22.1 二次函数的图象和性质-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 要点提示 1,一般地，形如y=ax2+bx十c(a,b,c是常数，a≠0)的西数，叫做二必盖熟，其中，x是自变量，a,b,c分别是函 数解析式的二使项熏数、一使项重数和常数项， 2.求具体问题中的二次函数解析式，一般采取以下步骤： (1)认真审题，弄清题意，确定具体问题中的已知量和未知量，并分析它们之间的关系：(2)列出二次函数解析 式；(3)根据题意确定自变量的取值范围。 O1固基础 (2)当h是常量时，V是r的 函数 知识点1二次函数的定义 6.(教材变式)某矩形的邻边长分别为2cm和 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是 3cm,假设每条边的长都增加xcm时，矩形 的面积增加ycm2. A.y=3x-1 B.y=ax2+bx十c (1)y与x之间的关系式为 C.y=22+1 D=+是 (2)当该矩形每条边的长都增加1cm, 2.当函数y=(a-1)x2+bx+c是二次函数 2cm,2cm时，矩形的面积各增加多少？ 时，a的取值为 () A.a=-1B.a=1C.a≠-1D.a≠1 知识点2二次函数的一般式及函数值 3.关于函数y=(500一10x)(40十x),下列说 法不正确的是 ( A.y是x的二次函数B.一次项是100 C.二次项系数是一10D.常数项是20000 4.已知y与x2成正比例关系，并且当x=一1 时，y=一号，则当=一3时，y的值为 1 ●易错点 忽视二次函数解析式中二次项 知识点3建立二次函数模型 系数不为零而出错 5.粉末床熔融工艺是目前金属增材制造领域 7.若函数y=(a+3)x+。+(a+2)x十3 发展最快的技术，现准各用该方式打印一圆 是关于x的二次函数，则a的值是 柱形工件，记工件的底面圆半径为rcm,高 为hcm,工件体积为Vcm. (变式题)如果函数y=(k一3)x+2十 (1)当r是常量时，V是h的 kx十1是关于x的二次函数，那么k的值 函数 是 数学九年级RJ版 02提能力© (墙的最大可用长度为10m)围成中间隔有 一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 8.设y=1一2为与x成正比，业与x2成正 为xm,面积为Sm2. 比，则y是关于x的 ( (1)写出S关于x的函数解析式及x的取 A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上均不正确 值范围： 9.(教材变式)最新报告显示，2023年全球金属 (2)若要围成面积为45m2的花围，则AB 增材制造市场的总收入达到了28.5亿美 的长为多少米？ 元.若2025年的市场规模为y亿美元，平均 每年的增长率为x,则y关于x的函数解析 式为 () A.y=(1+x)2 B.y=28.5x(1+x) C.y=28.5(1+x)2D.y=28.5+(1+x)2 10.已知关于x的二次函数y=(m十n)x2十 …O3拓思维 ”-(m一m)x的二次项系数与一次项系 15.模型观念某商场以每件30元的价格购进 2 一种商品，试销中发现这种商品每天的销 数的和为，差为2则常数项为 ( 售量m(单位：件)与每件的售价x(x≥30， 单位：元)之间满足一次函数关系m=162 A.日 B c D -3x 11.已知关于x的函数y=(m一m)x2十(m一1)x (1)求商场销售这种商品每天的利润y(单 +m+1. 位：元)与每件的售价x之间的函数关 (1)若这个函数是一次函数，则m的值为 系式 (2)商场每天销售这种商品的利润能否达 (2)若这个函数是二次函数，则m的取值范 到500元？如果能，求出此时的售价；如果 围是 不能，请说明理由。 12.已知矩形的周长为40m,矩形绕着它的一 条边所在直线旋转形成一个圆柱，设矩形 的另一条边长为xm,圆柱的侧面积为 ym2,则y与x之间的函数关系式是 13.如图，正方形EFGH的顶点均 在边长为2的正方形ABCD的 边上.若设AE=x,正方形EF GH的面积为y,则y与x的函 第13题图 数关系式为 14.(教材变式)如右图，用长 为24m的篱笆和一面墙 上册第二十二章 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 要点提示 1.二次函数y=ax(a≠0)的图象：二次函数y=ax的图象是抛物孩，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶，点是 原点.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小：当a<0时，抛物线的 开口向下，顶点是抛物线的最高点，口越大，抛物线的开口越大， 2.