第四章 4 探索三角形相似的条件-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

4探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 要点提示 相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相修三角形，其中，我们把对应边的比叫做相似比 相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似，可简单地说：西角分期相等的两个三角形相拟 O1固基础念 5.(2024陕西A卷)如图，正方形 CEFG的顶点G在正方形 知识点1相似三角形的定义 ABCD的边CD上，AF与DC 1.下列各组三角形一定相似的是 交于点H.若AB=6,CE=2, 第5题 A.两个等腰三角形B.两个直角三角形 则DH的长为 ( C.两个钝角三角形D.两个等边三角形 2.已知△ABCc∽△A'B'C',若AC-3,A'C'= A.2 B.3 a D. 1.8,则△A'B'C‘与△ABC的相似比为 6.如下图，AD,BC相交于点P,连接AC,BD, ( 且∠1=∠2，AC=6,CP=4,DP=2.求BD A号 c 的长 3.如下图，已知△ABC∽△ADE,DE=3,BC =9. ①求能的位。 (2)若AE=4,求AC的长. 易错点相似三角形中的对应关系考虑 不全面 知识点2利用两角分别相等判定三角形相似 7.如图，在△ABC中，AB= 4.如图所示的三个三角形，相似的是( 6,AC=4,点E在AB上， 且AE=3,点F在AC上， 连接EF.若△AEF与第？遁困 65 △ABC相似，则AF的长为 ① ② 第4题用 A.①② B.②③ C.①③ D.①@②③ 54 数学九年级BS版 02提能力 (2)若CD=6,AD=8,求MN的长. 8.(教材变式)有一副三角板，AD=BC,顶点A 重合，将△ADE绕其顶点A旋转.在旋转过 程中，以下4个位置，不存在相似三角形的 是 ( 9.如图，AB∥EF∥DC,AD ……O3拓思维 ∥BC,EF与AC相交于点 13.如下图，在矩形ABCD中，AB=6m,BC= G,则相似三角形共有 ( 第9题围 8m,动点P以2m/s的速度从点A出发，沿 AC向点C移动，同时动点Q以1m/s的速 A.3对 B.5对 C.6对 D.8对 度从点C出发，沿CB向点B移动.设P,Q 10.(2025乐陵期末)如图，在△ABC中，AB= 两点移动的时间为ts(0<t<5). 6,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转得 到△AEF,使得AF∥BC,延长BC交AE (1)当t= 时，以P,Q,C为 于点D,则线段CD的长为 顶点的三角形与△ABC相似. (2)在P,Q两点移动的过程中，四边形 ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能， 求出此时t的值；若不能，请说明理由 D 第10题围 第11题图 11.如图，在正方形网格中，A,B,C,D是网格 线交点，AC与BD相交于点O,小正方形 的边长为1，则AO的长为 12.如下图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分 ∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于点 M,连接CM交DB于点N. (1)求证：BD2=AD·CD. 上册第四弹 55 第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法 要点提示 相似三角形的判定定理2：如果两个三角形的西组对量边成比例，并且相应的桑角相号，那么这两个三角形相似 可筒单地说：西边成比州且头角相号的两个兰角形相似 O1固基础念 (写出一种情况即可). 知识点利用两边成比例且夹角相等判定三 角形相似 1.(教材变式)如图，下列四个三角形中，相似 的三角形是 第4题因 5.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且 12 45 30 20 品品，则∠ACB的度数为 ④ 第1题围 A.①和② B.①和④ C.③和④ D.①和④、②和③ 第5题 第6题图 2.能判定△ABC△DEF的条件是( 6.如图，∠A=∠DBC,AB=4,AC=6,BC A是股 5,BD=7.5,则CD的长为 B提品∠A-∠F 7.如下图，在四边形ABCD中，CA是∠BCD c能品∠B=∠E 的平分线，且AC=CD·BC.求证：△ABC C△DAC n0S∠A-=∠D 3.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交 于点O,将这个四边形分成①，②，③，④四 个三角形.若OA:OC=OB:OD,则下列结 论中，一定正确的是 ( 易错点相似三角形对应边不确定导致 第3题围 A.