21.3 实际问题与一元二次方程-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播与数字问题 要点提示 1.传播问题：若传柒源是a,传接速度是x,则n轮传染后，被传染的总数为a(1十x)", 2.数字问题：一个三位数的百位上的数字为a,十位上的数字为b,个位上的数字为c(其中a,b,c均为整数，且1 ≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)，则这个三位数可表示为100a十10b十c, 3.握手、单循环问题：总次教=n",1卫(m≥2》 2 4.互赠礼物、双循环赛问题：总次数=(m一1)(n≥2). O1固基础念 。。。。。 知识点1传播问题 1.跨化学学科化学课代表在老师的培训下学 会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验 操作，回到班上后第一节课手把手教会了若 干名同学，第二节课会做该实验的每名同学 又手把手数会了同样多的同学，这样全班49 知识点3循环问题 人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能 5.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场， 手把手教会 名同学。 每两队之间都比赛1场，则下列方程中，符 知识点2数字问题 合题意的是 () 2.(教材变式}若两个连续奇数的积为323，则 A号x+1D-45B红-1）=45 这两个数分别为 C.x(x+1)=45 D.x(x-1)=45 A.11,13 B.17,19 6.【探究】在一次聚会上，规定每两人见面必须 C.-17,-19 D.17,19或-17，-19 握手，且只握手1次 3.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字 (1)①若参加聚会的人数为3，则共握手 小1，且个位上的数字与十位上的数字的乘 次：若参加聚会的人数为5，则共 积等于72，则这个两位数是 握手 次 4.跨语文学科子曰：“吾十有五而志于学，三 ②若参加聚会的人数为n(n为正整数)，则 十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而 共握手 次 耳顺，七十而从心所欲，不逾矩.” (2)若参加聚会的人共握手28次，则参加聚 一《论语·为政》 会的人数为 列方程解决下面问题： 【拓展】(3)如右图，∠MON为 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 锐角，在∠MON的内部分别 而立之年督东吴，早逝英年两位数： 引射线OP1,OPa,…,OP.在 0 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 这种操作模式下，当图中共有55个角时（含 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ ∠iON),则n的值为 数学九年级RJ版 O2提能力 ……03拓思维心 7.两个连续偶数之积为168，则这两个连续偶 11.推理能力如下图所示的是2025年2月的 数之和为 月历表，在其中用一个方框圈出4个数（如 A.26 B.-26 图中虚线框所示)，设这4个数从小到大依 C.士26 D.都不对 次为a,b,c,d. 8.某小组组织送贺卡的活动，已知该小组有若 一 二三四五六 干人.若每人都给小组的其他成员赠送1张 2345678 贺卡，全组将送出贺卡共72张，则该小组的 9101112i31415 1617181920.2122 人数为 ( 232425262728 A.7 B.8 C.9 D.10 (1)若用含有a的式子分别表示出b,c,d,则b 9.(2024一2025高安期中)某次商品交易会上， C ,d= 所有参加会议的商家每两家之间都签订了 一份合同.若共签订合同36份，则参加了交 (2)按这种方法所圈出的4个数中，ab的最 易会的商家有 家 大值为 10.有1个人患了流感，假设在每轮传染中平 (3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出4个数， 均1个人传染了x个人： 使得bc的值为135.” (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数 淇祺说：“按这种方法可以圈出4个数，使 (用含x的代数式表示). 得ad的值为84.” (2)若经过两轮传染后，有100人患上流 请你运用一元二次方程的相关知识分别说 感，为了对症下药，医院计划设置普通病房 明两人的说法是否正确。 和重症病房（所有病房都是单人病房），且 重症病房的数量不少于普通病房的}，在 经过第三轮传染后，为了一次性将所有病 人收治入院，则医院至少需要设置多少个 重症病房？ 上册第二十一章 11 第2课时平均变化率与销售问题 要点提示 L,平均变化率问题：(1)平的槽长率是指增技就与基数的此.