第三章 1 用树状图或表格求概率-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

=(a-b)产-2 =-1. 7.解：1)移项，得81x2=1, 两边同案以81，得广一守 两边开平方，得x=士} 6函=日%=- 1 (2)移项，得x(2x一3)-(4x-6)=0, 因式分解，得(x一2)(2x一3)=0， ,x-2=0或2x-3=0, -2-号 (3)移项，得x2-4x=21, 配方，得x°-4x十4=25，即(x-2)2=25, 两边开平方，得x一2=士5， ,x1=7,xg=一3， (4)整理，得3x2一11x+9=0. △=121-4×3×9=13， “x=11±13 6 =11+压，5-11-13 6 8.A9.B10.B11.212.-4 13.直角三角形14.10% 15.解：设在两轮传染过程中，平均1人会传染给x个 人，则第一轮传染中有2x个人被传染，第二轮传染 中有(2十2x)x个人被传染 根据题意，得2+2x十(2十2x)x=8, 整理，得(1十x)=4, 解得无=1，x=一3（不符合题意，舍去）. 故在两轮传染过程中，平均1人会传染给1个人， 第三章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求概率 1.C2言3A 4.部：(1)随机 (2)画树状图如图， 开提 由树状图可知，所有可能的结果共有12种，且每种结 果出现的可能性相等，其中甲、丁2名同学都被选为 宜传员的结果有2种， “甲，丁2名同学都被选为宜传员的橱率是品= 126 5号6A7 8.解：(1)嘉洪走到十字道口A向北走的概率为3 178 数学九年级BS版 (2)补全树状图如图. 道行A 下一道口 左右 站果朝向 西南北 南东西 北西东 共有9种等可能的结果，嘉祺经过两个十字道口后向 西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参 观的结果有2种，向东参观的结果有2种，∴向西参观 的瓶率为}-}，向南参观的概率一向北参观的概率 三向东参观的概率二号，∴嘉洪经过两个十字道口后 向西参观的概率较大 9.解：(1)根据题意，列表如下： 1 2 ￥ 5 1 1,1)(1.2)1,3)(J,4) (1,5) (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5) 3 (3,1)(3,2) (3,3)(3,4) (3,5 (4,1)(4,2)(4,3)(4,4) (4,5) (5,1)(5.2)(5,3)(5,4)(5,5) (2)根据表格可知，他们写和猜的数字相同的清况一 共有5种，赐能们心灵相通“的概率为务-号 (3)根据题意，所有满足条件的事件如下： ①若a=1,则6=1,2；②若a=2,则6=1,2,3：③若a =3,则b=2,3,4:④若a=4,则b=3,4,5:⑤若a=5, 则b=4,5 由上述可知，共有2+3+3+3+2=13（种）结果， 能们公有灵星“的瓶率为是 第2课时判断游戏是否公平 1.C2.C 3.解：由题意，列表如下： 2 5 4 5 1 (1,1)(1,2)(1,3)1,40(1,5 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5) 由表可知，共有10种等可能的结果，其中两球编号之 和为奇数的结果有5种，两球编号之和为偶数的结果 也有5种， P代小冰获隆)-品-合，P小雪获生一。-是 .P(小冰获胜)=P(小雪获胜)，∴游戏对双方公平 4.D 5.解：(1)根据题意，面树状图如图 开她 由树状图可知，P(两数字之和为10)=号-吉 (2)不公平，理由如下： 1 由(1D可知，P(两数字之和小于10)=3，P(两数字之 和不小于10)-号 :号≠号小这个游戏规则不公平。 示例：游戏规则可修改为这两数字之和小于10，爸爸 赢：大于10，小明赢；等于10，重新开始 6.D7.公平 8解，P选到女生)-碧- (2)这个游戏公平.理由如下： 5 8 9 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点数之和为 合数的结果有6种，为质数的结果也有6种， “P(点数之和为合数)=P(点数之和为质数)=立 是“这个等戏公平。 9解：0号 (2)不公平，画树状图如图 开格 小 小个 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小王掷 得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小的 结果有6种，P(这次机会给小王)=品=音P(这 次机会给小孝)一1吕-喜 “号≠营，这个规则对双方不公平。 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 1.B2C3号4号 1 5.