二次函数y=ax2(a≠0)的性质： 函数 图象 增减性 最值 y=ad 当x>0时，y随x的增大而增大：当x<0 当x=0时，y=0 (a>0) 0 时，y随x的增大而减小 y y=ax 当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0 (a<0) 时，y随x的增大而增大 当x=0时，y大程=0 念O1固基础念 上的是 A(1,-3) B.(-1,-√5) 知识点1二次函数y=ax2的图象 1.已知点（一2,2）在二次函数y=ax2的图象 C.(0,0) D.(-1,3) 上，则a的值是 6.对于二次函数y=ax2和y=bx2,其自变量 和函数值的两组对应值如下表所示： A.1 B.2 c号 D.- -1 m(m≠一1) 2.已知函数y=(a-1)x2是二次函数，且图 y=axi 象开口向上，则a的值是 ( ) y=bx" c+3 d A.-2 B.2 根据二次函数图象的相关性质可知，m= C.土2 D.0 ,d-c= 3.如图，A,B为抛物线y=a2上 7.已知y=(k十2)x+‘是二次函数，且当x 的两点，且AB⊥y轴于点C(0, <0时，y随x的增大而增大. 6).若AB=6,则该抛物线的解 (1)求k的值 析式为 第3题周 (2)P(m,n)是此二次函数图象上的一点.若 一2≤m≤1，则n的取值范围为 知识点2二次函数y=ax的性质 4.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减 小的是 Ay-2By-专女Cy-xD.y-d 5.若在抛物线y=xm1的对称轴左侧，y随 x的增大而增大，则下列各点不在该抛物线 数学九年级RJ板 02提能力 (1)求a的值和点B的坐标 (2)若P是抛物线上一点，当以点A,B,P 8.二次函数y=ax2与一次函数y=ax十a在 为顶点构成的△ABP的面积为2时，求点 同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 P的坐标 ( 9关于抛物线y=2y=2y=一2，有下 列说法：①开口都向上：②都以(0,0)为顶 点：③都以y轴为对称轴：④都关于x轴对 。4 O3拓思维念… 称.其中正确的有 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 14.如下图，在平面直角坐标系中，直线l:y=a(x 10.(2024广东)若点(0，y),(1,y2),(2,y)都 十2)(a>0)与x轴交于点A,与抛物线E:y 在二次函数y=x2的图象上，则少，y2, ax2交于B,C两点（点B在点C左侧）， 的大小关系是 () (1)点A的坐标为 A.ys>y:>y B.y2>y>ys (2)若点B关于x轴的对称点为B',则当 C.y>ys>y: D.y>y>y 以点A,B,C为顶点的三角形是直角三角 11.已知二次函数y=x2,当1≤y≤9时，自变 形时，求实数a的值. 量x的取值范围是 ( A.1≤x≤3 B.-3x3 C.-3≤x≤-1或1≤x≤3 D.-3≤x<0或0<x≤3 12.如图，菱形OABC的顶点O, A,C在抛物线y=子+上，其 中O为原点，对角线OB在y 轴上，且OB2.则菱形OABC的面费是 13.(教材变式)如下图，已知点A(一2,4)在抛 物线y=ax2(a≠0)上，过点A且平行于x 轴的直线交抛物线于点B. 上册第二十二章 22.1.3 二次函数y=a(x一h)+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 要点提示 1.二次函数y=ax2十k的图象和性质： 函数 y=ax'+k(a>0) y=ax'+k(a<0) 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0,) (0,k) 对称轴 y轴 y轴 当>0时，y随x的增大而增大：当x<0时，y随当x>0时，y随x的增大而减小：当x<0时，y 增减性 的增大而减小 随x的增大而增大 最值 当x=0时，y小装=表 当x=0时，y太世=表 2.二次函数y=ax2十k和y=ax的图象间的关系：二次函数y=ax十k的图象可以看成是将二次函数y=ax 的图象向上或向下平移个单位长度得到的， y=a2(a≠0) 向上平移k个单位长度 向下平移k个单位长度 y=ax2(a>0) y=ax'+k y=ax'+k 0 (a>0,k>0) (a>0,k0) y=ax'+k y=ax'+k y=ax'(a<0) (a<0,k>0) (a<0,k<0) O1固基础 的大小关系是 A.y>y:>ys B.y为>y2>y 知识点1二次函数y=ax2十k的图象 C.y2>y>1 D.y2>y1>9 1.函数y=- +3与y=--2的图象 1 4.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐 的不同之处是 ( 标是(0，一1)，那么这个二次函数的解析式可 A.