-合<0， ,当x=30时，S有最大值，最大值是450. 故当x=30时，菱形的面积S最大，最大面积是450cm2, 4.69/3 5.解：，∠C=90°，AB=10cm,BC=8cm,.AC=6cm.设运动时 间为s,则PC=(6-)em,CQ=2红em,Sam=2CQ·PC =壹×26-0=-t+6=--3+s0<<. :一1<0，当t=3时，S△a有最大值，最大值为9cm 6.46.4 7.解：如图，连接CF,交AM阳于点Q,交NG于点P, ,'∠A=∠B=90°，.AF∥BC ,AF■BC,.四边形ABCF是矩形，. AB∥FC. F 四边形MNGH是矩形 .,∠HMN=∠MNG=90°，MH=NG. ∴∠HQF=∠GPC=90',MQ=AF=NP=BC=1m 设MH=x. ,∠BCG=∠AFH=135, .∠HFQ=∠GCP=45, ..FQ=HQ.CP=GP, :.FQ=HQ=MH-MQ=x-1. 同理，得CP=x一1，AM=NB=x一1， .MN=AB-AM-NB=3-(x-1)-(x-1)=5-2x, ·.SeBANGH=MN·MH=(5-2x)·x=5x-2x2=-2{x :AB与DE之间的距离为2m,∴0<x<2. ”一2<0，“当x=号时，S0m有最大值，最大值为罗， 即当MH的长度为：口时，铁皮MNGH的面积最大，最大 面积为管心 8.解：(1)y=80-2x,S=-2x2十80x (2)矩形试验田的面积S能达到750m2 当S=750时，-2x2+80x=750, 解得1=25，x:=15 当x=25时，y=80一2x=30<42,符合题意： 当x=15时，y=80-2x=50>42,不符台题意，舍去， x=25. (3)由题意，得80-2x>0, (80-2x≤42， 解得19≤x<40, 由(1)，得S=-2x2+80x=-2(x-20)2十800. -2<0, .当x-20时，S有最大值，最大值为800，且80-2×20=40 <42, 当x=20时，矩形试验田的面积S最大，最大面积是 800m3.22.2二次函数与一元二次方程 要点提示 1.如果抛物线y=ax十bx十e与x轴有名共点，公共点的横坐标为x,那么当x=。时，函数值是0，因此x 五就是一元二次方程a2十bx十c=0的一个根， 2.如下图，抛物线y=ax十b虹十与x轴的催置其集有三种：没有公共点，有一个公共点，有雨个公共点.这对 应希一元二次方程a十x十c=0的根的三种情况：无实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. a2+6x+=0有 a2+bx+c-0有 ax2+bx+-0无实数机 两个相等的宾数根 两个不相等的实数根 O1固基础】念 B(2.68,0.54),则方程ax2十bx十c=0的一 个解有可能是 知识点1二次函数与一元二次方程 A.2.18 B.2.68 1.二次函数y=ax2十bx的图象如 C.-0.51 D.2.45 图所示.若一元二次方程ax2十 bx十m=0有实数根，则m的最 大值为 第1题国 /B2.68,0.549 2- 342 A.3 B.-3 c A2.18.-0.510 202 第3题困 第5题国 2.已知关于x的一元二次方程x十x一m=0. 4.由下表可知，一元二次方程ax2十bx十c=0 (1)若方程有两个不相等的实数根，则m的 (a,b,c为常数，a≠0)的一个根的十分位上 取值范围为 的数字是 (2)二次函数y=十x一m的部分图象如下图 x 1.1 1.2 1.3 1.4 所示.求一元二次方程x2十x一m=0的解. ax+bx+c -0.59 0.84 2.29 3.76 知识点3用图象法求一元二次不等式的 解集 5.如图所示的是二次函数y=一x2十2x十4的 图象，则使y≥1成立的x的取值范围是 ( A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x>1 D.x≤-1或x>3 6.(2024一2025南昌期中)如图，抛 知识点2利用二次函数的图象求一元二次 物线y=ax2十k与直线y=mx 方程的近似根 十n交于A(-3,),B(1,q)两 3.如图所示的是二次函数y=ax2十bx十c的图 点，则不等式mx十n>ax2十k的 第6题 象，图象上有两点分别为A(2.18,-0.51), 解集为 数学九年级RJ板 易错点漏掉函数是一次函数的情况而 根；③当一4<x<1时，y的取值范围为0 出错 <y<5:④若点(m,y1),(一m一2，y2)均在 7.若函数y=(m-1Dx-6x+m的图象 二次函数的图象上，则h=y⑤满足ax 十(b十1)x十c<2的x的取值范围是x< 与x轴有且只有一个交点，则m的值为 2或x>3.其中正确的是 ( (填序号). A.-2或3 B.-2或-3 11.推理能力关于x的二次函数y=kx2+(2k C.1或-2或3 D.1或-2或-3 一1)x一2(k为常数). 02提能力 (1)求证：二次函数y=kx2+(2k-1)x-2 的图象与x轴有公共点. 8.已知二次函数y=ax2十bx十c 的图象如图所示，那么关于x (2)已知二次函数y=kx2十(2k-1)x-2 的图象与x轴的两个公共点的横坐标异 的方程ax2+bx十c+ 2 =0的 号，且距离等于3，请直接写出此时k的值 根的情况是 第8题固 A.无实数根 B.有两个相等实数根 C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根 9.二次函数y=ax2+bx十c(a,b,c为常数，且 03拓思维 4444 a≠0)中的自变量x与函数值y的部分对应 12.已知关于x的方程x2一(2k-3)x十k2+1 值如下表： =0有两个不相等的实数根x1,x2: 1 0 (1)求k的取值范围. -1 3 5 (2)求证：<0，x2<0. 根据上述信息回答问题： (3)若抛物线y=x2-(2k-3)x十2+1与 (1)一元二次方程ax2+(b-1)x十c=0的 x轴交于A,B两点，点A,B到原点的距离 根是 分别为OA,OB,且OA十OB=2OA·OB- (2)当ax2+bx十c>一1时，x的取值范围是 3,求k的值 10.(2024烟台)已知二次函数y= ax2十bx十c(a,b,c为常数，且a ≠0)中的自变量x与函数值y 的部分对应值如下表： -4 -3 5 0 5 5 -27 有下列结论：①abc>0;②关于x的一元二 次方程ax2十bx十c=9有两个相等的实数 上册第二十二声 33