解：根据题意，百树状图如图， 开始 红1 个、个 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中配得紫 色的结果有3种，“配得紫色的概率为立一本 31 6日7.B8是 9.解：(1)面树状图如图。 开始 转盘A 转盘B红黄蓝白蓝 红黄蓝 红黄蓝 (2)由(1)可得，共有15种等可能的结果，其中可配成 紫色的结果有3种，两个转盘转出相同颜色的结果有 4种， 1 、∴小强获胜的概率为是5，小亮获胜的概率为专， 此游戏不公平 (3)示例：如图. 转盆C 10.解：(1)必然不可能 e号 (3)根据题意，列表如下： 红1 红2 红3 蓝1 蓝2 红1 《红1，红2)（红1，红3）（红1，蓝1D(红1，蓝2） 缸2（红2，缸10 (红2，红3)（红2，蓝1D(红2，蓝2的 红3（红3，红1D缸3，缸2） (红3，蓝1D(缸3，蓝2 蓝1（蓝1，红1D(蓝1，红2） (蓝1，红 蓝1，蓝2分 蓝2（蓝2，红1D《蓝2，缸2）（蓝2，虹3（蓝2，蓝1D 由表可知，共有20种等可能的结果，其中“配紫色” 不成功的结果有8种，“配紫色”成功的结果有12种， P(甲获胜)-务-号，P乙获陆)号-， 82 .P(甲获胜)≠P(乙获胜)， .这个游戏不公平 2用频率估计概率 1.D2.A3.093485.} A6.2.47.B 8.解：(1)，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的 烦率稳定在0.75左右， ∴估计漠到红色小球的概常为0.75. 设白色小球有x个 根据题意，得3=0,75，解得x=1 经检验，x■1是原分式方程的解， ∴，估计箱子里白色小球的个数为1 (2)画树状图如图。 第一次 第二次虹虹：虹，白虹红虹，白虹红红，白虹虹虹，自 179 上册参考答案第三章 概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求概率 要点提示 用树状图或表格求概率：当一次试酸涉及两个图素且可能出现的结黑戴司餐多时，一般采用利表的方法来确 定所有可能出现的结果和所研究事件的结果数：当一次试验涉及三个因素或妻多因素时，一般采用画树秋图 的方法来确定所有可能出现的结果和所研究事件的结果数， 求概率的注意事项：(1)准确完整地找出所言可能的结黑（基本事件）和发生事件的结票融：(2)注意每种站果 出现的等了能性：(3)分清题目的条件，远择拾当的方法 O1固基础 A号 B号 知识点1用表格求概率 1.(2024临沂)某校课外活动期间开展跳绳，踢 c n号 毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自 4.为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做 任选其中一项参加，则他们选择同一项活动 新时代好少年”的宣传活动.根据活动要求， 的概率是 ) 每班需要2名宜传员.某班班主任决定从 A号 甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学 B号 c号 n.号 作为宣传员。 2.古代数学文化学习了等可能事件的概率后， (1)“甲、乙2名同学都被选为宣传员”是 小明发现《田忌赛马》故事中也蕴含着丰富的 事件（填“必然”“不可能”或 数学知识.小明用数学模型来分析齐王与田 “随机”) 忌的上、中、下三个等级的三匹马，记分如下 (2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁2名 表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜者 同学都被选为宣传员的概率。 羸.已知齐王的三匹马出场顺序为10,8,6，则 田忌能赢得比赛的概率为 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 9 知识点2用树状图求概率 3.跨物理学科（2024内江】 如图所示的电路中，当随 ⑧ 机闭合开关S,S2,S中的 两个时，灯泡能发光的概 第3题围 率为 ( 数学九年级BS版 易错点不能正确区分“放回”与“不放 回”而致错 5.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小 球，球上分别标有数1，一2,4，一8.随机摸 取一个小球，记下上面的数m,然后不放 回，再随机摸取一个小球，记下上面的数 n,则mm为正数的概率是 02提能力 6.(2024一2025抚州临川区 月考)如图，一只松鼠先 经过第一道门(A或B或 03拓思维念 。。。 C),再经过第二道门(D 9.甲、乙两人玩数字游戏，先由甲写一个数字， 或E)出去，则松鼠走出 第6题国 再由乙猜甲写的数字.要求：他们写和猜的 笼子的路线是“先经过A门，再经过E门” 数字只在1,2,3,4,5这五个数字中 的概率是 () (1)请用列表法或画树状图法表示出他们写 A号 B号 和猜的所有情况 c号 n号 (2)若他们写和猜的数字相同，则称他们“心 灵相通”.