对称轴 B.开口方向 以是 (写出一种即可). C.顶点坐标 D.形状 5.抛物线y=2x2十n与直线y=2x-1交于点 2.(2024-2025赣州寻乌月考)正比例函数y=ax (m,3). 与二次函数y=a.x2十a(a≠0)在同一平面直角 (1)m= ,n= 坐标系中的大致图象可能是 (2)求抛物线y=2x2十n的顶点坐标和对 称轴. 风不姑兴 (3)当x取何值时，二次函数y=2x2十n中y 随x的增大而减小？ 知识点2二次函数y=ax2十k的性质 3.已知点(-4)，（一1），（号）都在二 次函数y=一x2+5的图象上，则y,, 数学九年级RJ板 ●易错点求函数值的取值范围时，因忽略 念O3拓思维心… 顶点而出错 10.如下图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛 6.对于二次函数y=2x2一3，当一1≤x≤2 物线y=ax2十c经过点P(4,一3)，与y轴 时，y的取值范围是 交于点A(0,1),直线y=x(≠0)与抛物 A.-1≤y≤5 B.-5≤y≤5 线交于B,C两点. C.-3≤y≤5 D.-2≤y≤5 (1)求抛物线的函数解析式： 444444 (2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形， 02提能力 求点B的坐标」 7.(2024一2025南昌期中)若抛物线L:y一x2 +1经过点P(m,n),则下列各点必在抛物 线L上的是 A.（-m,-n) B.(-m,n) C.(m,-n) D.(n,m) 8.（2024赤峰）如图，正方形 ABCD的顶点A,C在抛物 线y=-x2十6上，点D在y 轴上.若A,C两点的横坐标 第8题因 分别为m,n(m>n>0),则下列结论正确的 是 ( A.m十n=1 B.m-n=1 C.mn=1 D.m=1 9.如下图，抛物线y=a2十1与过点D(0,一3) 且平行于x轴的直线相交于点A,B,与y轴 交于点C.若∠ACB为直角，求a的值. 上册第二十二章 23 第2课时二次函数y=a(x一h)产的图象和性质 要点提示 1,二次函数y=a(x一h)?的图象和性质： 函数 y=a(x-h)(a>0) y=a(x-h)产(a<0) 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h,0) (h,0) 对称轴 直线x=h 直线x=h 当x>h时，y随x的增大而增大；当x<方时，y随x 当x>h时，y随x的增大而减小：当x<h 增减性 的增大而戒小 时，y随x的增大而增大 最值 当x=为时，y小接=0 当x=h时，y女性=0 2.二次函数y=a(x一h}和y=ax2的图象间的关系：二次画数y=a(x一h)2的因象可以希成是将二次函数y 一ax的困象向左或向右平移h|个单位长度得到的， y=ax2(a≠0) 向左平移个单位长度 向右平移h个单位长度 y=ar' y=a(x-h) y=a(x-h) (a>0) (a>0,h<0) (a>0,h>0) y=ax' y=a(x-h)* y=a(z-h) (a<0) (a<0,h<0) (a<0,h>0) O1固基础鸟 C.当x>1时，y随x的增大而增大 D.当x<1时，y随x的增大而减小 知识点①二次函数y=a(x一h)产的图象 1.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax 4抛物线)x十2与抛物线y=一女 十c和二次函数y=a(x十c)2的大致图象可 一1)2的相同点是 () 能为 A.开口方向相同 B.对称轴相同 本六头 C.形状大小都相同D.顶点都在x轴上 知识点3二次函数y=a(x-h)?与y=a2的 图象间的平移关系 5.已知抛物线y=ax2向左平移1个单位长度 2.抛物线y= 9 (x一5)2经过的象限是 后所得到的新抛物线经过点A(1,一4)，则 新抛物线的解析式是 知识点2二次函数y=a(x一h)2的性质 6.已知直线y=x十1与x轴交于点A,将抛物 3.已知抛物线y=5(x一1)，下列说法不正确 线y=一2x2平移后得到抛物线C,且抛物 的是 ( 线C的顶点与点A重合， A.顶点坐标为(1,0) (1)抛物线C的解析式为 B.对称轴为直线x=0 数学九年级RJ板 (2)若点B(x1,y1),D(x2,y2)在抛物线C (3)抛物线上是否存在一点P,使得AB 上，且一号<<试比较的大小 AP?若存在，请直接写出点P的坐标：若 不存在，请说明理由。 易错点因不能灵活运用二次函数的性 ，，，， O3拓思维 质而出错 11.如下图，直线y=一x一2交x轴于点A,交 7.