第二章 4 用因式分解法求解一元二次方程-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

4 用因式分解法求解一元二次方程 要点提示 因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可使这两个一次图式分 别等于0，即若(x十a)(x十)=0，则必有x十a一0或x十b一0，进而求得方程的解.这种解一元二次方程的方法 称为因式分解注。 用因式分解法求解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边化为0：(2)将方程的左边分解为两个一次因式的 乘积：(3)令每个图式分别等于0，得到两个一元一次方程：(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解， O1因基础念 ④公式法.请认真观察下列几个方程，选择 最为适当的方法（填序号）. 知识点1用因式分解法求解一元二次方程 (1)x2-3x十1=0，选择方法 最合适. 1.(2025吉安遂川期末)一元二次方程x2一2x (2)(x-1)2=3,选择方法 最合适. =0的解是 (3)x2一3x=0,选择方法 最合适. A.x1=-2,x2=2 B.x1=0,x2=2 (4)x2一2x=4,选择方法 最合适. C.x1=-2,x2=0 D.x1=x2=2 7.(2024一2025抚州临川区月考)解下列方程： 2.方程x2一49=x十7的根是 (1)(2x-3)2=9(x+2) Ax=-7 B.x1=-7,x2=8 C.x=8 D.x1=7,x2=-8 3.用因式分解法解下列方程，其中正确的是 (2)x2-6x=1. ( A.x(x十2)=0，所以x+2=0 B.(x一3)(x-4)=3X4,所以x一3=3或x -4=4 C.(2x-2)(3x-4)=0,所以2x-2=0或 易错点解方程时，方程两边同时除以含 3x-4=0 有未知数的代数式导致失根 D.(3x-4)(2x-1)=1,所以3x-4=1或 8.王华同学解一元二次方程3x(x一1) 2x-1=1 2(x一1)的过程如下： 4.一元二次方程3(x一7)2=2(x一7)的解是 3x-D-2x-10.即3x=2-号 请判断其解题过程是否正确.若不正确， 5.如果一元二次方程x(x一6)=3(x一6)的两 请写出正确的解题过程。 个根是等腰三角形的两条边的长，那么这个 等腰三角形的周长为 知识点2用合适的方法求解一元二次方程 6.我们已经学习了一元二次方程的四种解法： ①因式分解法：②直接开平方法：③配方法； 上册第二弹 02提能力 14.(2024一2025南京期中)若关于x的方程 a(x-m)2-2a(x一m)=0有实数根x1, 9.已知一元二次方程的两根分别为x1=3,x2 x2,且x1<1<x2,求m的取值范围. =一4，则这个方程可能是 () A.(x-3)(x+4)=0B.(x十3)(x-4)=0 C.(x十3)(x十4)=0D.(x-3)(x-4)=0 10.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰 好是方程x2一3x=4(x一3)的两个实数 根，则该直角三角形斜边上的中线长为 15.新定义题对于实数m,n,先定义一种运算 A.3B.4 C.6 D号 “⑧”如下：m⑧雅= m2十m十n,m≥n, 若 n2十m十n,m<n. 11.设一元二次方程x2十5x=0的较大的根为 x⑧（一2）=10，求实数x的值 m,x2-3x十2=0的较小的根为n,则m十n 的值为 12.已知x=1是关于x的一元二次方程(1一k)x 十x一1=0的根，则k的值为 13.用适当的方法解下列方程： (1)x(x-7)=8(7-x). …03拓思维心…… 16.方程1、方程2、方程3、…是按照一定的 (2)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8. 规律排列的一列方程。 