①和②相似 B.①和③相似 错误 8.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D C.①和④相似 D.②和④相似 4.条件开放题（(2024滨州)如图，在△ABC 105°，AC=4cm,AB=6cm,DE=3cm, 中，点D,E分别在边AB,AC上.添加一个 则DF的长为 条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是 时，△ABC与△DEF相似. 56 数学九年级BS版 02提能力 …… (2)求A,B两点间的距离. 9.(教材变式)如图，D是△ABC的边BC上 点，连接AD,能使△ABCc∽△DBA成立的 条件是 ( A.AC:BC-AD:BD B.AC:BC=AB:AD C.AB2=CD·BC 第9题图 D.AB=BD·BC 10.如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE, 当点D刚好落在BC上时，连接CE.设 AC,DE相交于点F,则图中相似三角形的 对数是 () A.3 B.4 C.6 D.8 …… 03拓思维 14.如右图，∠MON=90°，A是M ∠MON内部的一点，过点A C 作AB⊥ON,垂足为B,BA= OE B N 第10题国 第11题图 3cm,BO=4cm.动点E,F同时从点O出 11.如图，在△ABC中，D为BC上一点.若BC 发，点E以1.5cm/s的速度沿ON方向运 店AB=8BD,则是的值为 动，点F以2cm/s的速度沿OM方向运 动，EF与OA交于点C,连接AE.当点E 12.如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A 到达点B时，点F随之停止运动.设运动时 (4,0),B(0,8),点C的坐标为(2,0)，在线 段AB上有一动点P,连接CP.当AP的长 间为s0<). 为 时，△ACP与△AOB (1)当t=1时，△EOF与△ABO是否相 似？请说明理由。 相似. (2)求证：在运动过程中，不论t取何值，总 有EF⊥OA. 第12题围 13.(2024一2025昆明西山区期中)如下图，A, B两点被一池塘隔开，在AB外任选一点 C,分别在AC,BC上取点D,E,测得CD= 30m,CE-45m,AD=60m,BE=15m, DE=32 m. (1)求证：△EDC∽△ABC 上册第四草 第3课时 三边成比例的判定方法 要点提示 相似三角形的判定定理3：如果两个三角形的三组对量边成比例，那么这两个三角形相似，可筒单地说：三边成比 州的面个三角形相付 O1因基础心 ,其相似比为 知识点利用三边成比例判定三角形相似 1.若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能 使△ABC与△DEF相似的是 ( ) 3,EF= A.AB=3,BC=8,AC=9,DE=1 第4题国 第5题图 5.如图，方格纸中每个小方格的边长为1，若 2,DF=6 A,B,C,P,Q,甲、乙、丙、丁都是方格纸上的 B.AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=10, 格点，为使△ABC∽△PQR,则R点应是 DF=16 甲、乙、丙、丁点中的 点 C.AB=1,BC=2,AC=2,DE=√6，EF= 6.(教材变式)如下图，方格纸中每个小正方形 5,DF=5 的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在 D.AB=1,BC=5,AC=3,DE=√15，EF 方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是 =2√5，DF=√6 否相似，并说明理由。 2.(2024一2025榆林府谷期中)如图，小正方形 的边长均为1，则下列三角形（阴影部分）与 △ABC相似的是 ( 第2题图 第3题图 易错点考虑问题不全面而导致错误 3.如图，在△ABC中，P是AC上的一点，连接 7.已知一个直角三角形的两条边长分别是 BR当指-8器 6和8，另一个直角三角形的三边长分别 时，△ABP 是3,4，x,要使这两个直角三角形相似，x Cp△ACB. 的值 4.如图，O是△ABC内任意一点，且AD A.只有1个 B.有2个 A0.BE=号B0.CF=号C0.则△ABC0 C.有3个 D.有无数个 数学九年级BS版 02提能力 …… 之O3拓思维 8.要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框 12.如图，在△ABC和△A'B'C'中，D,D分别 架，已有三角形框架甲，它的三边长分别为 AD A'D' 是AB,A'B'上一点，ABAB 50cm,60cm,80cm,三角形框架乙的一边长 为20cm,那么符合条件的三角形框架乙共 有 种 9.