第一章 1 菱形的性质与判定-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 要点提示 藿形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做覆形 藿形的性质：(1)具有一般平行四边形的所有性质，(2)菱形的四条边都相号，(3)菱形的对角线互相鑫直，并且 每条对角线平分一姐对唐，(4)菱形是轴对称图形，共有南条对悬轴，即两条对角线所在的两条直线：菱形也是 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点， O1固基础 4s。0年 A.(3,1) B.(3,-1) C.(1.-3) D.(1,3) 知识点1菱形的定义 6.(2024一2025抚州临川区月考)如下图，在菱 1.下列四个条件中，能使如图所示的□ABCD 形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线 是菱形的是 AC于点F,交AB于点E,连接DF.求证： A.∠B=∠D B.AB-AD AF=DF. C.∠A+∠B=180°D.AB=CD 第1题图 第2题图 2.如图，在□ABCD中，若∠ABD=∠ADB, 则四边形ABCD是 知识点2菱形的性质 3.菱形不具备的性质是 ( ) A.四条边都相等B.对角线一定相等 C.它是轴对称图形D.它是中心对称图形 4.如图，菱形ABCD的周长为20，点A的坐标 是(4,0)，则点B的坐标是 ( A.(3,0)B.(0,3)C.(4,0)D.(0,4) ●易错点混淆菱形的特性与平行四边 形的共性 7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性 质是 第4题图 第5题图 A.两组对边分别相等 5.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如 B.两条对角线相等 图所示，点C的坐标是(6,0)，点A的纵坐标 C.四个内角都是直角 是1，则点B的坐标是 ( D.每一条对角线平分一组对角 上册第一草 02提能力 …念O3拓思维心… 8.如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC, 12.在菱形ABCD中，E,F分别是BC,CD上 交BD于点E.若∠A=118°，则∠CEB的度 的点 数为 ( (1D如图①，若CE=CF,求证：AE=AF A.59° B.62 C.69° D.72 (2)如图②，若∠B=∠EAF=60°，∠BAE =20°，求∠CEF的度数， (3)若AB=4,∠BAD=120°，△AEF为等 边三角形，则当点E,F在BC,CD上滑动 第8题图 第9题图 时，四边形AECF的面积和△CEF的周长 9.(2024一2025榆林府谷期中)如图，菱形 是否发生变化？如果不变，请直接写出定 ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点 值：如果变化，请直接写出最小值。 D作DH⊥AB于点H.若∠BAD=54°，则 ∠BDH的度数为 10.如图，菱形ABCD的边长为 2.5cm,∠ABC=60°，E,F 围② 分别是BC,BD上的动点， 且CE=DF,则AE十AF的 第10题周 最小值为 cm. 11.(教材变式)如右图，菱形 花坛ABCD的周长是 B 80m,∠ABC=60°，沿着菱 形的对角线修建了两条小路AC和BD,相 交于点O.求： (1)两条小路AC,BD的长 (2)花坛的面积. 数学九年级BS版 第2课时 菱形的判定 要点提示 菱形的判定方法：(1)定义法，有一组边相等的平行四边形是菱形，(2)判定定理，①对角线互相叠直的平行四 边形是菱形：②四边相馨的四边形是菱形 01 固基础念 知识点①有一组邻边相等的平行四边形是 菱形 1.如图，在口ABCD中，AB= 知识点3四边相等的四边形是菱形 9cm,BC=4cm.将CB沿 5.如图，在四边形ABCD中，AB BA方向平移得到EF,则当 第1题图 =4,当AD=BC=DC= BF= cm时，四边形DAFE是菱 时，四边形ABCD 形，依据是 是菱形。 第5题围 6.如右图，在四边形ABCD 知识点2对角线互相垂直的平行四边形是 中，AB=AD,BD平分B 菱形 ∠ABC,∠A=∠C.求证：四 2.如图，□ABCD的对角线AC和BD相交于 边形ABCD为菱形. 点O.下列说法正确的是 ( A.若OB=OD,则□ABCD是菱形 B.若AC=BD,则口ABCD是菱形 C.若OA=OD,则□ABCD是菱形 D.若AC⊥BD,则□ABCD是菱形 ●易错点不能正确运用菱形的判定方法 第2题图 第3题图 而致错 3.(教材变式)如图，在□ABCD中，对角线AC 7.如图，在△ABC中，AB= =6,BD=8.当AB的长为 时， AC.将△ABC沿边BC翻 B □ABCD是菱形. 折，得到的△DBC与△ABC 4.如下图，在□ABCD中，作对角线BD的垂直 拼成四边形ABDC,则能直 平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于点 第7题图 接判定四边形ABDC是菱形的依据是 E,F,连接BE,DF.