若A(-3,y1),B(-2,y2),C(-1,为)三 y轴于点B,抛物线y=a(x一h)的顶点为 点在抛物线y=a(x十1)2(a>0)上，则 A,且经过点B ,y2,%的大小关系是 ( (I)求抛物线对应的函数解析式， A.y>yays B.ya>y>ys (2)若点C(m,- C.y>y∠2 D.y>之为 》在该抛物线上，求m 的值 02提能力 (3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使 8.已知二次函数y=2(x-3),当x取x1,x2, PO十PB的值最小，并求出点P的坐标. 且≠x2时，函数值=y2,则当x=x1十 x2时，y的值为 A.0 B.3 C.18 D.20 9.在平面直角坐标系内有线段PQ,已知P(3, 1),Q(9,1).若抛物线y=(x-a)3与线段 PQ有交点，则a的取值范围是 10.如下图，以A为顶点的抛物线交y轴于点 B,已知A,B两点的坐标分别为(3,0)，(0， 4),连接AB. (1)求抛物线对应的函数 解析式. B(0.4 (2)若将y轴向右平移6 A3,0)￥ 个单位长度，请直接写出此时抛物线对应 的函数解析式 上册第二十二章 26 第3课时二次函数y=a(x一h)十k的图象和性质 要点提示 1.二次函数y=a(x一h)十k(a,h,k是常数，a≠0)的 向上(k>0威向下(k<0)平移I个单位 =ar y=arth 图象和性质： (1)对称轴：直线x=h.(2)顶，点坐标：(h,k).(3)开口 方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下， (4)增减性：若a>0,当x<h时，y随x的增大而减小， 向右(h>0)或向左<0平移请个单位 动 当x>h时，y随x的增大而增大；若a<0,当x<h时， 向上(k>0)减向下<0)平移个单 y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而 y-alx-hf 向上(0)或向下<0)平移W个单位「 y=ax-h护+ 减小， 2.适当平移抛物线y=ax得到抛物线y=a(x一h)2十k的具体方法如上图 O1固基础念 。。 度后，所得抛物线对应的函数解析式是( 知识点1二次函数y=a(x一h)?+k的图象 Ay=2x+8-9By-2-82+9 和性质 C.y= 2x-80-9D.y-x+8+9 1.二次函数y=一(x十1)2十2的图象的顶点 所在的象限是 ( 5地物线y=一十1经平移后，不可能得 A.第一象限 B.第二象限 到的抛物线是 C.第三象限 D.第四象限 2.(2024一2025赣州章贡区期中)对于抛物线y= A.y=- y-女+2025 一(x十1)2十3，下列结论正确的是 ( C.y=- 2-4 D.y=-x2+x+1 A.开口向上 B.对称轴为直线x=1 6.将抛物线y=ax2十2向右平移后所得新抛 C.顶点坐标为（一1,3） 物线的顶点的横坐标为3，且新抛物线经过 D.当x>1时，y随x的增大而增大 点(1，-2) 3.已知函数y=(m-3)(x十2)m1十m-2是 (1)a的值为 二次函数， (2)若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在 (1)m的值为 新抛物线上，则y y(填“>” (2)求这个二次函数的解析式，并指出其图 “<”或“=”). 象的开口方向、对称轴和顶点坐标. ●易错点将图象平移与坐标轴平移混淆 而出错 7.抛物线的函数解析式为y=3(x一2)2十 1.若将x轴向上平移2个单位长度，将y 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在 新的平面直角坐标系中的函数解析式为 知识点2抛物线y=a(x一h)十k的平移 4.(2024-2025新余分宜期中)抛物线y一c向 A.y=3(x+1)2+3B.y=3(x-5)2+3 左平移8个单位长度，再向下平移9个单位长 C.y=3(x-5)2-1D.y=3(x+1)-1 6 数学九年级RJ板 02提能力 之03拓思维 8.若抛物线y=(x-m)十m十1的顶点在第 12.(2024通辽)如下图，在平面直角坐标系中， 一象限，则m的取值范围为 ( 3 A.m>1 B.m>0 直线y=一2x十3与x轴、y轴分别交于 C.m>-1 D.-1<m<0 点C,D,抛物线y=-(x-22+(为 9.设A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y)是抛物线 常数)经过点D,且交x轴于A,B两点（点 y=-(x十2)2十m上的三点，则h,y2,y A在点B的左侧) 的大小关系是 () (1)求抛物线对应的函数解析式， A.y>ya>ys B.y1>y9>y2 (2)若P为抛物线的顶点，连接AD,DP, C.y为>y>y D.y:>y>y3 CP,求四边形ACPD的面积. 10.二次函数y=a(x十m)2十n的 图象如图所示，则一次函数y 2*33 =mx十n的图象不经过第 象限 1山.