在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长 均相等，小正方形的顶点为格点)中，根据 D当品-S-管时，求证：△ABC “马走日”的规则，“马”落在位置 △A'B'C'. (填序号)处时，能使“马”“车”“炮”所在位置 证明的途径可以用下面的框图表示，请填 的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在 写其中的空格 位置的格点构成的三角形相似 ADAD AB AB ADAB AD AB CD AC AB AC AB CD AC AB A'C AB △ABC △A'BC AADC∽△A'D'C 第9题图 第10题国 AC BC 10.在每个小正方形的边长均为1的网格中， ②当品-品-器时，判浙△ABC 每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是 与△A'B'C是否相似，并说明理由。 格点的三角形称为格点三角形.如图， Rt△ABC是6×6网格中的格点三角形，则 该网格中所有与Rt△ABC相似的格点三 角形中，面积最大的三角形的斜边长是 1知下图，AB/AB,瓷-8器C 8然试说明：△ABC△ABC 上册第四弹 59 第4课时黄金分割 要点提示 黄金分制：中下周，点C把线段AB分度两条我段AC和BC(AC>BC,加果分S-C.年么格线段AB横点C类 金分割，其中C网做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.线较AB的黄全分割点有两个，且黄全 比AC-5,1≈0.18. AB 2 O1因基础 知识点2黄金分割的应用 4.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果 知识点1黄金分割的概念 AB的长度为8cm,那么AP的长度是() 1.已知点C把线段AB分成两条线段AC和 BC,下列说法错误的是 ( A.(25-4)cm B.(4√5-4)cm A若ASC.则线段AB技点C黄金分制 C.(45+4)cm D.(4十25)cm B.若AC=AB·BC,则线段AB被点C黄 金分割 C.若线段AB被点C黄金分割，则AC与 AB的比叫做黄金比 第4题因 第5题园 D.一条线段有两个黄金分割点 5.(2024一2025榆林府谷期中)大自然是美的 2.(教材变式)已知C是线段AB的黄金分割 设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会 点，AC>BC.若AB=2,则AC的长为 产生最具美感的黄金分割比例.如图，B为 ( AC的黄金分割点，即AB=BC·AC.若 A.5-1 B.3-5 AC=20cm,则BC的长为 cm. C.5-1 2 D.0.618 6.在人体的躯干上，肚脐是理想的黄金分割 3.如下图，已知AB=2,C是AB的黄金分割 点，即脚底到肚脐的高度与身高的比值越接 点，点D在AB上，且AD=BD·AB. 近0.618，越给人以美感.一名模特脚底到肚 (1)求CD的值. 脐的高度与身高的比值为0.60，她的身高为 (2)求证：C是AD的黄金分割点. 1.60m.她选择多少厘米高的高跟鞋看起来 A七DB 会更美（结果精确到0.1cm)? 60 数学九年级BS版 02提能力 …念O3拓思维 7.如图，在四边形ABCD D 10.黄金分割在我们的数学学习中也处处可 中，∠DAB=∠B=90°， 见，比如我们把有一个内角为36的等腰三 E为边AB的黄金分割点 角形称为“黄金三角形” (AE>BE).AD-AE, 第7题图 BC=BE,AC,DE将四边形分为四个部分， 它们的面积分别用S,S2,S,S4表示，则下 列判断正确的是 ( 因①D 图② 3 A.S:=4S B.S:=Ss (1)①若C是线段AB的黄金分割点(AC C.Ss=S D.S4=3S2 8.实数a,n,m,b满足a<n<m<b,这四个数 >BC),则AC与AB的比值是 在数轴上对应的点分别为A,N,M,B(如 ②如图①，学校元旦晚会的舞台AB长为 图).若AMP=BM·AB,BN2=AN·AB, 20m,主持人小明学习了相关的数学知识 则称m为a,b的“大黄金数”，n为a,b的“小 后，认为站在点C处更自然得体（已知C是 黄金数”.当b一a=2时，m一元= 线段AB上靠近点B的黄金分割点)，则此 时小明与点A的距离为 m. (2)如图②，请将内角分别为36°，36°，108 第8题图 的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”， 9.如下图，以长为2的线段AB为边作正方形 并标出每个“黄金三角形”内角的度数。 ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的 (3)如图③，已知等腰三角形ABC为“黄金三 延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边 角形”，AB=AC,∠A=36,BD为∠ABC的 作正方形AMEF,点M在AD上， 平分线.