求证：四边形BFDE是 ( 菱形 A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线相等的平行四边形是菱形 上册第 02提能力 (3)如果△ABC不是等腰三角形（如图②）， 其他条件不变，当点P运动到什么位置时， 8.(2024通辽)如图，□ABCD的对角线AC, 四边形ADPE是菱形？请说明理由. BD交于点O.以下条件不能证明口ABCD 是菱形的是 () A.∠BAC=∠BCAB.∠ABD=∠CBD C.OA2+OD=AD D.AD2+OA=OD2 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，AD,CD分别平分∠BAC 和∠ACB,AE∥CD,CE∥AD.若从①AB= AC,②AB=BC,③AC=BC这三个条件中选 03拓思维 择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE 11.如下图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC 是菱形的是 (填序号) 60cm,∠A=60°.点D从点C出发沿CA 10.如图①，△ABC为等腰三角形，AB=AC 方向以6cm/s的速度向点A匀速运动，同 6,P是底边BC上的一个动点.PD∥AC 时点E从点A出发沿AB方向以3cm/s PE∥AB,点D,E分别在AB,AC上. (1)求四边形ADPE的周长， 的速度向点B匀速运动.当其中一个点到 (2)当点P运动到什么位置时，四边形 达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 ADPE是菱形？请说明理由. D,E运动的时间是ts(0<t≤10)，过点D 作DF⊥BC于点F,连接EF.四边形 AEFD能成为菱形吗？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由 图 图② 数学九年级BS版 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 要点提示 旋形的面积：菱形的面积等于西条对角孩长的羲烈的一建， 菱形的性质与判定：(1)菱彩具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归钠为三个方面：①从 边看，对边平行，四边相等：②从角看，对角相等，郎角互补：③从对角线看，对房线互相垂直年分，并且每一条对 角线平分一组对角，（②）判定一个四边形是菱形，可以先判定这个四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等成 对角线互相垂直，也可以直接证明四条边相等， O1因基础 知识点2菱形的性质与判定的综合应用 4.(2025西安碑林区校级期末) 知识点①菱形的面积 如图，两张等宽的纸条交叉重 1.如图，在菱形ABCD中，AB=10,AC=12, 叠在一起，重叠的部分为四边 则它的面积是 形ABCD.若测得A,C两点之 第4题图 间的距离为12cm,B,D两点之间的距离为 16cm,则这两张纸条的宽为 () A.19.2cm B.10 cm 第1题周 D.4.8 cm A.24 B.48 C.96 D.192 C.9.6 cm 5.如下图，口ABCD的对角线AC,BD相交于 2.(2024一2025抚州临川区月考)菱形的面积 为24，其中的一条对角线长为6，则此菱形 点O,且BD=2AB,AE∥BD,OE∥AB. (1)求证：四边形ABOE是菱形. 的周长为 (2)若AO=10,四边形ABOE的面积是 3.(教材变式)如下图，菱形ABCD的周长为 40cm,它的一条对角线BD长10cm 120,求BD的长 (1)∠ABC的度数为 (2)求菱形另一条对角线AC的长和菱形的 面积 上册第一草 02提能力 ……心03拓思维心… 6.如图，△ABC是边长为2的等边三角形.将 9.如下图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, △ABC沿BC方向向右平移得到△DCE,连 AD是∠BAC的平分线，P是AD上任意一 接AD,BD,则下列结论错误的是( 点.过点P作EF∥AB,分别交BC,AC于 A.AD=BC 点E,F,作PM∥AC,交AB于点M,连 B.BD⊥DE 接MF. C.四边形ACED是菱形 (1)求证：四边形PFAM为菱形 D.四边形ABCD的面积为43 (2)当四边形PFAM的面积为四边形 BEFM面积的一半时，AP与AD满足什么 数量关系？请说明理由， 第6题 第7题国 7.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于 点O,E,F分别是BC,CD的中点.将菱形 ABCD沿EF折叠，点C恰好与点O重合. 若AC=8,BD=6,则图中阴影部分的面积 为 8.如下图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC的 平分线与AC交于点O,过点A作BC的平 行线与∠ABC的平分线交于点D,连 接CD. (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于 点E.若BO=25,DE=4,求CE的长 数学九年级BS版参考 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 1.B2.