(2024北京)在平面直角坐标系惑事已 -(x-2)2+W 知抛物线y=a(x-a)2-a(a≠0). (1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标 (2)已知M(x1,1)和N(x2,y)是抛物线 上的两点.若对于x1=3a,3≤x2≤4，都有 y<ya,求a的取值范围. 上册第二十二章(2)1+5%0×(1+g×5%）-1=0.134=13.4%. 故全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分 数为13,46. 第3课时几何图形问题 1.B2.23.204.1cm 5.解：(1)设运动时间为ts,则PB=(16一3t)cm,CQ=2tcm 依题意，得216-31+2)×6=33， 解得t=5. 故P,Q两点出发5s时，四边形PBCQ的面积为33cm (2)过点Q作QM⊥AB于点M,如图所示 .PM-PB-CQ=116-5tlem,QM-6 cm, ∴.PQ=PF十QF, 即102=(16-5t)2+62 解得=号6=华气不合题意，舍去。 5 故P,Q两点出发s时，点P和点Q的距离第 一次是10cm. 6.A7.608.3 9.解：(1)设将矩形绿地的长，宽均增加xm,则新的矩形绿地的 长为(35十x)m,宽为15十x)m 依题意，得(35十x)(15十x)=800, 整理，得x2十50x一275■0， 解得x1=5,x1=一55（不符合题意，舍去）， .35十x=35十5=40,15十x=15十5=20. 故新的矩形绿地的长为40m,宽为20m (2)投将矩形绿地的长，宽均增加ym,则新的矩形绿地的长 为(35+y)m,宽为(15+y)m. 依题意，得(35十y)(15十y)=5:3, 即3(35十y)=515+y), 解得y=15, .(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1500. 故新的矩形绿地面积为1500m°， 10.解：(1)小亮的设计方案中甬路的宽度为2m. 2)小颖的设计方案中四块绿地的总面积为2299m2, 本章小结 1.A2B3.D4.D5号6.D7.B 8.解：：关于x的一元二次方程x2十2x十m一2有两个实 数根， .4=4一4(m一2)≥0，.m3 又”m是正整数， m的值为1或2或3， 由求根公式，得x=一1士√3一m 方程的根都是整数 ”.√3一m是整数， m的值为2或3， 符台条件的所有正整数m的和为5 9.A10.-111.-3 12解：(1)一元二次方程x2一(2k十1)x十十2=0有两个 实数根， “4=[-(2k+1D驴-4+2≥0，解得≥ (2)由根与系数的关系可知，x1十1=2k十1，x1x:=十2. x+x-13=0,.(x1十x)2-2x1x=13, ∴(2+1)2-2(+2)-13=0. 整理，得2十2k一8=0， 解得1=2，k2=一4. :3子 .点=2. 13.解：(1)5÷4=1.25(m/s) 故小球的液动速度平均每秒减少1.25m/s. (2)设小球液动5m约用了xs 由题意，得x·5+(5-1.252=5. 2 整理，得x2-8x十8=0， 解得1■4-22，x:=4十2② 当x=4+2W2时，5-1.25x=5-1.25×（4+22)=-5y 2 <0,不符合题意，舍去： 当x=4-22时，5-125x=5-1.25×（4-22=5y2 0,符合题意，此时x=4一221.2. 故小球滚动5m约用了1,2s 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22,1.1二次函数 1.C2.D3.B4.-35.(1)一次(2)二次 6.解：(1)y■x2+5x (2)当x=1时，y=6:当x=√2时，y=5V2十2：当x=2时，y =14. 故当该矩形每条边的长都增加1cm,√2cm,2cm时，矩形的 面积各增加6cm,(5√2十2)cm2,14cm2 7.2变式题08.C9.C10.A 11.(1)0(2)m≠0且m≠1 12.y=-2π.x2+40xx13.y=2x2-4x十4(0≤x≤2) 14解：s=-x+2x(得长<8 (2)令S=45,则-3x2+24x=45, 解得x1=3(不合题意，舍去)，x2=5, AB的长为5m 15,解：(1)由题意，得每件商品的利润为(x一30)元，∴.m件的 利润为y=(x一30). 又，m=162-3x, .y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860. m>0,.162-3x≥0，.x≤54. 又x≥30，.30≤x≤54. 故商场销售这种商品每天的利润y与每件的售价x之间的 函数关系式为y=-3x2十252x-4860(30≤x≤54). (2)不能.理由如下： 令-3x2+252x一4860=500，移J项，得3x2-252x十5360= △=(-252)2-4×3×5360=-816<0. 