求证：D是AC的黄金分割点. (1)求AM,DM的长. (2)M是AD的黄金分割点吗？请说明 理由。 上册第四留器∠2-∠AcE,∠1-∠E AD平分∠BAC,∠1=∠2，∠ACE=∠E, AE=AC…小2-0 (2)9+35 2 3相似多边形 1.D2.A3.甲和丙4.A5.86.5 7.解：1D83 (2):四边形ABCD四边形A'B'CD', 滑器-品得C-是 A8-2BC-12 8.A9.A10.2311.2 12.解：(1)不相似.理由如下： 由题意，得AB=30,A'B'=28,BC-20,B'C-18 :2818 ·30201 ∴.矩形ABCD与矩形A'B'CD'不相似 (2)由题意，得AB=30,A'B'=30-2x,BC=20, B'C=18. 若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似， g瓷提脂 30' 解得x=1.5或x=9. 故当x为1.5或9时，矩形ABCD与矩形A'B'CD 相似. 13.解：设点M,N的运动时间为ts(0<t≤8) .'AB-12 cm,BC-16 cm.AE=DF-8 cm. ∴.CF=BE=AB-AE=4cm. ①当E形CNMF矩形AEFD时，是-需 即号-。解得=1： 西当矩形CFMN矩形AEFD时，是-器 即专一得解得一4 综上所述，当点M,N运动1s或4s时，矩形CFMN 与矩形AEFD相似. 4探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 1.D2.D 3.解：(1)△ADE△ABC, .AE DE 1 AC-BC3 2能-号AE-4 ∴.AC=3AE=12. 4.A5.B 6.解：∠1=∠2，∠APC=∠BPD,△BPD∽ △APC8肥-8B即吧-是BD-8 7.2波号8.D9.C10.51.9 12.解：(1)证明：：DB平分∠ADC, .∠ADB=∠CDB. 又：∠ABD=∠BCD=90°， ·△ABD∽△BCD, 部0 .BD=AD·CD (2):BM∥CD,∴.∠MBD=∠BDC, .∠ADB=∠MBD, .BM=MD,∠MAB=∠MBA, BM-MD-AM-TAD-4. BD=AD·CD,且CD=6,AD=8, .BD=48, .BC BD-CD =12. ,BM∥CD, .∠MBC=180°-∠BCD=90°， .MC=MB+BC=28, .MC=27. '∠MNB=∠CND,∴.△MNBc∽△CND, 0深号MN- 5 13解：号支9 (2)四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等.理由 如下： 如图，过点P作PH⊥BC于点H, 则∠PHC=∠B=90 :∠PCH=∠ACB,∴.△CPH c△CAB, 2.PH_PC B 器1” 10 ÷PH-30=6,当四边形ABQP与△CPQ的面积 5 相等时，SaAc-Sacg=Sage,即Sac=2SacQ, 日×6×8=2×号…0。整理，得f-红+ 5 20=0.,△=(-5)2-4×20=-55<0，∴.此方程无 实数解， ∴.四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等， 第2课时两边成比例且夹角相等的判定方法 1B2D3B4把-福（答案不理-）5.90 6约 7,证明：：CA平分∠BCD,.∠ACB=∠DCA. AG-CD.BC 181 上册参考签案 .△ABCo△DAC 8.2m或4.5cm9.D10,B1.号12.26政26 13.解：(1)证明：CD=30m,CE=45m,AD=60m,BE =15m, ..AC=CD+AD=90 m,BC=BE+CE=60 m, 是-品腮那 恶畏 又：∠C=∠C .△EDC∽△ABC (2)由(1)可知，△EDC△ABC, .DE_CD 1 "BACB2· ,∴.AB=2DE=64m, A,B两点间的距离为64m 14.解：(1)△EOF与△ABO相似.理由如下： 当t-1时，OE-15cm,OF=2cm.:BA=3cm,BO OE OF 1 =4cm,六B所-80=立又“∠EOF=∠AB0= 90°，，∴.△EOFn△ABO (2)证明：在运动过程中，OE=1.5tcm,OF=2tcm, aA-3m,B0=4m,小8器-86又：∠B0F ∠ABO=90,,∴.△EOFc∽△ABO,,∴.∠EFO= ∠AOB.又：∠AOB+∠FOC=90°，.∠EFO+ ∠FOC=90°，.∠FCO=90°，即EF⊥OA,∴.在运动 过程中，不论t取何值，总有EF⊥OA. 第3课时三边成比例的判定方法 1.A2.B3.A AC 4.△DEF3:25.丙 6.解：△ABC和△DEF相似.理由如下： 根据勾股定理，得AB=2√5，BC=5,AC=5,DF= 22,DE=4W2,EF=2/10, 0器器 ,.△ABC∽△DEF 7.B8.39.