菱形3.B4.B5.B 6.证明：如图，连接BF ,四边形ABCD是菱形， ∴.CA平分∠BCD,BC=CD, ∴∠BCF=∠DCF. 在△BCF和△DCF中， (BC=DC, ∠BCF=∠DCF CF-CF. △BCF≌△DCF(SAS), .BF=DF. EF垂直平分AB, ..AF-BF,..AF=DF. 7D8.A92710号 11,解：(1)，菱形花坛ABCD的周长是80m,∠ABC =60°， ..AB=BC=DC=AD=20 m,AO=CO,BO=DO, AC⊥BD, ,△ABC是等边三角形， .AC=20m,∴.A0=10m 在Rt△AB0中，B0=√20-10F=103(m), ∴.BD=2BO=20w3m. (2)花坛的面积=S6n十S△m=号BD·A0+ 号BDc0-号AC·BD=号×20×20y5=205 (m2). 12.解：(1)证明：：四边形ABCD为菱形， ∴.∠B=∠D,AB=BC=CD=AD 又CE-CF,.BE=DF 在△ABE和△ADF中， AB-AD, ∠B=∠D, BE-DF. ∴.△ABE≌△ADF(SAS), .AE=AF. (2)如图，连接AC. ,四边形ABCD为菱形， ,∠B=∠D=6O°，AB=BC=CD =AD, ·△ABC与△CDA均为等边三角形， 答案 ,AB=AC,∠B=∠ACD=∠BAC=60. :∠EAF=60°， ∴，∠BAE=∠CAF 在△ABE和△ACF中， ∠BAE=∠CAF, AB=AC, ∠B=∠ACF, .△ABE≌△ACF(ASA), ..AE=AF. :∠EAF=60, .△EAF为等边三角形， ∠AEF=60° '∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF, ∴.∠CEF=∠BAE=20° (3)四边形AECF的面积不变，定值为43；△CEF 的周长发生变化，最小值为4十23. 第2课时菱形的判定 1.5有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.D3.5 4,证明：由题意可知，O为对角线BD的中点， ,四边形ABCD为平行四边形， ,AD∥BC,OD=OB,∴.∠EDO=∠FBO 又：∠EOD=∠FOB, ,.△DOE≌△BOF(ASA), .OE=OF, ∴四边形BFDE是平行四边形. WEF⊥BD, ,∴，四边形BFDE是菱形 5.4 6.证明：，BD平分∠ABC, ·∠ABD=∠CBD 又：∠A=∠C,BD=BD, ,.△ABD2△CBD(AAS), .AB=CB,AD=CD. .AB=AD. .AB=CB=CD=AD, ,四边形ABCD为菱形. 7.B8.D9.② 10.解：(1)PD∥AC,PE∥AB, ∠DPB=∠C,∠EPC=∠B. AB=AC,∠B-∠C ∴∠B=∠DPB,∠C=∠EPC, ..DB=DP,PE=EC, ∴.四边形ADPE的周长=AD十DP+PE+AE= AD+DB+EC+AE-AB+AC-6+6=12. (2)当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱 169 上册参考答案 形.理由如下： PD∥AC,PE∥AB, .四边形ADPE是平行四边形， ..PD-AE,PE=AD P是BC的中点，∴PB=PC ∠B=∠C, 在△DBP和△ECP中，BP=CP, ∠DPB=∠EPC △DBPC2△ECP(ASA),.DP=EP, ∴.口ADPE是菱形 (3)如图，当点P运动到∠BAC的 平分线上时，四边形ADPE是菱 形.理由如下： :PD∥AC,PE∥AB, ∴，四边形ADPE是平行四边形. :AP平分∠BAC,·∠1=∠2 AB∥EP,∴∠1=∠3， ,∠2=∠3，.AE=EP, ,□ADPE是菱形 11.解：四边形AEFD能成为菱形 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°， ,∠C=90°-∠A=30 在Rt△CDF中，∠C=30",CD=6tcm, ∴DF-2cD-3em :点E从点A出发沿AB方向以3cm/s的速度向点 B匀速运动，∴AE=3tcm,.AE=DF ∠B=90°，DF⊥BC,∴DF∥AB ,,四边形AEFD是平行四边形.当AD=AE时，四 边形AEFD是菱形 .AC=60 cm,..AD=(60-6t)cm, 令60-6-3，解得-9 故四边形AEFD能成为菱形，相应的：值为婴 第3课时 菱形的性质与判定的 综合应用 1.C2.20 3.解：(1)120 (2),菱形ABCD的周长为40cm,BD=10cm, ∴AB=}×40=10(em),0B=2BD=号×10=5 (cm),AC⊥BD,AC=2AO 在Rt△AOB中，AO=AB-OB=/10-5= 5W3(cm), .AC=2A0=2×53-103(cm), 六m-号AC·BD-}×105X10=505 (em). 4.C 5.解：(1)证明：”四边形ABCD是平行四边形， 170 数学九年级B$版 ∴0B=0D-=BD BD=2AB,..AB=OB. AE∥BD,OE∥AB, ,四边形ABOE是平行四边形. 又，AB=OB,.□ABOE是菱形 (2)如图，连接BE,交OA于点F. ,四边形ABOE是菱形，AO=10, 0ALBE,AP=0F-专A0- 10-5,BF-EF-号BE :四边形ABOE的面积是120， A BE-BE-12. 