方程无实数根， .商扬每天销售这种商品的利阀不能达到500元. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 1.C2B3.y=号4D5.D6.13 7.解：(1)根据题意，得k十2≠0且k十k一4=2，解得k1■一3， eg=2, :当x<0时，y随x的增大而增大， .二次函数的图象开口向下，即k十2<0，解得k一2，. =-3. (2)-4≤n≤0 8.D9.B10.A11.C12.2w3 13.解：(1)把A(-2,40代入y=a2,得4=4a,解得a=1,∴y 世 由题意可知，点A,B关于y轴对称， B2,4. (2)设点P的坐标为(p,p). AB=2-(-2)=4,5am=2AB,w-w=2, 171 上册参考答案 ∴|%一yr=1,∴分以下两种情况讨论： ①当点P在直线AB下方时，yp=3, x2=3,解得x=士√3： ②当点P在直线AB上方时，yp=5, .x=5,解得x=士5 综上所述，点P的坐标为（一√3,3）或(W3,3)或（一5,5）或 (5,5). 14.解：(1)(-2,0) (2)联立/y=4(x十2)， y=ax, 部得。1攻二 y=a ly=4a .B(-1,a),C(2,4a),AC■16+16a2 :B为点B关于x轴的对称点， .B(-1,-a), ∴AB1=a2+1,B'C2=25a2+9. :以点A,B,C为顶点的三角形是直角三角形， ∴分以下三种情况讨论： ①当AB2=AC十BC时，a无实数解： ②当AC=AB1+BC时，16十16a2=a2+1+25a2十9， 解得a=正（负值已舍去）： 5 ③当BC2=AB3+AC时，2522+9=d+1+16+16a2,解 得a=1(负值已舍去). 故以点A,B,C为顶点的三角形是直角三角形时，实数© 的值为下或1 22.L.3二次函数y=a(x-h)2十k的 图象和性质 第1课时二次函数y=ax十k的图象和性质 1.C2.D3.C4.y=2x2-1(答案不唯一) 5.解：(1)2-5 (2)由1)，得抛物线的函数解析式为y=2x2一5，.顶点坐标 为0，一5)，对称轴是y轴 (3)2>0,“抛物线的开口向上，对称轴是y轴，∴当x< 0时，二次函数y=2x一5中y随x的增大而减小. 6.C7.B8.B 9.解：由圈意，得点C的坐标为(0,1)， '.CD=4. 点A,B都在抛物线上，且AB平行于x轴 ∴△ABC为等腰三角形，且AB⊥y轴. :∠ACB为直角， ∴.△ABC为等腰直角三角形， ∴，CD=AD=BD=4, 点B的坐标为(4，一3). 把B(4,-3)代入y=ax2十1，得16a十1=-3，解得a= 4 10.解：(1)：抛物线y=ax2十c经过点P(4,一3)，且与y轴交 于点A(0,1), “2c-据得。=- 1 c=1, c=1, 六抛物线的函数解析式为y一了+1 2)设4，-+1） :△ABP是以AB为腰的等腰三角形，分以下两种情况 讨论： ①当AB=AP时，点B和点P关于y轴对称 P(4,-3),∴B(-4,-3): ⑦当AB=BP时，AB=BP 172 数学九年级BJ版 ∴红-0+(-4+1-1)=红-40+(-2+1+ 整理，得十4t一16=0， 解得=-2-2√5，=-2+25. 当1=-2-25时，-+1=-是×(-2-251+1= -5-25,∴B(-2-2w5,-5-2W5): 当=-2+25时，-+1=-}×-2+25+1= -5+2w5,.B(-2+2w5,-5+2w5) 综上所述，点B的坐标为（一4，一3）或（一2-2W5,一5 2w5)或(-2+2W5,-5+25). 第2课时二次函数y=a(x一h)'的图象和性质 1.B2.第三、四象限3.B4.D5.y=-(x十1) 6.解：(1)y=-2(x十1)2 (2):抛物线C的对称拍为直线x=一1，开口向下， .当x>一1时，y随x的增大而减小， “当-是<<时州>% 7.A8.C9.2≤a10 10.解：(1)设此抛物线对应的函数解析式为y=4(x一3)2，点 B(0,)在此抛物线上，∴9a=4,解得a=专，抛物线对应 的函数解析式为y=音红一3 (2)y=音x+3 (3)存在，点P的坐标为(6,4. 11.解：1)对于y=一x一2，当x=0时，y=一2：当y=0时，x =-2,.B(0,-2),A(-2,0) :抛物线的顶点为A(一2,0)， ∴y=a(红十2)，又抛物线经过点B(0,一2)， 。-2=4a,解得a=-子 抛物线对应的盈数解析式为y=-名红十2 （②：点C(,一号）在抛物线y=-号x+2上， 六一号(m十2产=一号，解得m=1,m=-5m的值为 1或-5. (3)如图，设点B关于对称轴的对 称点为B',连接OB,OB与对称 轴的交点即为点P 点B的坐标为(0，一2)，对称轴 是直线x=一2， B(一4，一2)，则直线OB的图 数解析式为y一女 x=-2, 联立 ,解得任一2， y=2x, 1y=-1. 