序号 方程 方程的解 1 x2+2x-3=0 31=1 xa=一3 2 x2十4x-12=0 x1=2 x3=一6 3 x2+6x-27=0 x1=■ (3)√3x2=6x-√5. x1 (1)请把表格补充完整。 (2)用你探究的规律解方程x2十8x一48 =0. 数学九年级BS版1±1+12_1士13 6 6 西-1+ 6 3,61-13 6 第2课时 公式法的应用 1.A2.0.25 3.解：设自行车车糊的宽为xm,则长为(38一2x)m. (1)根据题意可列方程x(38一2x)=180, 解得x1=10,x1=9. 当x=10时，38-2x=18: 当x=9时，38-2x=20,而墙长为19m,不符合题意， 舍去 故若围成的自行车车糊的面积为180m,自行车车棚 的长和宽分别为18m,10m. (2)不能.理由：根据题意，得x(38一2x)=200, 整理，得x2-19x十100=0 △=方-4ac=361-400=-39<0, ,此方程没有实数根 故不能围成面积为200m的自行车车得. 4.B5.B6.4-23 7.解：设DG的长是xm,则CG=2DG=2xm,AD= 3(42-3x)=(14-x)m. 依题意，得3x·(14-x)-2xX1=100, 整理，得3x2-40x十100=0， 解得-10 x=10(不符合题意，舍去). 放DG的长是m 8.解：(1)不符合，理由：设小路的宽度均为xm 根据题意，得(16-2)12-2)-号×12×16， 解得x1=2,x=12(不符合题意，舍去)， ∴，x=2,即小路的宽度应该均为2m 故小芳的方案不符合条件。 (2)示例： 16m 如图，取上边长的中点作为三角形的顶点，下边长的 两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积 等于矩形面积的一半， 4用因式分解法求解 一元二次方程 1.B2.B3C45=7,4-5.15 6.(1)④(2)②(3)①(4)③ 7.解：(1)原方程可变形为(2x-3)2-9(x十2)°=0， ,.[(2x-3)+3(x+2)][(2x-3)-3(x+2)]=0, 即(5x+3)(-x-9)=0, ∴.5x+3=0或-x-9=0, 176 数学九年级B$版 三西=二9 (2)配方，得x-6x+9=1十9， 即(x-3)2=10, .x-3=士√10， ,.x1=3+/10,x8=3-/10. 8.解：不正确.正确的解题过程如下： 3x(x一1)=2(x-1),移项，得3x(x-1)一2(x一1)= 0,因式分解，得(3x-2)(x-1)=0, 2 3x-2=0或x-1=0,=3西=1 9.A10.D11.112.0 13.解：(1)原式可变形为x(x-7)-8(7-x)=0, .x(x-7)+8(x-7)=0, ,(x-7)(x十8)=0， 解得x1=7,xa=一8. (2)整理，得x2+2x-3=0, 配方，得(x+1)2=4, 两边开平方，得x十1=士2， 解得x1=1,x2=-3. (3)移项，得3x-6x=-√5， 两边同除以3，得x2一2,3x=-1, 配方，得x2-25x+(W3)2=-1+(3),即(x 5)2=2, 两边开平方，得x一√3=士√2， 解得x1=√3+区，x=√-2. 14.解：a(x-m)2-2a(xm)=0, .a(x-m)(x-m-2)=0. :<1< =m,x=m+2, ∴.m<1,m+2>1, 解得一1<m<1. 15.解：分两种情况讨论：当x≥一2时， x@(-2)=10, .x2+x-2=10,即x2+x-12=0, .(x+4)(x-3)=0, .x+4=0或x-3=0, 解得1=-4（舍去），x=3: 当x<-2时，x☒(-2)=10， .(-2)+x-2=10,解得x=8(舍去). 综上所述，实数x的值为3. 16.解：(1)3-9x2+2m.x-3m2=0m-3m (2)由(1)可知，x十8x-48=0为方程4， .方程的解为x1=4,=一12， ·5一元二次方程的根与系数的关系 1.C25314B5.m>号 6.御：”x1十x=3,马1x=k, ·x+2名+2x-x1x十2（名1+x2)一k+6=1, ∴，k=-5. 7.D8.D9.610.1