21.1-21.2 一元二次方程 解一元二次方程-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

参考答案 第二十一章一元二次方程 9.无实数根 21.1一元二次方程 10.解：(1)原式=-4×2-3×（一6）=-8十18=10. 1.B2.B3.C4.3x2-7x+6=0 (2)由题意可得，x(mx十1)一(2x一1Dm■0， 5.26.x(20-x)=647.D8.x(x-12)=864 即mx2十(1一2m)x十m=0. 9.(104■-4,2=-1(2)=0，a=-3 ,美于x的方程有两个实数根， 10解：(1)-1 A=(1-2m)2-4m2=1-4m≥0，且m≠0， (2)m是方程x2-2红-1=0的一个根，∴m2-2m-1一 ·加的取值范围为m≤且州≠0， 0,且m≠0.将等式两边同时除以m,得m一-2-二=0，一m m 第2课时用公式法解一元二次方程 -1=2 1.D2.C3.B4.B5.22+√62w2-√6 5 21.2解一元二次方程 6.=1+5,x=1-37.D8.C9.Q)m≤2 (2)2 21.2.1配方法 10.解：(1)△=(-4)2一4×3=4， 第1课时直接开平方法 x=4±g 2 1.B2.-2 3.解：(1)移项，得4红2=16. .x=3,x:=1 二次项系数化为1，得x=4. (2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边的长为√3一1平 直接开平方，得x1=2=一2 =22. (2)移项，得0.6y2=9. 当3是直角三角形的直角边长时，第三边的长为√3十下 二次项系数化为1，得y2=15. =/10. 直接开平方，得”=√1，y=一√15. 综上可知，第三边的长为2√2或√1而. 4.C5.1(答案不唯一) 21.2.3因式分解法 6.解，整理，得(x-1)2=8 1.C2.1=0,x2=-23.x1=1x4=2 直接开平方，得x一1=士2W2, 4.解：小做和小霞的解答过程都不正确。 即x=2W2十1，x=-2/2+1 正确的解答过程如下： 7A8.A9.910士61号或-是2-号咳 移项，得3(x一3)一(x一3)1=0. 提取公因式，得(x一3)(3一x十3)=0， 第2课时配方法 则x一3=0或3一x十3=0， 1.D2.D3.二4.B 解得x1=3,x:=6. 5.解：1)配方，得x2+4红十2=5+22，(x十2)2=9.由此可得 5.解：(1)原方程可化为(3t)2一(t-1)2=0. x十2=±3，∴.x1=1x8=一5. 因式分解，得(3十1-1D)(31-1十1)=0， (2)移项，得x2一6x=3,配方，得x2一6x十32=3十3，(x- 3)2=12.由此可得x-3=士23，x1=3十23，=3- 即（-1D(2红+1=0，解得4=号4=-号 23. (2)因式分解，得(x+2一5)=0，即(x一3)3=0，解得x= =3. 6.x=2-1 6.D 7.解：(1)二次项系数化为1，得x2-2x=一3 7.解：(1)配方，得(x-3)2=27,.x一3=土33， 配方，得-2x+1=一是+1,6x-1= 解得x1=3+33,x=3-33. (2)方程整理，得x(x一4)十(x一4)=0， 由此可得x一1=士号，=合后=受 即(x-4)(x十1)=0， 解得x=4,x=一1. (2)移项，得号2-6x=7 8.5或√/79.C10.D11.x2-2x-8=0(答案不难-) 12.113.2014.1或3 二次项系数化为1，得x2-12x=14. 15.解：(1)4 配方，得x2-12x十62=14十62，(x一6)2=50. 由此可得x一6=士5W2, (2)由题意，得受-3,3->0， “1=6十5W2,x2=6-5W2. .m=6,n<9, 8.D9.B10.A11B12x-y=-是 ,方程可化为x一6x十n=0. 把x=n代入方程x2一6x十n=0中，得n2-6m十n=0,即 21.2.2公式法 n2-5n=0,.n(m-5)=0,解得4=0，他=5， 第1课时一元二次方程根的判别式 16.解：(1)x=3 1.1323.B4.C5>-16C7.A8D (2)移项，得x-2=√2x-I. 