第三章 2 用频率估计概率-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

2 用频率估计概率 要点提示 频率：在美一不确定事件中，考察对象出现的烫散与试验总次数的比叫做雍车， 概率：一般地，在大量童复同一试脸时，装事件的频率总稹近于来个嘴熟，在它附近摆动，这时就把这个常数网做 这一事件的概束」 O1固基础 4.(2024一2025榆林府谷期中)不透明的木箱 里装有12个红球和若干个蓝球，这些球除 知识点1频率与概率的关系 颜色外都相同.从木箱里随机摸出1个球， 1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频 记下颜色后再放回，经多次重复试验，发现 率与概率，下列说法正确的是 ) 摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计木 A.频率就是概率 箱中蓝球有 个 B.频率与试验次数无关 5.小夏同学从家到学校有A,B两条不同的公交 C.概率是随机的，与频率无关 线路.为了解早高峰期间这两条线路上的公交 D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越 车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机 接近概率 选取了500个班次的公交车，收集了这些班次 2.(2024贵州)小是同学通过大量重复的定点 的公交车用时t(单位：min)的数据，统计如 投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4. 下表： 下列说法正确的是 ( 公交车 25≤t 30<t 35<t 40<t A.小垦定点投篮1次，不一定能投中 用时/min ≤30 35 ≤40 ≤45 B.小星定点投篮1次，一定可以投中 公交线路 C.小垦定点投篮10次，一定投中4次 59 151 166 124 A的频数 D.小星定点投篮4次，一定投中1次 公交线路 43 57 149 251 知识点2用频率估计概率 B的频数 3.某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果 据此估计，早高峰期间，乘坐B线路用时不 如下： 超过35min的概率为 ；若要在 每批粒数n 2 10 50 100 40min之内到达学校，应尽量选择乘坐 发芽的频数m 2 4 9 44 92 (填“A”或“B”)线路。 发芽的频率 1.0000.8000.9000.8800.920 6.如图所示的是小明同学的某通 精确到0.001) 信登陆二维码示意图，用黑白 每批粒数n 500 1000 1500 20003000 打印机打印于边长为2cm的 发芽的频数m 463 928 1396 18662794 正方形区城内.为了估计图中 发芽的频率 黑色部分的总面积，在正方形 0.9260.9280.9310.9330.931 区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现 (精确到0.001) 点落人黑色部分的频率稳定在0,6左右.据 这种绿豆发芽的概率的估计值为 此可以估计黑色部分的总面积纳为 (精确到0.01). cm. 数学九年级Bs版 O2提能力 (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色 后放回箱子里，摇匀后再摸出1个小球.求 7.某小组在“用颊察估计概率”的试验中，统计 两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画 了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的 树状图或列表的方法)， 折线统计图.下列符合这一结果的试验最有 可能的是 频桑个 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 100200300400500次数 第7题围 A.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有 O3拓思维 颜色上的区别，从中随机地取出1个球是 9.某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以 黄球 自由转动的转盘.规定：顾客购物20元以上 B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时 就能获得一次转动转盘的机会，转盘上分别 面朝上的点数是6 标有“书画作品”和“手工作品”，当转盘停止 C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出 时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖 的是剪刀 品.下表是此次活动中的一组统计数据： D.掷一枚质地均匀的硬币，落地时是正面 向上 转动转盘的 100 200 300 400 500 1000 次数n 8.一个不透明的箱子里装有3个红色小球和 落在“书画作品” 若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完 60 122 180 238 a 604 区域的次数m 全相同.每次把箱子里的小球摇匀后随机摸 落在“书画作品” 出1个小球，记下颜色后再放回箱子里.通 区域的频率m 0.6 0.61 0.6 0.590.604 过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频 (1)上述表格中，a b= 率稳定在0.75左右. (2)当n很大时，频率将会接近 (1)请你估计箱子里白色小球的个数. 假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作 品”的概率约是 .(结果精确到 0.1) (3)若要使获得“手工作品”的可能性不小于获 得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区 域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？ 