第二章 3 用公式法求解一元二次方程-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

3 用公式法求解一元二次方程 第1课时用公式法求解一元二次方程 要点提示 元二次方程的求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2十x十c=0(a≠0)，当6-4ac≥0时，它的根是x= -吐B一延，这个式子称为一元二次方程的本根公式： 2a 公式法：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法，用公式法解一元二次方程的一般步碟是(1D把方程化为 一皎形式，确定a,b,c的值：(2)卓出6-4ac的位；(3)若6-4ac≥0，则起a,b,c及b一4ac的位代入求根公式， 求出五，x:若6一4ac<0,则方程没有实鼓极. 一元二次方程的根的判别式：一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的根的桥况可由一4ac来判定.或们把b一 4ac叫做一元二次方程ax十bx十c=0(a≠0)的极的制耕式，通常用希腊字母“△”来表示，当△>0时，方程有两个 不相号的实数核：当△=0时，方程有两个相等的实数根：当△<0时，方程线有实数报，反之亦成立， 。。。。。4 O1固基础 4。。。。。。 知识点3一元二次方程的根的判别式 4.(2024一2025抚州临川区月考)一元二次方 知识点①一元二次方程的求根公式 程x2十2x十2=0根的情况是 ) 1.方程3x2-3x=1与求根公式中相对应的a, A.没有实数根 b,c的值分别是 ( B.有两个不相等的实数根 A.3,-3,1 B.3,-3,-1 C.有两个相等的实数根 C.3,3,-1 D.3,3,1 D.不能确定 2.根是工=3±84X2X的一元二次方 5.(2024上海)以下一元二次方程有两个相等 2×2 实数根的是 () 程是 ( A.x2-6x=0 B.x2-9=0 A.2x2+3x+1=0B.2x2-3x+1=0 C.x2-6x+6=0 D.x2-6x+9=0 C.2x2+3x-1=0D.2x2-3x-1=0 6.已知关于x的一元二次方程ax一bx+c=0 知识点2用公式法解一元二次方程 3.用公式法椰下列方程： a≠0)的-个根-是，且形-4ac=0,则 (1)3x2-4x-1=0. 此方程的另一个根2= ●易错点利用根的判别式时，忽视a≠0 而致错 7.若关于x的一元二次方程（一1）x2+x+ 1=0有实数根，求。的取值范围. (2)2x2-6x-32=0. 上册第二章 ……02提能力 (2)在(1)的条件下，若m=2,求解这个 方程. 8.关于x的一元二次方程x2十mx-m一2-0 的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数由m的值确定 9,小刚在解关于x的方程ax2十bx十c一0(a≠ 0)时，只写对了a=1,b=4,解出其中一个根 是x■一1.他核对时发现所写的c比原方程 的c的值小2，则原方程的c= ,原 03拓思维念 方程的根的情况是 13.(2024一2025吉安月考)定义：如果关于x 10.若关于x的一元二次方程(a十1)x2十bx十 的方程a1x2十bx十c1=0(a1≠0，a1,b,c1 1=0有两个相等的实数根，则代数式8a 是常数)与a2x2十b2x十c2=0(a2≠0，a4, 2b+6的值是 b2,c2是常数)，其中方程中的二次项系数、 11.用公式法解下列方程： 一次项系数、常数项分别满足a1十a2=0, (1)x2+2√5x=4. b一b,G十2=0，则称这两个方程互为“对 称方程”.例如：方程2x2一3x十1=0的“对 称方程”是一2x2一3x一1=0.请根据上述 内容，解决以下问题： (1)写出方程x2一4x十3=0的“对称方 程”： (2)若关于x的方程3x2十(m-1)x-n=0 与一3x2一x=一1互为“对称方程”， (2)(x-4)(x-2)+1=0. ①m= 见三 @求方程3x2+(m-1)x一n=0的解. 12.已知关于x的一元二次方程为mx2-nx十 1=0. (1)当n=m十2时，不解方程，判断方程根 的情况. 数学九年级BS版 第2课时公式法的应用 要点提示 面积问题：解决面积问题可应用“号积变形”，即把不规别图形转化为规划图形，或把分散的图形通过平移使之成 为一个图形，这样便于求解。 