故点P的坐标为（一2，一1）， 第3课时二次函数y=a(x-h)产+ k的图象和性质 1.B2.C 3.解：(1)-3 (2)由(1)知，m=一3， .这个二次函数的解析式为y=一6(x十2)2一5， .其图象的开口方向向下，对称轴为直线x=一2，顶点坐标 为(-2，一5). 4.A5.D6.(1)-1(2)<7.C8.B9.A10.- 11,解：(1)当a=1时，y=(x-1)-1, .此时顶点坐标为(1，一1). (2)y=a(x一a)2-a的对称轴为直线x=a, ·分以下两种情况讨论： ①当4>0时，如图①. 1=3a,3≤x≤4，为<，且当x>a时，y随x的增大 而增大，.3a<3,解得a<1, 又a>0,∴.0<a<1: 图①D 图② ②当a<0时，如图② 由题意，得M3a,y)关于对称轴对称的点的坐标为（一a, y1), :1=3a,3≤x≤4，为<，且当x>a时，y随x的增大 而减小， ∴.一a>4,解得a<一4. 又a<0,a<-4, 综上所述，a的取值范围是0<a<1或a<一4. 12郁：把x=0代人函数y=-名x十3中，得y=3, .D0,3). ?抛物线y=一红一2+为常数)经过点D, -量×0-2+=3， 解得表=4， 抛物线对应的函数解析式为y=一是（红一2炉+4 (2)“抛物线的函数解析式为y=一x一22十4， 顶点P的坐标为(2,4)， 把y=0代人函数y=一受十3中，得-号十3=0，解得x =2, .C(2,0), ∴.PC⊥x轴，PC=4 如图，过点D作DE⊥PC于点 E,则DE=2, 1+ Sam-PcDE=号× 4×2=4 把y-0代入函效y=一女 (x-2)2 2+4中，得-红-2+4 =0,解得x1=一2，x1=6, .A(-2,0),B(6,0),.AC=4. D(0,3),.D0=3, “5Aa=号AC·D0=号×4×3=6， :Ss边无AC9D=S△D十S△cmF=6十4=10. 22.L.4二次函数y=ax2+bx十c的 图象和性质 第1课时二次函数y=ax+bx十e的 图象和性质 1.D2.<3.B4.1)3(2)y=x2-4z 5.D6.C7.c8A9>-<m<1 10.解：(1)把(-2,0)代人y=ax-2ax一8，得0=4a十4a一8， 解得a=1,∴抛物线的函数解析式为y=x2一2x-8. *y=x2-2x-8=(x-1)2-9, ,抛物线的顶点坐标为(1，一9)， (2)把x=一4代人y=x2-2x-8,得y=（一4)2一2X (-4)-8=16,∴m=16. 把y=7代入y=x2-2x-8,得7=x2-2x-8, 解得x1=5,x=一3. n为正数，n=5, ∴，点A的坐标为（一4,16），点B的坐标为(5,7). :抛物线开口向上，顶点坐标为(1，一9)， 抛物线的顶点在直线下方， .-4<x,<5,一9≤y16. 11.解：(1)①当b=4,c=3时，y=-x2+4x+3=-(x-2) +7, ,顶点坐标为(2,7)， ②：顶点坐标为(2,7)，抛物线开口向下， .当一1≤x<2时，y随x的增大而增大： 当2<x≤3时，y随x的增大而减小， 当x=2时，y有最大值7. 又：当x=一1时，y=一2： 当x=3时，y=6, ,当-1≤x≤3时，y的取值范固为一2≤y≤7 (2):当x≤0时，y的最大值为2：当x>0时，y的最大值 为3， 六弛物线的对称销直线x一名在y轴的右刷。 .b>0. 地物线开口向下，当x≤0时，y的最大值为2， 六当x=0时，y大m=(=2, 当x>0时ya=4如C-4X（DX？-龙=3， 4a 4×X(-1) 解得b=士2 6>0, b=2. ∴.二次函数的解析式为y=一x2十2x十2. 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 1.D2.A3.D4.1)5(2)y=x+2x+55.C 6.解：(1)，二次函数的图象经过点（一3，-2）和(-2，一2)， 该二次函数图象的对称轴为直线工=一 ∴，二次函数的图象经过（一4,0），（一1,0》两点」 设二次函数的解析式为y=a(x十1)(x十4). 把(0,4)代入人，得a=4,解得a=1, .该二次函数的解析式为y■(x十1)(x十4)=x十5x十4， (2)x≤一2 5 7.C变式题y=-x2-2x或y=一x2-2x+8 8.D9.x=310.y=-22+16x-24 11.解：(1)设抛物线的函数解析式为y=a(x十1)(x一6)(a≠0)， 把B(5.一6)代入，得a(5十1)(5一6)=一6，解得a=1, ,抛物线的函数解析式为y=(x十1)(x一6)=x2一5x一6. (2)如图，连接AP,BP,过点P作PD1 x轴于点D,交AB于点E 设直线AB的解析式为y=kx十.将A4 (-1,0),B(5,-6)代人，得 一k十n=0,解得 5十n=一6， k=一1直线AB n=-1, 的解析式为y■一x一1.