两边平方，得x2-4x十4=2x-1, 169 上册参考答案 整理，得x2-6x十5=0： 5.B 解得x1=1,x2=5. 6.解：1)①310②w,卫(2)8(3)9 当x=1时，x一2=一1<0，不满足题意 9 当x=5时，x一2=3>0，满足题意 7.C8.C9.9 故原“无理方程”的解为x=5. 10.解：(1)由题意可知，第一轮被传染的人数为x,第二轮被传 “21.2.4一元二次方程的 染的人数是x(x十1)，.两轮传染后，患上流感的人数为1 根与系数的关系 +x十x(x十1)=(x+1)°， (2)由题意，得(x十1)=100， 1.A2.C3.-14.7506.A7.C8.293 解得x1=9,x:=一11（舍去） 10.解：1D证明：4=(a十3)2一4×1×(a十1)=a+6a十9-4a ∴经过第三轮传染后，惠上流感的人数为100×(9十1)一 -4=a2+2a+5=(4+1)2+4>0, 1000. “方程总有两个不相等的实数根 设医院需要设置y个重症病房，则设置(1000一y)个普通病 (2),方程的两个实数根为1，， 房 .x1十x=一(a十3)，x1·=a+1 由题意，得号10-)≤y,解得y≥166号 (x1-2)(x2一2)=2， 六x1·x1-2x1-2十4=2， ”y为正整数，≥167， x1·x1-2(x1十)十4=2， .医院至少需要设置167个重症病房 11.解：(1)a十1a十7a十8 .a+1-2[-(a十3)]+4=2， (2)420 解得a=一3. 11.-1≤k<012.B13.C14.1415.-3 (3)嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 假设嘉嘉的说法正确。 16.解：(1)p1 依题意，得(a十1)(a十7)=135 (2)由(1)，得x1十x=p,x1x:=1, 整理，得a2十8a-128=0, 1+=t==p 解得a:=8,4:=一16（不合题意，舍去）. :关于x的一元二次方程x2一px十1=0（争为常数）有两 2月8日为周六，不符合题意， ,嘉嘉的说法错误」 个不相等的实数根1和x, 假设淇淇的说法正确， “-1+1=0,5-p+1=0,即+=p 依题意，得a(a+8)=84: (3),x十x=2净+1，十x:=p,x1x=1, 整理，得a2十8a一84=0， 解得a:=6,a妇=一14（不合题意，舍去）. “(x十)2-21=2p+1,即p-2=2p十1， ·2月6日为周四，符合题意， 解得=3，p=一1， ,祺淇的说法正确 当p=3时，△=p2-4=9-4=5>0: 第2课时平均变化率与销售问题 当p=一1时，△=p2一4=一3<0，不合题意， ,p的值为3. 1.B2.3041+x)2=684 17,解：(1)示例：选择① 3.解：1)设这两个月该景区游客人数的月平均增长率为x.由 证明：设幻-一+分，5.6-V公-4 题意可列方程为1.61十x)2=2.5, 解得x=0.25=25%(负值已舍去). 2a 2a 故这两个月该最区游客人数的月平均增长率为25% 1十■ -b+-iatb-/8-hac (2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万.由题意可列 2a 2a 方程为2.125十10y≤2.5(1十25%)， -b+仔-4ac-b--4ac_-26。-6 解得y≤0.1，.5月份后10天日均接待游客人数最多是 2a 2a 0,1万. (2):x1,x是一元二次方程x2一3x十1=0的两个根， 4.135.(100-80-x)(100+10x)=2250 五十西=-方=34石==1， 6.解：(1)当x=40时，由题意，得(170一2x)x一(500十30x) a 170-2×40)×40-(500十30×40)=1900. ∴.x1十x1=(x十x)-2xx好 故当日产量为40只时，每日获得的利润为1900元. =[(1十x)2-2五]P-2(1) (2)由题意，得170-2x)x一(500+30z)=1750,解得1 =(3-2)2-2 25,x2=45(不合题意，舍去). =47. 