第三章 概率的进一步认识 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

本章小结 大单元思维导图 画树状图法含两个及以上因素或两步及以上试验 求概率的方法 列表法儿含两个因素或两步试验 概率的进 一步认识 用频率估计概率 当试验次数足够多时，用试验频率估计事件发生的概率 概率的应用 配色问题、游戏的公平性问题、概率与其他知识综合 运用问题等 大单元考点训练心 考点1用树状图或表格求概率 不同的钢笔各1支，先从中随机摸出1支， 1.学校运动会中，运动员小明与小刚要从铅 记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再 球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加 从中随机摸出1支，记录下它的颜色，那么 比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是 这两次摸出的钢笔为红色、黄色各1支的概 率为 A.号 B号 c D 6.在课后服务时间，甲、乙两班进行篮球比赛， 2.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第 在选择比赛场地时，裁判员采用了同时抛掷 一次正面向上、第二次反面向上的概率是 两枚完全相同的硬币的方法：若两枚硬币朝 上的面不同，则甲班优先选择场地；否则，乙 A号 c D.4 班优先选择场地.这种选择场地的方法对两 3.小明与小亮做猜拳游戏（如 个班级 (填“公平”或“不公 图)，规定每人每次至少要出 平”). 一根手指，两人出拳的手指 第3题阔 7.如果m是从1,2,3三个数中任取的一个数， 数之和为偶数时，小亮获胜，反之小明获胜。 n是从2,3两个数中任取的一个数，那么关 小亮获胜的概率为 ( 于x的一元二次方程x2一2mx十=0有实 A是 B号 c黄 n 数根的概率为 4.现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案 8.如下图，A,B两个带指针的转盘分别被分成 是留，1张卡片正面上的图案是“色”，它们 三个面积相等的扇形，转盘A上的数分别是 除此之外其余完全相同.把这4张卡片背面 一6，一1,5，转盘B上的数分别是6，一7,4 朝上洗匀，从中随机抽取2张，则这2张卡 (两个转盘除表面上的数不同外，其他完全 片正面上的图案相同的概率是 相同).小聪和小明同时转动A,B两个转 5.不透明的布袋中有红、黄、蓝3种只是颜色 盘，使之旋转 数学九年级BS版 (1)转盘A指针指向正数的概率是 摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若 再摸球100次，必有20次摸出的是红球. 其中正确的是 () (2)同时转动两个转盘，转盘A指针所指的 A.①②③ B.①② 数记为a,转盘B指针所指的数记为b.若a C.①③ D.②③ 十b>0,则小聪获胜；若a十b<0,则小明获 11.为调查某批乒乓球的质量，根据所做试验， 胜.请用列表法或画树状图法说明这个游戏 绘制了如图所示的折线统计图.现在从这批 是否公平 乒兵球中随机抽取1个，抽到“优等品”的概 率约为 (结果精确到0.01). 097物到“优等品“的频率 0.96 转盘A 转盘B 0.95 0.94 50100150200250300350抽取年兵 球的个数 第11题图 12.(2024一2025抚州临川区月考)在一个不透 明的袋子里装有若干个红球和12个黄球， 这些球除颜色不同外都相同，每次从袋子 中摸出1个球，记录下颜色后放回.经过很 多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定 在0.75，则袋子中有 个红球， 13.某蔬菜公司以2.1元/千克的成本价购进 10000kg番茄.该公司想知道这批香茄的 考点2用频率估计概率 损坏率，于是从所有番茄中随机抽取若干 9.一个不规则的六面体，它的六个面上分别刻 进行统计，部分结果如下表： 有点数1,2,3,4,5,6.将它抛掷100次，1点 番茄总质 100 200 300 400 500 1000 朝上的次数为30，则1点朝上的概率约为 量n/kg 损坏的番茄 10.6019.4230.63 39.2449.54101.10 质量m/kg A.1o B是 c D. 番茄损坏的 频率加 0.1060.0970.1020.0980.0990.101 10.在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球 据此可估计这批番茄损坏的概率约为 共有若干个，它们除颜色外都相同.小新从 (结果精确到0.1).若该公司 布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回， 希望这批蕃茄能获利15000元，则销售时 摇匀后再随机摸出一个球，记下颜色后放 (去掉损坏的番茄)的售价应定为 回，…，如此进行大量摸球试验后，小新 元/千克. 发现其中摸出红球的频率稳定在0.2，摸出 黑球的频率稳定在0.5.对此试验，他总结 出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出 白球的频率稳定在0.3：②若从布袋中随机 上册第三弹由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次漠 出的小球颜色恰好不同的结果有6种， 两次装出的小球颜色恰好不同的概率为一号 9.解：(1)2950.595(2)0.60.6 (3)由题意可知，要使获得“手工作品”的可能性不小 于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品“区域 的扇形的圆心角至少还要增加360°×0.5-一360×0.4 =36°. 本章小结 1.C2A3A4是5号6.公平7.号 8.解：号 (2)画树状图如图。 d a+50-13-25-8311-29 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中a十b>0 的结果有4种，a十<0的结果有4种， 小聪，小明获胜的概率均为号，这个游戏公平。 9.B10.B11.0.9512.413.0.14 第四章图形的相似 1成比例线段 第1课时线段的比和成比例线段 1.D2.D3.D4.10 5.解：：AD=20cm,BD=12cm, .AB=20+12=32(cm). 设AE=xcm. .CE=9 cm,..AC=(z+9)cm. 铝怨 器千解得15 ..AE=15 cm 6.解：设QY=x,则XQ=1一x. :PQ刚好将这个八边形平分成两个面积相等的 部分， ×5× :PQ下面的部分的面积为S三十S正=之 1+0+1=号×10， 怒得x=子Q-是则XQ=1-x-1-号- 5 2 .XQ52 …Q331 5 第2课时比例的基本性质和等比性质 1.D2.B3.12 4解：1)：号=音==2025，号=二音 180 数学九年级B$版 2025. :6d4f0,6特-音-2025 (2号---2025号---2025 6+2d-5j0小新-号-号-2025 :+2d-5f 1 'a+2c-5e2025 5.A6.号7.等边 8.解：(1)b+d=0,.b=-d. 又“号-京马身音∴ad=-cd,即a+e0d=0. 由分-号可知d≠0，a+c=0. (2)当a+6+c≠0时，叶c==+b=t b 2a+b+e=2,2-t-2=2-2-2=0: a+b+c 当a+b+c■0时，b+c■一a,a十c■一b,a+b=-c, 6+c-a十c-a+b=t=-1. a .2-t-2=(-1)°-(-10-2=0. 综上所述，产一t一2的值为0. 2平行线分线段成比例 1.D2.C 3解：AB/CD/EF,架-距即g-品 .65 解得CE=2.5, ∴.BE=BC+CE=5+2.5=7.5. 4.B5.7.5 6,DE/BC铝能 又8日AE=4花司 41 解得AC-12, ,.EC=AC-AE=12-4=8. (2)证明：：DE∥BC,EF∥CG, 铝能怨 AD·AG=AF·AB. 7.c8.C9.C10. 3 11.证明：：四边形ABCD是菱形， .BC∥AD,AB=DA=BC=CD,AB∥CD, 器器器品 又P-号AB,再器-名 .BP-CP_DA 1 AB QC DQ 2 AB=AD器-2D0-2AB 12.解：(1)证明：：CE∥AD,