设点P的坐标 为(m,m2一5m一6)（一1<m<5),则点 E的坐标为(m,一m一1)， ,PE=(一m-1)-(m2一5m-6)=一m2十4m十5， 173 上册参考卷案 .Soar=PE:(zm+im+5)x6- -3(m-2)1十27 :-3<0, 当m=2时，S么sr有最大值，此时点P的坐标为(2， -12). 12解：1)：二次函数的图象的对称轴为直线x=一 六一名=一解得6=1 ,二次函数的图象经过点A(一2,5) .(一2)十1X(-2)十c=5,∴.c■3， .二次函数的解析式为y=x2十x十3. (2)由题意可知，点B(1,7)平移后的对应点的坐标为(1一 m,9).,该点也在二次函数y=x2十x十3的图象上， .(1-m)十1-m)十3=9， 解得m1=4,=一1.”m>0, .m的值为4. @y-2++-(+》+ 六当x一言时y取最小值，最小值为兴 ⑩当n≤一是时，y随x的增大而减小， ,当x■一2时，y取最大值，最大值为5： 当x■时，y取最小值，最小值为n2十十3. “最大值与最小值的差为号 六5-(n2+n+3)=9 解得一一子 ②当-言<≤1时，y的最小值为号最大值为5， 最大值与最小值的差为5一是-是，符台题意 ③当>1时，y的最小值为号，最大值为心十十3， ÷最大值与最小值的差为产+n+3-卫=9 44 解得西=1，=一2（不符台题意，舍去）. 综上所述，的取值范围为一是<<1 22.2二次函数与一元二次方程 1.A 1 2.解：1)m>-1 (2),二次函数的图象与x轴的一个交点为1,0)，，x2十x 一m=0的一个根为1,12十1-m=0,m=2,一元二次 方程为x2十x一2=0，解得1=1，x=一2，，一元二次方程 x广十x一m=0的解为x1=1,x=一2. 3.D4.15.A6.-3<x<17.C8.D 9.(1)z1=-1,x:=3(2)-1<x<410.①②④ 11.解：(1)证明：，△=(2k一1D2十8k=4k2一4k十1十8k=4k2+ 4+1=(2k+1)2≥0，∴.二次函数y=x2+(2表-1)x-2 的图象与x轴有公共点 (2)k=1. 12.解：(1)由题意可知，△=[一(2一3)]3一4(2十1)>0，即一 12k+5>0,ki2 .5 2证明：由1知，长是十=2语-3<0，西看-对 十1>0，.x1<0,x2<0. (3)依题意，得A(x,0),B(,0》, .OA+OB=|x1+|x21=(x1+x:)■-2k+3, 174 数学九年级BJ版 0A·OB=x11川x|=x2=十1 OA+OB=2OA·OB-3, .一2k十3=2(2十1)一3，解得k1=1,1=一2. <最=-2 22.3实际问题与二次函数 第1课时几何图形面积问题 1.B2.B 3.解：(1)5■- 22+30 （2):s=-72+30x=-7-301+450,且-合<0， ,当x=30时，S有最大值，最大值是450. 故当x=30时，菱形的面积S最大，最大面积是450cm2, 4.69/3 5.解：，∠C=90°，AB=10cm,BC=8cm,.AC=6cm.设运动时 间为s,则PC=(6-)em,CQ=2红em,Sam=2CQ·PC =壹×26-0=-t+6=--3+s0<<. :一1<0，当t=3时，S△a有最大值，最大值为9cm 6.46.4 7.解：如图，连接CF,交AM阳于点Q,交NG于点P, ,'∠A=∠B=90°，.AF∥BC ,AF■BC,.四边形ABCF是矩形，. AB∥FC. F 四边形MNGH是矩形 .,∠HMN=∠MNG=90°，MH=NG. ∴∠HQF=∠GPC=90',MQ=AF=NP=BC=1m 设MH=x. ,∠BCG=∠AFH=135, .∠HFQ=∠GCP=45, ..FQ=HQ.CP=GP, :.FQ=HQ=MH-MQ=x-1. 同理，得CP=x一1，AM=NB=x一1， .MN=AB-AM-NB=3-(x-1)-(x-1)=5-2x, ·.SeBANGH=MN·MH=(5-2x)·x=5x-2x2=-2{x :AB与DE之间的距离为2m,∴0<x<2. ”一2<0，“当x=号时，S0m有最大值，最大值为罗， 即当MH的长度为：口时，铁皮MNGH的面积最大，最大 面积为管心 8.解：(1)y=80-2x,S=-2x2十80x (2)矩形试验田的面积S能达到750m2 当S=750时，-2x2+80x=750, 解得1=25，x:=15 当x=25时，y=80一2x=30<42,符合题意： 当x=15时，y=80-2x=50>42,不符台题意，舍去， x=25. (3)由题意，得80-2x>0, (80-2x≤42， 解得19≤x<40, 由(1)，得S=-2x2+80x=-2(x-20)2十800. -2<0, .当x-20时，S有最大值，最大值为800，且80-2×20=40 <42, 当x=20时，矩形试验田的面积S最大，最大面积是 800m3.