故当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元 (3)由题意，得/P9十”十9=-4， 7.C8.A9.(1)10(2)六 (pqr=-1, 10.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=x十b,将(1,110)， 8,150代人得0-.s得信I0 21.3实际问题与一元二次方程 故y关于x的函数解析式为y=10x十100. 第1课时传播与数字问题 (2)由题意，得(10x十100)(55-x-35)=1760.整理，得x2 1.62.D3.98 -10x-24=0, 4.解：设周喻逝世年龄的个位数字为x,则十位数字为x一3， 解得x1=12,x:=一2（不合题意，舍去）， 根据题意，得10(x一3)十x=x, .55-x■43. 解得x=5,x:=6. 故这种消毒液每桶实际售价43元： 当x一5时，周瑞逝世的年龄是25岁，小于而立之年，不符合 11.解：(1)依题意，得1十a%)1+2a%)=1十15.5%. 题意，舍去： 整理，得42十1504-775=0，解得a1=5,4:=一155（不合题 当x=6时，周瑜逝世的年龄是36岁，符合题意 意，舍去). 故周瑜逝世的年龄是36岁 故a的值为5. 170 数学九年级BJ版第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 要点提示 1,定义：只舍有一个未知数（一元），并且未知数的最高业数是2（二次）的整式方程，叫做一元二业方程】 2.一般形式：一元二次方程的一般形式是ax2十bx十c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数：bx是 一次项，b是一次项系数C是常数项， 3.解（根）：使一元二次方程左右而边相￥的未知数的值叫微一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 O1固基础 02提能力号 知识点1一元二次方程的定义 7.若关于x的一元二次方程(m一3)x2十mx 1.(2025新余期末)下列方程中，是一元二次方 =9x十5化为一般形式后不含一次项，则m 程的是 ( 的值为 () A.0 B.士3 A.x+1=2 B.x2-4x=3 C.3 D.-3 C.x+2y=1 D.xy-3=5 8.古代数学文化(2025赣州章贡区期末)1275 年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷 2.若关于x的方程(m一3)xm1十8x十2m=0 法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四 是一元二次方程，则m的值是 ( 步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几 A.3 B.-1 步.意思是矩形田地的面积为864平方步，宽 C.3或-1 D.士3 比长少12步.问宽和长各几步.若设长为x 知识点2一元二次方程的一般形式 步，则可列方程为 3.将一元二次方程3x2一2=x化成一般形式 9.关于x的方程a(x十k)2十2025=0的解是 后，常数项是一2，则二次项系数和一次项系 x1=-2,x2=1(a≠0). 数分别是 ( (1)关于x的方程a(x++2)2+2025=0 A.3,-2 B.3,1 的根是 C.3,-1 D.3,0 (2)关于x的方程a(x一k+2)2+2025=0 4.将一元二次方程7x一6=3x2化为一般形式 的根是 为 10.已知m是方程x2-2x一1=0的一个根， 知识点3一元二次方程的解（根】 (1)一2m2+4m十1的值为 5.(2024深圳)一元二次方程x2-3x十a=0的 (2求m一的值。 一个解为x=1,则a的值为 知识点4根据实际问题列一元二次方程 6.用一根长40cm的绳子围成一个面积为 64cm的矩形.设矩形的长为xcm,则可列 方程为 上册第二十一 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时直接开平方法 要点提示 1.