上册第三黄由树状图可知，P(两数字之和为10)=号-吉 (2)不公平，理由如下： 1 由(1D可知，P(两数字之和小于10)=3，P(两数字之 和不小于10)-号 :号≠号小这个游戏规则不公平。 示例：游戏规则可修改为这两数字之和小于10，爸爸 赢：大于10，小明赢；等于10，重新开始 6.D7.公平 8解，P选到女生)-碧- (2)这个游戏公平.理由如下： 5 8 9 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点数之和为 合数的结果有6种，为质数的结果也有6种， “P(点数之和为合数)=P(点数之和为质数)=立 是“这个等戏公平。 9解：0号 (2)不公平，画树状图如图 开格 小 小个 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小王掷 得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小的 结果有6种，P(这次机会给小王)=品=音P(这 次机会给小孝)一1吕-喜 “号≠营，这个规则对双方不公平。 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 1.B2C3号4号 1 5.解：根据题意，百树状图如图， 开始 红1 个、个 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中配得紫 色的结果有3种，“配得紫色的概率为立一本 31 6日7.B8是 9.解：(1)面树状图如图。 开始 转盘A 转盘B红黄蓝白蓝 红黄蓝 红黄蓝 (2)由(1)可得，共有15种等可能的结果，其中可配成 紫色的结果有3种，两个转盘转出相同颜色的结果有 4种， 1 、∴小强获胜的概率为是5，小亮获胜的概率为专， 此游戏不公平 (3)示例：如图. 转盆C 10.解：(1)必然不可能 e号 (3)根据题意，列表如下： 红1 红2 红3 蓝1 蓝2 红1 《红1，红2)（红1，红3）（红1，蓝1D(红1，蓝2） 缸2（红2，缸10 (红2，红3)（红2，蓝1D(红2，蓝2的 红3（红3，红1D缸3，缸2） (红3，蓝1D(缸3，蓝2 蓝1（蓝1，红1D(蓝1，红2） (蓝1，红 蓝1，蓝2分 蓝2（蓝2，红1D《蓝2，缸2）（蓝2，虹3（蓝2，蓝1D 由表可知，共有20种等可能的结果，其中“配紫色” 不成功的结果有8种，“配紫色”成功的结果有12种， P(甲获胜)-务-号，P乙获陆)号-， 82 .P(甲获胜)≠P(乙获胜)， .这个游戏不公平 2用频率估计概率 1.D2.A3.093485.} A6.2.47.B 8.解：(1)，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的 烦率稳定在0.75左右， ∴估计漠到红色小球的概常为0.75. 设白色小球有x个 根据题意，得3=0,75，解得x=1 经检验，x■1是原分式方程的解， ∴，估计箱子里白色小球的个数为1 (2)画树状图如图。 第一次 第二次虹虹：虹，白虹红虹，白虹红红，白虹虹虹，自 179 上册参考答案 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次漠 出的小球颜色恰好不同的结果有6种， 两次装出的小球颜色恰好不同的概率为一号 9.解：(1)2950.595(2)0.60.6 (3)由题意可知，要使获得“手工作品”的可能性不小 于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品“区域 的扇形的圆心角至少还要增加360°×0.5-一360×0.4 =36°. 本章小结 1.C2A3A4是5号6.公平7.号 8.解：号 (2)画树状图如图。 d a+50-13-25-8311-29 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中a十b>0 的结果有4种，a十<0的结果有4种， 小聪，小明获胜的概率均为号，这个游戏公平。 9.B10.B11.0.9512.413.0.14 第四章图形的相似 1成比例线段 第1课时线段的比和成比例线段 1.D2.D3.D4.10 5.解：：AD=20cm,BD=12cm, .AB=20+12=32(cm). 设AE=xcm. .CE=9 cm,..AC=(z+9)cm. 铝怨 器千解得15 ..AE=15 cm 6.解：设QY=x,则XQ=1一x. :PQ刚好将这个八边形平分成两个面积相等的 部分， ×5× :PQ下面的部分的面积为S三十S正=之 1+0+1=号×10， 怒得x=子Q-是则XQ=1-x-1-号- 5 2 .XQ52 …Q331 5 第2课时比例的基本性质和等比性质 1.D2.B3.12 4解：1)：号=音==2025，号=二音 180 数学九年级B$版 2025. :6d4f0,6特-音-2025 (2号---2025号---2025 6+2d-5j0小新-号-号-2025 :+2d-5f 1 'a+2c-5e2025 5.A6.号7.等边 8.解：(1)b+d=0,.b=-d. 又“号-京马身音∴ad=-cd,即a+e0d=0. 由分-号可知d≠0，a+c=0. (2)当a+6+c≠0时，叶c==+b=t b 2a+b+e=2,2-t-2=2-2-2=0: a+b+c 当a+b+c■0时，b+c■一a,a十c■一b,a+b=-c, 6+c-a十c-a+b=t=-1. a .2-t-2=(-1)°-(-10-2=0. 综上所述，产一t一2的值为0. 2平行线分线段成比例 1.D2.C 3解：AB/CD/EF,架-距即g-品 .65 解得CE=2.5, ∴.BE=BC+CE=5+2.5=7.5. 4.B5.7.5 6,DE/BC铝能 又8日AE=4花司 41 解得AC-12, ,.EC=AC-AE=12-4=8. (2)证明：：DE∥BC,EF∥CG, 铝能怨 AD·AG=AF·AB. 7.c8.C9.C10. 3 11.证明：：四边形ABCD是菱形， .BC∥AD,AB=DA=BC=CD,AB∥CD, 器器器品 又P-号AB,再器-名 .BP-CP_DA 1 AB QC DQ 2 AB=AD器-2D0-2AB 12.解：(1)证明：：CE∥AD,