等 小路 出的 图L 图② 题 知图，矩形地面的长为4，宽为，修筑同样宽的小路（阴影部分），余下部分种上草坪，别Sm①单开=5®平”一 (a-x)(b-x),Sao=(a-2z)(b-x) 边 如右图，矩形的长为a,宽为b,四周镶一条宽为x的花边（月彩那分），则S=(a十2x)(b +2x)-ab 图① 图② 图④ 问 知图，有长为m的程杆，利用它和一面墙国成一个或几个矩形场地.设矩形场地垂直于墙的一边长为主，面 积为S,则Sa0=x(m-2x,Sm8=x(m-3x,50=x,m,2江，5n0=x(m十-2x） 2 ◆O1固基础心 用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m),另 外三边利用学校现有总长38的铁栏杆 知识点公式法的应用 围成。 1.(2024一2025海口期中)如图，在宽为20m、 (1)若围成的自行车车糊的面积为180m2, 长为34m的矩形地面上修筑同样宽的道路 试求出自行车车棚的长和宽。 (图中阴影部分)，余下的部分种上草坪.要 (2)能围成面积为200m2的自行车车棚吗？ 使草坪的面积为540m2,则道路的宽为 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说 明理由. A.2m B.2m或35m 19m C.1m D.1m或35m 第1题图 第2题图 2.如图所示，小明家有一块长为1.5m、宽为 1m的矩形地毯.为了使地毯美观，小明请来 工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地 毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2 倍，则花色地毯的宽为 m. 3.(教材变式)如下图所示，学校准备在教学楼 后面搭建一个简易矩形自行车车棚.一边利 上册第二黄 02提能力 的水池.已知CG=2DG,劳动实践基地的总 面积（不包含水池）为100m2,则DG的长是 4.有一个长、宽分别为20m和12m的矩形水 多少？ 池ABCD,某旅游景点要在水池中建一个与 矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连接 观赏亭的四条道路.如图所示，道路的宽度 相等，其中两条与AB平行，另两条与BC平 行，已知道路的宽为正方形观赏亭边长的 票若道路与观资亭的面积之和是原矩形水 池面积的，则道路的宽为 03拓思维 A.0.8m B.1m 8.在一块长16m、宽12m的矩形荒地上建造 C.1.2m D.0.8m或1.2m 一座花园，要求花园面积是矩形荒地面积的 半.下面分别是小华与小芳的设计方案， 如图①，矩形荒地写 如图②，其中花 个角均为两直角速 国四网小路的 第4题图 第5题周 长分对是6m,8m 的直角三第形. 宽度均为1m. 5.(2024一2025海安月考)如图，将边长为2cm 小芳 -16m -16m 的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把 12 △ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'. 若两个三角形重叠部分的面积为1cm2,则 图① 围② 它移动的距离AA'为 (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但 A.0.5 cm B.1 cm C.1.5 cm D.2 cm 对小芳的方案是否符合条件有不同意见.你 6.如图，正方形被分割成四部 N 认为小芳的方案符合条件吗？请用方程的 分，其中虹、为正方形，Ⅲ、V为 知识说明理由. 长方形，I、I的面积之和等于 (2)你还有其他的设计方案吗？请画出你所 Ⅲ、V的面积之和的2倍.若缸 设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以 的边长为2，且I的面积小于Ⅱ 第6题围 说明 的面积，则I的边长为 7.光明中学准各在校园 H I区 E 里利用围墙（墙长 Ⅱ区 15m)和42m长的篱 笆围建劳动实践基地.该校某数学兴避小组 设计了如下的围建方案（除围墙和水池边EF 外，实线部分均为筒笆，且不浪费篱笆)：如上 图，利用围墙和篱笆围成I区、Ⅱ区两块矩形劳 动实践基地，且在区中留一个宽度EH-1m 数学九年级S版-1+,=1上 3 3 16解：0①-是号 2将m-是代入(x+m)-是，得(x-)】》 两边开平方，得一多-土号。 -2 “6-3+Ex=3-2 24= 2 17.解：(1)532-12 (2)原方程可变形为[(x十2)-4][(x+2)十4]=4， ∴.(x+2)°-4=4，.(x+2)=4+4°，.(x+2)= 20,两边开平方，得x+2=士25，∴x1=-2+25, x:=-2-25. 第2课时用配方法求解二次项 系数不为1的一元二次方程 1.A2D号(2②元3.D 4.解：x-y=4a2-12ab+96-(8a-12b-4)=(2a- 36)3-4(2a-3b)+4=[(2a-36)-2]2. [(2a-3b)-2]2≥0，x2y. 1 5.D6.A7.3或2 8.解：(1)移项，得4x2-7x=-2, 两边同除以4，得-子x=一是 起方，得子x+(）=(）》 即(--品 8 -+厘，-1=厘 8 8 (2)方程变形为2x2+x=4, 两边同除以2，得2十2x=2, 配方，得2+号+品-2+器 即(+》”-器 两边开平方，得x+}=士丽 4 4 解得五-3一1。 4,=-y33+1 4 3用公式法求解一元二次方程 第1课时用公式法求解 一元二次方程 1.B2.A 3.解：(1)这里a=3,b=-4,c=-1. :A=6-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0, x=-6±yB-4延-4±27-2±反 2a 6 3 即-2+2 3 (2)这里a=√2，b=-6,c=-32. △=8-4ac=36-4×2×(-3√2)=60>0， x=-b生B-4ae=6±6 2a 22 即=3V2+30 2 2,x=3v2-30 2 4A5.D6司 7.解：由题意，得△≥0，且-1≠0. ,该-元二次方程中的a=是-1，b=1,c-1, .△=1-4（克-1）×1=5-4k≥0， 解得≤子 k-1≠0，.≠1. 放表的取值范困是≤且1. 8.A9.5没有实数根10.一2 11.解：(1)原方程可化为x2十25x一4=0，这里2=1，b =25,c=-4. :△=6-4ae=(25)2-4×1×(-4)=36>0, x=-b±-4c=-25±36--25±6 2a 2 2 =-5±3，即五1=-5+3，x=-√5-3. (2)原方程可化为x2一6x十9=0，这里a=1,b=-6, c=9. ,△=b2-4ac=(-6)2-4X1×9=0, x-生证-号-8 2a 即新=经=3. 12解：(1)把n=m+2代入方程，得mx2-(m十2)x+1 =0. ,△=[-(m+2)]3-4m=m+4m十4-4m=m2+4 >0, .方程有两个不相等的实数根 (2)当m=2时，方程为2x-4x十1=0， 这里=2，b=-4,c=1. :△=6-4ac=(-4)*-4×2×1=8>0, x4土⑧ 2X2 2=22 即1=2+2 21 13.解：(1)-x°-4x-3=0 (2)①01 @将m=0,n=1代入3x2+(m-1)x-n=0,得3x 一x-1=0, x=-b吐6-4延-1±-D-4X3x(-D 2a 2×3 175 上册参考客案 $$\frac { 1 \pm \sqrt { 1 + 1 2 } } { 6 } = \frac { 1 \pm \sqrt { 1 3 } } { 6 } ，$$ $$\therefore x _ { 1 } - \frac { 1 + \sqrt { 1 3 } } { 6 } ， x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 1 3 } } { 6 }$$ 第2课时公式法的应用 1.A 2.0.25 3.解：设自行车车棚的宽为 xm， ，则长为 (38-2x)m， (1)根据题意可列方程 x(38-2x)=180， 解得 $$x _ { 1 } = 1 0 ， x _ { 2 } = 9 .$$ 当 x=10 时 ，38-2x=18； 当 x=9 时， 38-2x=20， 而墙长为 19m， ，不符合题意， 舍去. 故若围成的自行车车棚的面积为 $$1 8 0 m ^ { 2 }$$ ，自行车车棚 的长和宽分别为 18m，10m. (2)不能.