定义：把一元二次方程x=p或(mx十n)2=p(p≥0)“降次”，转化为x=土p成mx十n=士√p,这种解方程 的方法叫做重接开平方流， 2.用直接开平方法解一元二次方程的步骤：(1)将方程变形为(mx十)户=p(p≥0)的形式：(2)直接开平方，得 mx十n=土p:(3)写出原方程的解，=二n十D,k,=二n二卫 州 …… O1固基础) 6.用直接开平方法解方程：2(x一1)2一16=0. 知识点1解形如x2=p(p≥0)的方程 1.(教材变式)方程2x2=1的解是 ( A==- B.x1=2,= 2 ◆易错点忽略完全平方的非负性而出错 7.若(x2+y-5)2=64,则x2+y等于( A.13 B.13或-3 2.若关于x的一元二次方程(m-2)x2十x十 C.-3 D.以上都不对 4=0的一个根为0，则m的值为 02提能力 3.用直接开平方法解下列方程： (1)4.x2-16-0. (2)0.6y2+3=12. 8.已知一元二次方程(x一3)2=1的两个根恰 好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰 长，则△ABC的周长为 () A.10 B.10或8C.9 D.8 9.若一元一次方程ax2=(ab>0)的两个根分 别是m+2与2m-5,则 10.若(x十y十3)(x十y-3)=27,则x十y= 知识点2解形如(mx十n)2=p(p≥0)的 方程 11.若关于x的方程(ax一1)2-16=0的一个 4用直接开平方法解一元二次方程}（红一1” 根是2，则a的值为 =9,步骤如下： 12.（2024广州）定义新运算：a☒b ①(x-1)2=36:②x-1=土6：③x=士7： a2-b(a≤0)， ④1=7，x2=-7. 例如：(-2)⑧4=（一2） -a十b(a>0). 其中开始出错的步骤是 ( A.① B.② C.③ D.④① -4=0,283=-2+3-1.若x⑧1=-3 Γ4 5.若关于x的一元二次方程(x十3)2=c有实数 则x的值为 根，则c的值可以为 (写出一个即可). 数学九年级RJ板 第2课时 配方法 要点提示 1.定义：通过配成宽全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法 2.用配方法解一元二次方程的步骤：(1)如果方程的二次项系数不为1，就将二读项票整化萄1：(2)移项，使方 程左边只有二次项和一次项：(3)在方程两边都加上一使项桑教一建的平岁：(4)把原方程变为(x十m)=n的 形式：(5)如果n≥0，就用直接开平方法求出方程的解，否剥方程无实数枢 O1因基础 7.用配方法解下列方程： 知识点①配方 (1)4x2-8x=-3. (22-6x-7=0. 1.若代数式x2一kx十4是完全平方式，则飞的 值是 ( ) A.-4 B.0 C.4 D.士4 2.(2024一2025赣州安远期中)用配方法解一 元二次方程x2一6x十8=0，配方后得到的方 程是 ( A.(x+6)3=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 3.若方程x2+6x十2=0能配方成(x十p)2十q 02提能力乡 =0的形式，则直线y=px十q不经过第 8.(2024一2025南昌期中)若关于x的二次三 象限 项式x8十nx十m是完全平方式，则m与n 知识点2用配方法解二次项系数为1的一 的关系式为 () 元二次方程 A.m=4n2 B.m=-4n2 4.方程x2一2x一24=0的根是 C.m=一 4 D限=等 A.x1=6,x2=4 B.x1=6,x%=一4 9.已知x2十y2-6x十6y十18=0，则代数式x C.x1=-6,x2=4D.x1=-6,x2=-4 十y的值为 () 5.用配方法解下列方程： A.-1 B.0 C.30 D.36 (1)x2+4x=5. (2)x2-6x-3=0. 10.若x2-4x十4|与√2x一y一3互为相反数， 则x十y的值为 ) A.3B.4 C.6 D.9 11.已知方程x2一6x十q=0可以配方成(x )2=7的形式，那么y2-6y十q=2可以配 方成 () A.(y-)2=5 B.(y-)2=9 C.(y-p+2)=9D.(y-p+2)2=5 知识点3用配方法解二次项系数不为1的 12.