②10.52 11.解：：AB∥AB', 易得△OA'B'∽△OAB, ..A'B'_OB'OA' AB OB OA :e-0B.AC04 BC OB AC OA' .A'B'-B'C'A'C AB BC AC· ∴.△ABC∽△A'B'C 12解，a品瓷-0∠A=∠A (2)△ABC△A'BC.理由：如图，过点D,D分别 作DE∥BC,DE'∥BC',DE交AC于点E,DE交 A'C于点E 182 数学九年级BS板 :DE∥BC, 易得△ADEn△ABC, 铝腮能 用理可得瓷能瓷。 又：ADAD,DEDE DE BC “AB A BBC一BO心DPB0. 同理可得4E4E A1-4E AcA己1-45 AC :AC-AEACAE,即C-ES AC AC AC 品-品-0， 品器- ∴.△DCE∽△DC'E', ∴∠CED=∠CE'D' :DE∥BC,.∠CED+∠ACB-180. 同理，∠CE'D'+∠A'CB'=180°， ∴∠ACB=∠A'C'B'. 又8-瓷， .△ABC∽△A'B'C 第4课时黄金分割 1.C2.A 3.解：(1)AD=BD·AB,D是AB的黄金分割点， 且AD>BD,dAD-己AB=后-1.同理可得BC =5-1,∴.CD=AD+BC-AB=25-4. (2)证明：AD=√5-1，CD=2√5-4，.AC=AD CD-8后，船-气-C是AD能黄 金分割点. 4.B5.(30-105) 6.解：设这名模特脚底到肚脐的高度为xm. 由题意，得石0=0.60，解得x=0.96, 设她选择ym高的高跟鞋看起来会更美， 则85-0.618，解得y0.075 经检验，y=0.075是原方程的解且符合题意， 0.075m=7.5cm,.她选择大约7.5cm高的高跟鞋 看起来会更美， 7.B8.25-4 9.解：(1)：正方形ABCD的边长为2，P为AB的中点， AB-AD-2,AP-1AB-1. .在Rt△ADP中，PD=√AD+AP=√5 PF=PD,..AF=PF-AP=5-1. :四边形AMEF为正方形， .AM=AF=5-1, ∴.DM=AD-AM=2-(wW5-1)=3-5. (2)M是AD的黄金分割点，理由如下： 微 AD 器器 .M是AD的黄金分割点 10.解：1)05-1 2 ②(105-10) (2)(答案不难一)分割成的“黄金三角形”如图所示， 36/3636 (3)证明：AB=AC,∠A=36, ∠ABC=∠C=72 又：BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD-∠ABC-36, .∠BDC=180°-∠C-∠CBD=72, .AD=BD,BC=BD. 即AD=BC=BD. 又：∠C=∠C,∠CBD=∠A,∴.△CBD∽△CAB, 瓷瓷焉品D是AC的黄金分制点 *5相似三角形判定定理的证明 1.A2.B3.B4.90°5.(8,0) 6.证明：(1)四边形ABCD是菱形， BC=DC,∠D=∠B. 又：DF=BE,.△CDF2△CBE(SAS), .∠DCF=∠BCE. CD∥BH,∴∠H=∠DCF, .∠H=∠BCE. 又：∠B=∠B,.△BECO△BCH (②：BE-AB·AE,能-能 :CB∥DG, ∴.易得△AEGO△BEC, 能能 般腊 .BC=AB,..AG=BE. 由(I),得△CDF≌△CBE,.DF=BE,·AG=DF. 7.C8.4 9.解：(1)，ED⊥AB,∴.∠ADE=90°=∠C 又：∠A=∠A, △ADE△ACB,小是-福 AB=10,AC=8,AE=5, 把-高每得AD=4 (2)在AC上截取CH=CB,连接BH,如图. :∠ACB=60°， .△BCH为等边三角形， .CH=BH=BC=6,∠CHB=60°， .AH=AC-CH=8,∠AHB =120° ∠EDB=60°， ∠ADE=120°， ∴∠ADE=∠AHB 又：∠A=∠A △ADEO△AHB,器-铝即号-解得 AD-3. 10.解：(1DAD+DE=AE (2)BD=20√174m. 6利用相似三角形测高 1.B2.2.33.B 4.解：根据题意，得∠BAC=∠NAM,∠ABC=∠MNA =90°， ∴.△AMN△ACB, 器--o 同理可得△MND△FED, 鉴-院即器-5合o 1.6 由00，得4-15tA 1.6 ,解得AN=25, -草解得N- 故该塔的高度MN为43.5m. 5.B 6.解：如图，过点F作FM∥EC,交AB于点N,交CD于 点M 由题意，得MN=BC=30m,FN =BE=55.2 m,FM-CE-BE+ BC-85.2 m,NB-MC-EF-1.6 m,AN-20- 1.6-18.4(m) DM∥AN, ,.易得△FDM∽△FAN, .DM_FM AN FN' 4器 DM85.2 .DM=28.4m, .CD=CM+DM=1.6+28.4=30(m), .水塔的高度CD为30m, 7.解：如图，过点F作FM⊥EB交EB的延长线于点M, 交DC的延长线于点H,易得∠EMF=∠DHF=90°， 183 上册参考卷案