2 ∴.BE=24, ∴BF=号BE=2×24=12, ∴.0B=BF+0F=√/12+5=13， ∴.BD-20B=2×13=26. 6.D7.18 8.解：(1)证明：BD平分∠ABC, .∠ABD=∠DBC :AD∥BC,∴·∠ADB=∠DBC, ,∠ABD=∠ADB, ∴.AB=AD.:AB=BC ..AD=BC. ,∴，四边形ABCD是平行四边形.：AB=BC, ,,四边形ABCD是菱形 (2),四边形ABCD是菱形， :.CD=BC.BO=DO=25, .BD=4w5, ∴.BE=√BD-DE=V(45)-4=8. 设CE=x,则BC=BE-CE-8-x, .CD=BC=8-x. 在Rt△CDE中，CD=CE+DE, .(8-x)=x2+4, 解得x=3,.CE的长为3. 9.解：(1)证明：：EF∥AB,PM∥AC ∴四边形PFAM为平行四边形. :AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD EF∥AB,∠BAD=∠FPA, ∴∠CAD=∠FPA,.FA=FP, ,∴.四边形PFAM为菱形. (②)AP-号AD,理由如下： 如图，设MF与AD交于点G,过点 F作FH⊥BC于点H, 由(1)，得四边形PFAM为菱形， .AD⊥MF,AP=2GP, ∴Seewmu-受MF·AP-AMF.GP :AB=AC,AD是∠BAC的平分线， .AD LBC,.MF∥BC 又：EF∥AB,∴.四边形BEFM为平行四边形， .SaB度w=MF·FH 当SamAM-是5asw时，MF·GP=MF· 。1 FH,:.GP-FH. 易得GD-FH,iGP-GD, AG=GP=PD,AP=号AD 故当四边形PFAM的面积为四边形BEFM面积的一 半时，AP=号AD 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.∠A=90(答案不唯-)2.C3.D4.65.C 6.解：(1)△BDE是等腰三角形.理由如下： :∠ABC=∠ADC=90, .△ABC,△ADC都是以AC为斜边的直角三角形. :E是AC的中点， DE=BE-号AC, ,△BDE是等腰三角形. (2),AC=10,BD=8, ,△BDE的周长为BD+BE+DE=BD+AC=18. 7.5√②或458.C9.B10.√10 11.解：(1)重合部分是等腰三角形. 理由：四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,,,∠ADB=∠DBC :△BDE是由△BDC折叠得到的， ∴.∠EBD=∠DBC,∴.∠EBD=∠ADB, .BF=DF,重合部分是等腰三角形. (2)设DF=BF=x. 四边形ABCD是矩形， .AD=BC=8,∠A=90°， ..AF=AD-DF=8-x. 由勾股定理，得BF=AB十AF, 即x2=4+(8-x),解得x=5,即DF=BF=5, ∴5am=号AB·DF=X4X5=10, 12.解：1)证明：，四边形ABCD是矩形， .AB∥CD,AB=CD, .∠MAB=∠NCD.在△ABM和△CDN中， (AB=CD, ∠MAB=∠NCD,.△ABM≌△CDN(SAS) AM=CN, (2)如图，连接EF,交AC于点O. 在矩形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点， .AD∥BC,AD=BC, .AE=CF,∠DAC=∠BCA 在△AEO和△CFO中， '∠EAO=∠FCO, ∠EOA=∠FOC, AE-CF. ∴△AEO≌△CFOCAAS), ∴.OE=OF,OA=OC 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC -5i0A-2 易得四边形ABFE是矩形，∴EF=AB=3. 当点G在OA上时，：∠EGF=90, 0G-号EF-iAG-0A-0G=1 当点G在OC上时，.同理可得OC-名EF- 21 ∴.AG=OA+OG=4. 综上所述，AG的长为1或4 第2课时 矩形的判定 1.12 2.证明：：在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的 中线， AD⊥BC, ∴∠ADB=90 :四边形ADBE是平行四边形， 四边形ADBE是矩形. 3.C4.3 5.证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD=BC, ·∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE E为BC的中点，.EB=EC, ,.△ABE≌△FCE(AAS),'.AB=FC 又：AB∥CF,四边形ABFC是平行四边形. .AD=BC,AD-AF, .BC=AF,∴.四边形ABFC是矩形 6.矩 7.证明：：BD,BE分别是∠ABC,∠ABP的平分线， ∠ABD+∠ABE=(∠ABC+∠ABP)=90,即 ∠EBD=90 :AE⊥BE,AD⊥BD, ∠E=∠D=90°， ∴.四边形AEBD是矩形 8.D9.∠ABC=90(答案不难-）10号 11,解：(1D证明：：四边形ABCD是平行四边形， ,∴.BO=OD,AO=OC. :E,F分别为AO,OC的中点， E0=0A,0F=号0c, ..EO=FO, .四边形BFDE是平行四边形， ..BE=DF. 171 上册参考答案