如果16(x-y)2十40(x-y)十25=0，那么 一元二次方程 x与y之间的关系是 6.方程2x2十4x=2的正实数根为 上册第二十一章 21.2.2公式法 第1课时 一元二次方程根的判别式 要点提示 当△>0时，方程ax2十bx十c=0(a≠0》有两个来相等的实数根：当△=0时，方程ax2十bx+c=0(a≠0)有两个 相等的实数根：当△<0时，方程ax2十bx十c=0(a≠0)无实熬根， O1固基础● 02提能力念 知识点1一元二次方程根的判别式 7.(2024广安)若关于x的一元二次方程(m十 1.一元二次方程x2十3x一1=0根的判别式的 1)x2一2x十1=0有两个不相等的实数根， 值为 则m的取值范围是 ) 2.若关于x的一元二次方程2x2-4x十m=0 A.m<0且m≠-1B.m>0 根的判别式的值为4，则m的值为 C.m≤0且m≠-1D.m<0 8.在平面直角坐标系中，若直线y=一x十m 不经过第一象限，则关于x的方程mx2十x 知识点2利用根的判别式判别方程根的情况 十1=0的实数根有 () 3.(2024一2025新余分宜期中)关于x的一元二 A.0个 B.1个 次方程x2十x十1=0的根的情况是() C.2个 D.1个或2个 A.有两个不相等的实数根 9.已知a,b,c分别是三角形的三条边长，则关 B.没有实数根 于x的方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的 C.有两个相等的实数根 根的情况是 D.有两个实数根 10.我们规定：对于任意实数a,b,c,d有[a,b们 知识点③利用根的判别式确定字母的值 *[c,d]一ac一bd,其中等式右边是通常的 或范围 乘法和减法运算.如：[3,2][5,1]-3×5 4.(2024北京)若关于x的一元二次方程x2 -2×1=13. 4x十c=0有两个相等的实数根，则实数c的 (1)求[-4,3]*[2，-6]的值 值为 ( (2)已知关于x的方程[x,2x一1]*[mx十 A.-16B.-4C.4 D.16 1,m]=0有两个实数根，求m的取值范围. 5.若关于x的一元二次方程x2十2x一c=0有 实数根，则c的取值范围是 。易错点忽略二次项系数不为0而出错 6.已知关于x的一元二次方程kx2-(2k-1)x 十一2=0有两个不相等的实数根，则实 数的取值范围是 A.>- B.k<I C.- D.k<且≠0 数学九年级R板 第2课时用公式法解一元二次方程 要点提示 解一个具体的一元二次方程时，起各系数直接代入甫报公或=二b士厅一4 2a ,可以避免配方过程而直接得 出根，这种解一元二次方程的方法叫做名式储。 O1固基础】念 02提能力 知识点1一元二次方程的求根公式 7.一元二次方程(x十1)(x一3)=2x一5的根 1.在用求根公式工=一士B4c求解一元 的情况是 () 2a A.无实数根 二次方程3x-1一2x2=0时，a,b,c的值分 B.有一个正根，一个负根 别是 C.有两个正根，且都小于3 A.3,-1,-2 B.-2,-1,3 D.有两个正根，且有一个根大于3 C.-2,3,1 D.-2,3,-1 8.(2024河北)淇淇在计算正数a的平方时，误 2.以x=1±-1)-4X2X(-3) 算成a与2的积，求得的答案比正确答案小 2×2 为根的一 1,则a= () 元二次方程是 ( A.1 B.2-1 A.2x2+x-3=0 B.x2-2x-3=0 C.√2+1 D.1或，2+1 C.2x2-x-3=0 D.x2+2x-3=0 9.已知关于x的一元二次方程x2十2x十2m 知识点2用公式法解一元二次方程 4=0有两个实数根。 3.一元二次方程x2一x一1=0的两个实数根 中，较大的那个根是 ( (1)m的取值范围为 (2)若m为正整数，且该方程的根都是整数， A.x=1+√5 B.x=1+⑤ 2 则m的值为 C.x=1-⑤ 10.(2024青海)(1)解一元二次方程：x2-4x 2 D.x=-1+5 2 +3=0. 4.若方程(m-2)xm一2x十1=0是关于x的 (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方 一元二次方程，则方程的根是 程的根，求第三边的长， A.x=-5±5 2 B.x=-1±5 4 C.x=±1±⑤ 2 D.