著基数为a,平均增长律为x,测增长一次后的值为 a(1十x),增长两次后的值为a(1十x)2:(2)平物降低率是指障低献与基飘的比，若基数为a,平均降低率为x,别 降低一次后的值为a(1一x),降低两次后的位为a(1一x, 2销售利润问题：利润=售价一进价，利掬率一和×10%一签价进价 进价 ×100%,售价=进价×(1十利润 率)，总利润=总售价一总成本=单件利润X总销售量。 O1固基础 。。。。。…0 知识点1变化率问题 1.(2024云南)两年前生产1kg甲种药品的成 本为80元，随着生产技术的进步，现在生产 知识点2销售问题 1kg甲种药品的成本为60元.设甲种药品 4.某商品的进价为5元/个，当售价为x元/个 成本的年平均下降率为x,根据题意，下列方 时，能销售该商品(x+5)个，此时获利144 程正确的是 ( A.80(1-x2)=60B.80(1-x)2=60 元，则该商品的售价为 元/个 5.原来商场将进价为每件80元的某商品按每 C.80(1-x)=60D.80(1-2x)=60 件100元出售，一天可售出100件.后来经 2.(2024一2025南昌期中)为了加快数字化城 调查发现，每件该商品降价1元，销量可增 市建设，某区计划新建一批智能充电桩，第 加10件，商场想获利2250元.设将该商品每 一个月新建了304个充电桩，第三个月新建 件降价x元，根据题意，可列方程为 了684个充电桩.设该区新建智能充电桩个 数的月平均增长率为x,根据题意，可列方程 6.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高 为 产量为40只，且每日产出的产品全部售出 3.随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月 已知生产x只玩具熊猫的成本为R(单位： 增加，2月份游客人数为1.6万，4月份游客 元)，每只的售价为P(单位：元)，且R,P与 人数为2.5万. x之间的关系式分别为R=500十30x,P= (1)求这两个月该景区游客人数的月平均增 170-2x. 长率 (1)当日产量为40只时，每日获得的利淘为 (2)预计5月份该景区游客人数会继续增 多少元？ 加，但增长率不会超过前两个月的月平均增 (2)当日产量为多少时，每日获得的利润为 长率.已知该景区5月1日至5月21日已接 1750元？ 待游客2.125万人，则5月份后10天日均 接待游客人数最多是多少万？ 数学九年级RJ版 O2提能力 (2)在这次活动中，该药店仅获利1760元.这 种消毒液每桶实际售价多少元？ 7.某种商品原来每件售价为150元，经过连续 两次降价后，该种商品每件售价为96元.设 平均每次降价的百分率为x,根据题意，所列 方程正确的是 ( A.150(1-x2)-96B.150(1-x)-96 C.150(1-x)2-96D.150(1-2x)=96 8.古代数学文化我国古代著作《四元玉鉴》记 载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人 去买几株橡.每株脚钱三文足，无钱准与一株 橡.”其大意：现请人代买一批橡，这批橡的价 …03拓思维 钱为6210文，如果每株橡的运费是3文，那么 11.“民以食为天，食以安为先”，粮食安全事关 少拿1株椽后，剩下的橡的运费恰好等于1 国计民生.为了确保粮食安全，优选品种， 株椽的价钱.6210文能买多少株椽？设这批 某农业科技公司对原有小麦进行改良种植 椽的数量为x株，则符合题意的方程是 研究.在保持种植面积不变的情况下，今年 小麦平均亩产量在去年的基础上增加了 A.3(x-1)x=6210B.3(x-1)=6210 a%,每千克售价也在去年的基础上上涨了 C.(3x-1)x=6210D.3x=6210 2a%,全部售出后总收人将增加15.5%. 9.应用意识某工厂生产的某种产品按质量分 (1)求a的值， 为10个档次，第一档次（最低档次）的产品 (2)如果明年的种植面积仍然不变，预计明 一天能生产95件，每件利润为6元，每提高 年小麦平均亩产量将在今年的基础上增加 一个档次，每件利润增加2元，但日产量减 a%,每千克售价也将在今年的基础上上涨 少5件 8 (1)若生产的是第三档次的产品，则每件利 %,求全部售出后明年的总收入将在今 润为 元 年的基础上增加的百分数 (2)若生产第x档次的产品一天的总利润为 1120元，则该产品的质量为第 档次 10.某药店新进一批桶装消/桶个 毒液，每桶进价35元，原 130 110 计划以每桶55元的价格 可1231元 销售，现决定降价销售.已知这种消毒液的 销售量y(单位：桶)与每桶降低的价钱 x(单位：元.0<x<20)之间满足一次函数 关系，其图象如上图所示 (1)求y关于x的函数解析式. 上册第二十一章 第3课时」 几何图形问题 要点提示 1,如图①，设空白部分的宽为x,对Sm知=(a-2x)(6 2x). 2.如图②，设空白部分的宽为x,划Sm影=(a-3x)(6 2x) 3.如图③，设阴影部分的宽为x,则S电=(a一x)(6-x). 4.如图④，设阴影部分的宽为x,对S*=(Q-x)(6一x) O1固基 长度为 5.