理由：根据题意，得 x(38-2x)=200， 整理，得 $$x ^ { 2 } - 1 9 x + 1 0 0 = 0$$ $$\because \triangle = b ^ { 2 } - 4 a c = 3 6 1 - 4 0 0 = - 3 9 < 0 ，$$ ∴ 此方程没有实数根， 故不能围成面积为 $$2 0 0 m ^ { 2 }$$ 的自行车车棚 $$4 . B \quad 5 . B \quad 6 . 4 - 2 \sqrt 3$$ 7.解：设 DG 的长是xm，则 CG=2DG=2xm，AD= $$\frac { 1 } { 3 } \left( 4 2 - 3 x \right) = \left( 1 4 - x \right) m .$$ 依题意，得 3x⋅(14-x)-2x×1=100， 整理，得 $$3 x ^ { 2 } - 4 0 x + 1 0 0 = 0 ，$$ 解得 $$x _ { 1 } = \frac { 1 0 } { 3 } ， x _ { 2 } = 1 0$$ (不符合题意，舍去). 故DG的长是 $$\frac { 1 0 } { 3 } m .$$ 8.解：(1)不符合.理由：设小路的宽度均为xm. 根据题意，得 $$\left( 1 6 - 2 x \right) \left( 1 2 - 2 x \right) = \frac { 1 } { 2 } \times 1 2 \times 1 6 ，$$ 解得 $$x _ { 1 } = 2 ， x _ { 8 } = 1 2$$ (不符合题意，舍去)， ∴x=2， ，即小路的宽度应该均为 2m. 故小芳的方案不符合条件. (2)示例： 16m 12m 如图，取上边长的中点作为三角形的顶点，下边长的 两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积 等于矩形面积的一半， 4 用因式分解法求解 一元二次方程 $$1 . B \quad 2 . B \quad 3 . C 4 . x _ { 1 } = 7 ， x _ { 2 } = \frac { 2 3 } { 3 }$$ $$\frac { 3 } { 4 } ；$$ 5.15 6.(1)④(2)②(3) (4)③ 7.解；(1)原方程可变形为 $$\left( 2 x - 3 \right) ^ { 2 } - 9 \left( x + 2 \right) ^ { 2 } = 0 ，$$ [(2x-3)+3(x+2) [(2x-3)-3(x+2)]=0， 即 (5x+3)(-x-9)=0， ∴5x+3=0 或 -x-9=0， 176 数学九年级BS版 函=-号=- (2)配方，得x2-6x+9=1+9, 即(x-3)=10, x-3=士10， ,∴.x1=3+√/10，x2=3-10. 8.解：不正确.正确的解题过程如下： 3x(x-1)=2(x-1),移项，得3x(x-1)-2(x-1)= 0,因式分解，得(3x-2)(x-1)=0, 2 六3x-2=0或x-1=0,名=3，西=1 9.A10.D11,112.0 13.解：(1)原式可变形为x(x一7)-8(7一x)=0, ,.x(x-7)+8(x-7)=0, .(x-7)(x十8)=0， 解得1=7，=一8. (2)整理，得x+2x-3=0, 配方，得(x十1)=4， 两边开平方，得x十1=士2， 解得x1=1,=一3. (3)移项，得√3x2一6x=-3, 两边同除以√3，得x2-2√3x=一1， 配方，得x-23x十(3)=一1十(3)，即(x 5)=2, 两边开平方，得x一√3=士√， 解得x1=3+2,=3-√2. 14.解：a(x-m)2-2a(x-m)=0, ,.a(x-m)(x一m一2)=0. <1<x, .名=m,x=m+2, .m1,m十2>1， 解得一1<m<1. 15.解：分两种情况讨论：当x≥一2时， x8(-2)=10, x2十x-2-10,即x2十x-12=0, .(x+4)(x-3)=0, x+4=0或x-3=0, 解得x1=一4（舍去），x=3: 当x<-2时，：x8(-2)=10, (-2)2+x一2=10，解得x=8(舍去). 综上所述，实数x的值为3. 16.解：(1)3-9x2十2nx-3m2=0m一3m (2)由(1)可知，x2+8x一48=0为方程4， 方程的解为x1=4,x。=一12. 5一元二次方程的根与系数的关系 1.02.53.14B5.m>号 6.解：，x1十x=3,a=k, x4+2+2x=x1x:十2(x十)=k十6=1， .k=-5, 7.D8.D9.610.1