以上都不对 5.解方程x2十2=42x,得x1= x= 6.定义a*b-+26,则方程2x*2)-（2* 2 2x)=1的解为 上册第二十一章 21.2.3因式分解法 要点提示 1.先因式分解，使方程化为两个一使式的乘积考于0的形式，荐使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这 种解一元二次方程的方法叫做图式零解法， 2.用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将方程的一边化为0：(2)将方程另一边分解成两个一次式的乘积 的形式；(3)令两个一次式分别等于0，即得到两个一元一次方程：(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原 方程的解， O1因基础 知识点2利用乘法公式解一元二次方程 5.用因式分解法解下列方程： 知识点1利用提取公因式法解一元二次 (1)92-(t-1)2=0. 方程 1.(教材变式)一元二次方程x2一2x=0的解 是 ( ) A.x1=x2=2 B.x1=x2=-2 C.x1=0,2=2 D.x1=0,x2=-2 (2)(x+2)2-10(x+2)+25=0. 2.一元二次方程x2-3x=一5x的两根分别 为 3.一元二次方程x(x一2)=x一2的根是 4.小敏与小霞两名同学解方程3(x一3)=(x 知识点3选择合适的方法解一元二次方程 一3)2的过程如下： 6.解方程(5x-1)2=3(5x一1)最简便的方法 小敏： 小度： 是 () 两边同徐以(x一3)， 移项，得3(x一3)一(x A.直接开平方法 B.配方法 得3=x一3， 3)1=0. C.公式法 D.因式分解法 则x=6. 提取公因式，得(x一3)(3 7.(2024一2025赣州章贡区期中）用适当的方 -x-3)=0, 法解下列方程： 则x-3=0或3-x-3 (1)x2-6x-18=0. =0, 1=3,x=0. 你认为她们的解答过程是否正确？若都不 正确，请写出你的解答过程。 (2)x(x-4)-4十x=0. 6 数学九年级RJ板 》易错点忽略分类讨论的思想而出错 “中点值”是3，其中一个根恰好为n,求n 8.已知方程x2一7x十12=0的两根恰好是 的值. Rt△ABC的两条边的长，则Rt△ABC的 第三边长为 02提能力 9.若实数k,b是一元二次方程(x十3)(x一1) =0的两个根，且k<b,则关于x的一次函 数y=kx十b的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 03拓思维 10.若关于x的一元二次方程(m一1)x2十2x 十(m2一1)=0的常数项为0，则方程的两 16.注重学习过程阅读下列材料： 个根为 ( 像x十√工+I=5这样，被号内含有未知数的方 A.x1=-1,x2=0B.x1=-1,x2=1 程，我们称之为“无理方程” C.6=-1,x2=-2D.x1=0,2=1 解法如下： 11.根据因式分解法解一元二次方程的方法， 移项，得√x十1=5一x 写出一个以x为未知数，以一2和4为根的 两边平方，得x十1=25一10x十x2, 一元二次方程： 解得工=3，x2=8. 12.当x= 时，代数式x2-x与x一1 (1)磊磊认为材料中一元二次方程的两个 的值相等。 根就是“无理方程”的解；小琪认为一元二 13.已知菱形的一条对角线的长为8，其边长为 次方程的根并不满足“无理方程”，还应考 方程x2一9x十20=0的一个根，则该菱形 虑5一x的值非负. 的周长为 请写出你所认为的材料中“无理方程”正确 14.跨物理学科将一小球从地面以20m/s的 的解： 速度做竖直上抛运动，已知小球离地面的 (2)解“无理方程”：x-√2x-1=2. 高度h(单位：m)与抛出时间t(单位：s)的 关系为A=20-g2,则当小球离地15m 时，抛出的时间为 s(g取 10m/s2). 15.在关于x的一元二次方程x-2ax十b=0 中，若a2一b>0,则称a是该方程的“中点 值” (1)方程x2一8x十3=0的“中点值”是 (2)已知关于x的方程x2一mx十n=0的 上册第二十一章 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 要点提示 1.