(2024一2025赣州于都月考)如下图所示， 知识点1边框与甬道问题 A,B,C,D是矩形的四个顶点，AB=16cm, 1.如图，在一块长为32m、宽为20m的矩形地 AD=6cm.动点P,Q分别从点A,C同时出 面上修建三条宽度相等的小路，每条小路的 发，点P以3cm/s的速度向点B移动，到达 两边互相平行.若剩余面积为570m2,则小 点B停止运动，点Q以2cm/s的速度向点 路的宽为 D移动. A.0.5mB.1m C.2m D.3m (1)P,Q两点出发几秒时，四边形PBCQ的 50m 20m 面积为33cm2? 38m (2)P,Q两点出发几秒时，点P和点Q的距 32m 第1题因 第2题国 离第一次是10cm? 2.(教材变式)如图，在长为50m、宽为38m的 矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下 的铺上草坪.若要使草坪的面积为1564m2, 则道路的宽应为 m. 知识点2靠墙的规则图形的面积问题 3.如图，要利用一面墙（墙长为25m)建猪圈， 用100m的围栏围成总面积为400m2的三 个大小相同的矩形猪圈，则猪圈的边长AB 为 m. 第3题周 第4题周 知识点③运动图形的面积问题 4.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其 对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向 平移，得到△A'B'C'.若两个三角形重叠部 分的面积为1cm2,则它平移的距离AA'的 数学九年级RJ版 。4。。 02提能力 (2)若扩充后，实地测量发现新的矩形绿地 的长、宽之比为5：3，求新的矩形绿地面积. 6.如图，把一块长为45cm、宽为 25cm的矩形硬纸板的四角减 去四个相同的小正方形，然后 第6题图 把纸板沿虚线折起，做成一个 无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为 625cm2,设剪去小正方形的边长为xcm,则 可列方程为 () A.(45-2x)(25-2x)=625 B.(45-x)(25-x)=625 C.(45-x)(25-2x)=625 D.(45-2x)(25-x)=625 。。。。。, O3拓思维 4。。。。。。 7.乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机， 承包了一块边长为100m的正方形空地进 10.(教材变式)要在一块长52m、宽 行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空 48m的矩形绿地上修建同样宽 地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库.若 的两条互相垂直的甬路.如图所 挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的 示的是小亮和小颖的设计方案. 面积大于仓库的面积)，养殖区的面积为 (1)求小亮的设计方案中甬路的宽度. 4800m2,则挤奶棚的边长为 (2)求小颖的设计方案中四块绿地的总面 mn. 积（提示：小颖的设计方案中的x与小亮的 设计方案中的x的取值相同)， 济奶烟 小亮设计的方案如图①所示】 涌路的宽度均为xm,科下的 养殖区 细块绿地的面积券2300m. 第7题图 第8题图 52 8.古代数学文化我国古代数学家赵爽创制了 图①（单位：m) 一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾 小矫设计的方案如图②所示】 BC=HE=xm,AB∥CD,HG∥ 股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四 EF,AB⊥EF,∠1-60° 图②（单位：m》 个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成 的一个大正方形.若大正方形的面积是25，小 正方形的面积是1，则AE 9.(教材变式}如右图，某小区 矩形绿地的长、宽分别为15 35m和15m.现计划对其进 行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后， 得到一个新的矩形绿地 (1)若扩充后的矩形绿地面积为800m2,求 新的矩形绿地的长与宽. 上册第二十一量整理，得x2一6x十5=0 解得x1=1,x2=5, 当x=1时，x一2=一1<0，不满足题意： 当x=5时，x一2=3>0，满足题意 故原“无理方程”的解为x=5. “21.2.4一元二次方程的 根与系数的关系 1.A2.C3.-1475.06.A7.C8.293 10.解：1D证明：4=(a十3)2一4×1×(a十1)=a+6a十9-4a -4=a2+2a+5=(4+1)2+4>0, “方程总有两个不相等的实数根， (2),方程的两个实数根为工1， x1十xg=一(a十3)，x1·=a+1, (1-2)(x:一2)=2， .x1·x2-2x1-2x十4=2， x1·x1-2(x1十)十4=2， .a+1-2[-(a十3)]+4=2， 解得a=一3. 