求他们“心灵相通”的概率。 7.在四个完全相同的球上分别标上数一1,2， (3)若把甲写的数字记为a,把乙猜的数字记 一3,4，从这四个球中随机取出一个，记球上 为b,当他们写和猜的数字满足|a一b≤1时， 所标数为a,再从剩下的球中随机取出一个， 称他们“心有灵犀”.求他们“心有灵犀”的 记球上所标数为b,则一次函数y=ax+b的 概率」 图象不经过第三象限的概率是 8,某博物馆展厅的俯视示意图如图①所示.嘉 淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十 字道口，她可能直行，也可能向左转或向右 转，且这三种可能性均相同. (1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率. (2)补全图②的树状图，并分析嘉淇经过两 个十字道口后向哪个方向参观的概率较大 北 树状图： 开始 ,东 道口A 下一道口直 出入口 然果朝南西 图① 图② 上册第三章 第2课时判断游戏是否公平 要点提示 游戏的公平性：判断一个游戏是否公平，只要看游戏双方震助机单是号相同，如果相同，那么这个游戏就公平：如 果不相同，那么这个游戏就不公平，要使它变得公平，就要修改游戏规则， O1固基础 知识点2修改游戏规则，使游戏公平 4.某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球 知识点1判断游戏是香公平 有5个，其余为黑球.从袋中任意摸出1个 1.(教材变式)甲、乙两人各掷一枚质地均匀的 球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获 骰子，如果向上一面点数之积为偶数，甲得1 胜.为使游戏对甲、乙双方公平，丙放人x个 分：如果向上一面点数之积为奇数，乙得1 黑球，则x为 分.此游戏 ( A.3 B.4 C.1 D.2 A.是公平的 B.对乙有利 5.小明和爸爸玩扑克牌游戏，如下图所示的是 C.对甲有利 D.以上都不对 同一副扑克牌中的3张扑克牌的正面.将它 2.甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，约定只 们正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中任 玩一局.下面描述错误的是 意抽出1张，记下牌面上的数字后仍背面朝 A.甲、乙获胜的概率均低于0.5 上放回洗匀，爸爸再从中任意抽出1张，记 B.甲、乙获胜的概率相同 下牌面上的数字， C.甲、乙获胜的概率均高于0.5 (1)请你用画树状图或列表的方法，求抽取 D.游戏公平 的2张牌面上的数字之和为10的概率 3.小冰和小雪一起做游戏，游戏规则如下：甲 (2)小明与爸爸约定的游戏规则如下：若这 口袋装有编号为1,2的两个球，乙口袋装有 两数字之和小于10，则爸爸赢：否则，小明 编号为1,2,3,4,5的五个球，两口袋中的球 赢.你认为这个游戏规则公平吗？请说明理 除编号外都相同.小冰先从甲口袋中随机摸 由.如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏 出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个 公平 球.若两球编号之和为奇数，则小冰获胜：若 两球编号之和为偶数，则小雪获胜 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏 对双方是否公平 数学九年级BS版 …… 02提能力 6.小明与小刚一起玩抛掷硬币的游戏，游戏规 则如下：同时抛掷两枚硬币，若抛出两个正 面，则小明赢1分；若抛出其他结果，则小刚 赢1分.谁先得到12分，谁就获胜.这是个 不公平的游戏，要把它修改成公平的游戏。 下列做法错误的是 () A.把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面” …O3拓思维 B.把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面” C.把“小明羸1分”改为“小明赢3分” 9.某校4个社团的情况（每人限参加1个社 D.把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分” 团)如下：合唱团有36人，民乐队有30人， 7.冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个 足球队有22人，篮球队有12人： 两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写 (1)若从4个社团里随机抽取一名学生，则 有9.游戏规则如下：两人各持一个筹码同时 抽到民乐队学生的概率是 掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜：如果掷出 (2)若篮球队要招收一个新成员，小王、小李 一个8和一个9，冰冰获胜.