若方程ar十br十c=0(a≠0)的两根分别为着，，对报与系数的关系为名十=一占 Γ。=后特别地，当 a=1时，x十x=一b,x=C 2.常用变形知下：①十。=(6十)-2②+1-十五：③（西一）=（石十）-4拓④(6十 1)(十1D=1十（十）十1 O1因基础念 A.-10 B.4 C.-4 D.10 知识点1利用根与系数的关系求代数 8.设x1,x2是关于x的方程x2一3x十k=0的 式的值 两个根，且x1=2x2,则k= 1.若，x2是方程x2一6x一7=0的两个根， 9.已知a,3是关于x的一元二次方程x2+(2m 则 ( 十3)x十m2=0的两个不相等的实数根，且 A.x1十xa=6 B.x1十x2=-6 C.x1-6 7 D.x1x2=7 清足十合-1，则m的值是 10.已知x2+(a+3)x十a十1=0是关于x的 2.方程x2-2x-4=0和方程x2一4x十2=0 ( 一元二次方程. 中，所有的实数根之和是 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根 A.2 B.4 C.6 D.8 (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1一 3.(2024一2025赣州安远期中)若，x2是方 程x2一2x一3=0的两根，则x十x2十xx2 2)(x2-2)=2,求实数a的值. 4.(2024眉山)已知方程x2十x一2=0的两根 分别为西西则+的值为 5.已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的 两个根，则m2十mm十2m的值为 知识点2利用根与系数的关系确定方程中 字母的值 6.已知关于x的一元二次方程x2-5mx十6m =0(m>0)的两个实数根的平方和为52，则 m的值为 ( ·易错点忽略一元二次方程有实数根的 A.2 B.1 C.4 n号 条件△≥0而出错 11.若关于x的方程x2十2(k十2)x十2=0 7.已知m,n是关于x的一元二次方程x2一3x 的两个实数根之和大于一4，则及的取值 十a=0的两个根.若(m-1)(n一1)=一6， 范围是 则a的值为 数学九年级RJ板 02提能力 ……… …念O3拓思维心… 12.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x十a 17.已知一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0) 一1=0的两个实数根互为相反数，则a的 的求根公式为工=一b士分4ac(一4ac 值为 ( ) 2a A.2 B.0 C.1 D.2或0 >≥0)，当，x8是一元二次方程ax2十bx十 13.关于x的方程(x一1)(x十2)=扩(p为常数) c=0(a≠0)的两根时，有：①西+=-b 的根的情况，下列结论中，正确的是( ) A.有两个正根 ②西-合 B.有两个负根 【结论证明】(1)请在①②中选择一个结论 C.有一个正根，一个负根 进行证明。 D.无实数根 【知识应用】(2)若x1,x2是一元二次方程 14.(2024泸州)）已知x1,x2是一元二次方程 x2一3x十1=0的两个根，不解方程，求x x2一3x一5=0的两个实数根，则(x1一x2)2 十x的值， 十3无1x2的值是 【类比拓展】(3)若x1,x2,x:是一元三次方 15.已知1，x2是关于x的一元二次方程x2十 程ax3十bx2十cx十d=0(a≠0)的三个根， 3x十m一1=0的两个实数根.若2（十x2) 则原方程可变形为a(x一x)(x一x2)(x 十x1x2十10=0，则m的值为 6 x)=0,则有五十x2十2=- 16.(2024内江)已知关于x的一元二次方程 x2一x十1=0(p为常数)有两个不相等的 西十西=后西西=一是已知一元 实数根无1和x2 三次方程x3十2x2一4x十1=0的三个根分 (1)填空：x1十x2= ，x1xg= 别为p,gr,求+1+1的值 ②求号+安十的值 (3)已知x十x=2p+1,求p的值. 上册第二十一章