11,-1≤k<012.B13.C14.1415.-3 16.解：(1)p,1 (2)由1)，得x1十xa=p,x1x:=1, 1+1=t=是=p :关于x的一元二次方程x2一江十1=0(P为常数)有两 个不相等的实数根1和x, 六-px1+1=0,x-p+1=0,即十】=p, (3),x1十x=2净+1，十x:=p,x1x=1, ·(十x)2-21=2p+1,即p2-2=2p十1， 解得力=3，p:=一1， 当p=3时，△=p3一4=9一4=5>0： 当p=一1时，△=p2一4=一3<0，不合题意， p的值为3. 17.解：(1)示例：选择① 证明：设幻一十公些。本-V个-a 2a 2a 1十■ -6+B-ac+-b-6-a 2a 2a -6+v0-4ac-6-v8-4ac_-26。-点 2a 24 (2):x1,是一元二次方程x2一3x十1=0的两个根， ∴五1十西=-方=31==1， ∴.x1十x1=(x+x)2-2xx =[(1十x)2-2五]P-2(x1) =(3-2)￥-2 =47. (3)由题意，得/g十m十g=-4, (pqr=-1, 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播与数字问题 1.62.D3.98 4.解：设周喻逝世年龄的个位数字为x,则十位数字为x一3 根据题意，得10(x一3)十x=x2, 解得x=5,x:=6. 当x■5时，周瑞逝世的年龄是25岁，小于而立之年，不符合 题意，舍去： 当x=6时，周瑜逝世的年龄是36岁，符合题意 故周瑜逝世的年龄是36岁. 170 数学九年级BJ版 5.B 6.解：(1)①310②nm-1卫 9 (2)8(3)9 7.C8.C9.9 10.解：(1)由题意可知，第一轮被传染的人数为x,第二轮被传 染的人数是x(x十1)，.两轮传染后，患上流感的人数为1 十x十x(x十1)=(x+1)2. (2)由题意，得(x十1)°=100， 解得x1=9,x:=一11（舍去） ,经过第三轮传染后，惠上流感的人数为100×(9十1) 1000. 设医院需要设置y个重症病房，则设置(1000一y)个普通病 房 由题意，得号100-y)≤解得≥166号 y为正整数，.y≥167， ∴医院至少需要设置167个重症病房， 11.解：(1)a+1a十7a十8 (2)420 (3)嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 假设嘉嘉的说法正确。 依题意，得(a十1)(a十7)=135 整理，得a2+8a-128=0, 解得4=8，a:=-16(不合题意，舍去). 2月8日为周六，不符合题意， ,嘉嘉的说法错误， 假设淇淇的说法正确： 依题意，得a(a十8)=84， 整理，得a2十8a-84=0, 解得a=6,a=一14（不合题意，舍去. 2月6日为周四，符合题意， ,淇淇的说法正确」 第2课时平均变化率与销售问题 1.B2.3041+x)=684 3.解：（门）设这两个月该景区游客人数的月平均增长率为x,由 题意可列方程为1.6(1十x)2=2.5, 解得x=0,25=25%(负值已舍去). 故这两个月该最区游客人数的月平均增长率为25%. (2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万.由题意可列 方程为2.125十10y≤2.5(1十25%)， 解得y≤0.1，.5月份后10天日均接待游客人数最多是 0,1万， 4.135.(100-80-x)(100+10z)=2250 6.解：(1)当x=40时，由题意，得(170一2x)x一(500十30x) 170-2×40)×40-(500+30×40)=1900. 故当日产量为40只时，每日获得的利润为1900元. (2)由题意，得170-2x)x一(500+30x)=1750,解得1= 25,x2=45(不合题意，舍去). 故当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元 7.C8.A9.(1)10(2)六 10.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=x十b,将(1,110)， 830代人得9-得信仁0c 故y关于x的函数解析式为y=10x+100. (2)由题意，得(10x十100)(55-x-35)=1760.整理，得x2 -10x-24=0, 解得x1=12,x:=一2（不合题意，舍去）， .55-x=43. 故这种消毒液每桶实际售价43元 11.解：1)依题意，得1十a%)1十2a%)=1十15.5%. 整理，得42十1504-775=0，解得a1=5,4:=一155（不合题 意，舍去) 故a的值为5. (2)1+5%0×(1+g×5%）-1=0.134=13.4%. 故全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分 数为13,46. 