你认为这个游戏 都想参加，决定采取抛掷一枚各面分别标有 (填“公平”或“不公平”). 数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确 8.学校准备选派25名志愿者参加社会服务工 定，具体规则如下：每人各抛掷一次，若小王 作，其中男生15人，女生10人. 掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面 (1)若从这25人中通过抽签选取1人作为 的数字小，这次机会给小王，否则给小李.试 联络员，求选到女生的概率。 用列表或画树状图的方法分析，这个规则对 (2)若要在甲和乙中选1人参加，他俩以游 双方是否公平 戏方式决定谁参加.规则如下：将4张点数 分别为2,3,4,5的扑克牌洗匀后，背面朝上 放于桌面，从中任取2张.若点数之和为合 数，则甲得1分：否则，乙得1分.谁先得到 10分谁参加.这个游戏公平吗？请说明 理由. 上册第三章 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 要点提示 转盘中概率的求法：一薇地，转盘被平均分成若千个扁形，指针指向各区城的概率都相等，若不是平均分的，可用 各压城的面积与整个转盘的面梨的比值来求概率， O1固基础 这两个转盘做“配紫色”游戏：同时转动两个 转盘，若一个转盘指针所指的颜色为红色， 知识点转盘中的概率 另一个转盘指针所指的颜色为蓝色，即可配 1.用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（规 定红色和蓝色可配成紫色)，每个转盘都被分 成紫色.能配成紫色的概率是 成面积相等的三个扇形，配成紫色的概率是 5.(教材变式)用如下图所示的两个转盘进行 “配紫色”游戏，每个转盘都被分成若干个面 B 2 积相等的扇形.求配得紫色的概率（红色和 蓝色可配成紫色) c号 D. 2 B A盘 B盘 第1题用 第2题园 2.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游 戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红 色，另一个转出蓝色，即可配成紫色.可配成 紫色的概率为 ( ) A号 B号 c n号 3.如图所示的是两个可自由转动的转盘，每个 转盘被分成面积相等的几个扇形.分别转动 这两个转盘，若其中一个转出红色，另一个 ◆易错点忽视了转盘分割是否均等 转出蓝色，即可配成紫色.可配成紫色的概 6.如图所示的是两个可以自由转动的转盘， 每个转盘被分割成两部分，转动两个转 率是 盘，指针所指区域内的数字之和为4的概 虹 率是 第3题围 第4题围 120 2 4.如图所示的两个转盘分别被分成了4等份 和3等份，每份内标有颜色.小明和小华用 第6题图 数学九年级BS版 02提能力 7.某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘 分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇 形上都标有数字.当满足抽奖条件的某个客 户同时自由转动两个转盘，则转盘停止后， 指针都落在偶数上的概率是 ( A哥 B. c号 D.2 转盘A 转盘B 第7题围 第8题图 8.用图中两个可自由转动的转盘（分别进行三 03拓思维◆ 等分和四等分)做“配紫色”游戏：分别转动 10.已知一个布袋里装有3个红球、2个蓝球， 两个转盘，如果转盘A转出红色，转盘B转 这些球除颜色外都相同，把它们充分搅匀 出蓝色，即可配成紫色.可配成紫色的概率 (1)“从中任意摸出1个球，不是红球就是 蓝球”是 事件：“从中任意摸 为 出1个球是黑球”是 事件 9.如下图所示的是三个可以自由转动的转盘， (填“必然”“随机”或“不可能”) 每个转盘被分成面积相等的几个扇形.小强 (2)从中任意摸出1个球，恰好是红球的概 和小亮用转盘A和转盘B做“配紫色”游 率是 戏：同时转动两个转盘，若其中一个转出红 (3)甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则 色，另一个转出蓝色，即可配成紫色，则小强 如下：从布袋中任意摸出2个球，已知一红 获胜；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮 一蓝可配成紫色，若“配紫色”成功，则乙获 获胜；在其他情况下，小强和小亮不分胜负. 胜；否则，甲获胜.你认为这个游戏公平吗？ 请用列表法或画树状图法加以说明. 转是A 转盘B 转盘C (1)用画树状图或列表的方法表示此游戏所 有可能出现的结果 (2)小强认为此游戏不公平，请你帮他说明 理由。 (3)请你在转盘C的空白处填上适当颜色， 使得用转盘C替换转盘B后，游戏对小强和 小亮是公平的（不要求说明理由，只需给出 一种结果). 上册第三章