第3课时几何图形问题 1.B2.23.204.1cm 5.解：(1)设运动时间为ts,则PB=(16一3t)cm,CQ=2tcm 依题意，得216-31+2)×6=33， 解得t=5. 故P,Q两点出发5s时，四边形PBCQ的面积为33cm (2)过点Q作QM⊥AB于点M,如图所示 .PM-PB-CQ=116-5tlem,QM-6 cm, ∴.PQ=PF十QF, 即102=(16-5t)2+62 解得=号6=华气不合题意，舍去。 5 故P,Q两点出发s时，点P和点Q的距离第 一次是10cm. 6.A7.608.3 9.解：(1)设将矩形绿地的长，宽均增加xm,则新的矩形绿地的 长为(35十x)m,宽为15十x)m 依题意，得(35十x)(15十x)=800, 整理，得x2十50x一275■0， 解得x1=5,x1=一55（不符合题意，舍去）， .35十x=35十5=40,15十x=15十5=20. 故新的矩形绿地的长为40m,宽为20m (2)投将矩形绿地的长，宽均增加ym,则新的矩形绿地的长 为(35+y)m,宽为(15+y)m. 依题意，得(35十y)(15十y)=5:3, 即3(35十y)=515+y), 解得y=15, .(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1500. 故新的矩形绿地面积为1500m°， 10.解：(1)小亮的设计方案中甬路的宽度为2m. 2)小颖的设计方案中四块绿地的总面积为2299m2, 本章小结 1.A2B3.D4.D5号6.D7.B 8.解：：关于x的一元二次方程x2十2x十m一2有两个实 数根， .4=4一4(m一2)≥0，.m3 又”m是正整数， m的值为1或2或3， 由求根公式，得x=一1士√3一m 方程的根都是整数 ”.√3一m是整数， m的值为2或3， 符台条件的所有正整数m的和为5 9.A10.-111.-3 12解：(1)一元二次方程x2一(2k十1)x十十2=0有两个 实数根， “4=[-(2k+1D驴-4+2≥0，解得≥ (2)由根与系数的关系可知，x1十1=2k十1，x1x:=十2. x+x-13=0,.(x1十x)2-2x1x=13, ∴(2+1)2-2(+2)-13=0. 整理，得2十2k一8=0， 解得1=2，k2=一4. :3子 .点=2. 13.解：(1)5÷4=1.25(m/s) 故小球的液动速度平均每秒减少1.25m/s. (2)设小球液动5m约用了xs 由题意，得x·5+(5-1.252=5. 2 整理，得x2-8x十8=0， 解得1■4-22，x:=4十2② 当x=4+2W2时，5-1.25x=5-1.25×（4+22)=-5y 2 <0,不符合题意，舍去： 当x=4-22时，5-125x=5-1.25×（4-22=5y2 0,符合题意，此时x=4一221.2. 故小球滚动5m约用了1,2s 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22,1.1二次函数 1.C2.D3.B4.-35.(1)一次(2)二次 6.解：(1)y■x2+5x (2)当x=1时，y=6:当x=√2时，y=5V2十2：当x=2时，y =14. 故当该矩形每条边的长都增加1cm,√2cm,2cm时，矩形的 面积各增加6cm,(5√2十2)cm2,14cm2 7.2变式题08.C9.C10.A 11.(1)0(2)m≠0且m≠1 12.y=-2π.x2+40xx13.y=2x2-4x十4(0≤x≤2) 14解：s=-x+2x(得长<8 (2)令S=45,则-3x2+24x=45, 解得x1=3(不合题意，舍去)，x2=5, AB的长为5m 15,解：(1)由题意，得每件商品的利润为(x一30)元，∴.m件的 利润为y=(x一30). 又，m=162-3x, .y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860. m>0,.162-3x≥0，.x≤54. 又x≥30，.30≤x≤54. 故商场销售这种商品每天的利润y与每件的售价x之间的 函数关系式为y=-3x2十252x-4860(30≤x≤54). (2)不能.理由如下： 令-3x2+252x一4860=500，移J项，得3x2-252x十5360= △=(-252)2-4×3×5360=-816<0. 方程无实数根， .商扬每天销售这种商品的利阀不能达到500元. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 1.C2B3.y=号4D5.D6.13 7.解：(1)根据题意，得k十2≠0且k十k一4=2，解得k1■一3， eg=2, :当x<0时，y随x的增大而增大， .二次函数的图象开口向下，即k十2<0，解得k一2，. =-3. (2)-4≤n≤0 8.D9.B10.A11.C12.2w3 13.解：(1)把A(-2,40代入y=a2,得4=4a,解得a=1,∴y 世 由题意可知，点A,B关于y轴对称， B2,4. (2)设点P的坐标为(p,p). AB=2-(-2)=4,5am=2AB,w-w=2, 171 上册参考答案