第二章 1 认识一元二次方程-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

(AB=DC, 在△ABM和△DCM中，∠1=∠2， BM-CM, ,∴.△ABM≌△DCM(SAS). ∠A=∠D. 又.AB∥CD ∴.∠A+∠D=180°，.∠A=∠D=90°， ∴.□ABCD为矩形 10.证明：(1)在△AOB和△DOC中， ∠ABO=∠DCO, OB-OC, ∠AOB=∠DOC, ,∴.△AOB2△DOC(ASA),.OA=OD :E,F分别为AO,DO的中点， 0E=名A0,0F=D0.0E=0E (2)在Rt△AB0中，∠A=30°， B0-7A0,∠B0A=60 ,BO=EO,,,△BOE为等边三角形， .∠OBE=60°，同理△COF为等边三角形，∠B0 =60° 又OE=OF,∴.BO=OF=BE=CF :∠OBE=∠BCF, .BE∥CF,四边形BECF是平行四边形 :OB=OF,∠BOE=60°， .∠OBF=∠OFB=30°， ,,∠EBF=∠OBE+∠OBF=90° ,四边形BECF为矩形 11.A12.B13.614.C15.1616.2-1 17.解：(1)①DBC⊥CF②BC=CD+CF (2)BC⊥CF成立；BC=CD十CF不成立，正确结 为CD=CF+BC 证明：，四边形ADEF为正方形， .AD=AF,∠DAF=90 :∠DAF-∠BAD+∠BAF=90°，∠BAC=∠CA +∠BAF=90°， ∠BAD=∠CAF (AB-AC. 在△DAB与△FAC中，∠BAD=∠CAF, AD=AF, .△DAB≌△FAC(SAS), ,·∠ABD=∠ACF,BD=CF ,∠BAC-90°，AB=AC, ,∴.∠ACB=∠ABC=45, .∠ACF=∠ABD=180°-∠ABC=180°-4 =135, .∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°， ,BC⊥CF :CD=BD+BC,BD=CF, .CD=CF+BC. 174 数学九年级BS版 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 1.B2.C3.5x2-x-3=04.C 5.(32-x)(20-x)=5406.D7.a≠18.-2 9.x2+(x+2)2+(x+4)F=251 10.解：根据一元二次方程的定义可知，m一4≠0，解得 m≠士2，故当m≠士2时，这个方程是一元二次 方程， 第2课时一元二次方程的 解及其估算 1.A2.A3.20244.20245.C6.D7.C 8.-4.39.x1=-4,x2=-110.2 11.解：(1)4 （2由题意，得受=3，m=6 把x=2代入x2-mx十n=0,得2-6×2十n=0,解 得n=8,.mn=6X8=48. 2用配方法求解一元二次方程 第1课时直接开平方法与用配方法 求解二次项系数为1的一元二次方程 1.A2.D3.x=2,x=0 4.解：(1)移项，得(x+1)=36, 两边开平方，得x十1=士6， …=5,=-7. (2)整理为一般式，得x一2=0， 移项，得x=2, 两边开平方，得x=士√区， ∴=W2,x=一2 5.A6.B7.x1=x=38.11 9.解：移项，得-x=1,配方，得-x+}=1+ 子即(x-2)》”- 两边开平方，得一音-士停“五-5，云 =1-6 2 (2)移项，得x2-6x■7，配方，得x一6x十9=7十9， 即(x-3)°=16， 两边开平方，得x一3=士4，.x1=7,x=一1. 10.②11.B12.C13.C14.2 15.解：(1)两边开平方，得3x十4=4x十3或3x十4= 一(4x+3), 解得x1-1,x:=一1. 2移项，得2-号-1 配方，得-号+号1+ (》”-9 两边开平方，得x一}士四 3第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 要点提示 一元二次方程的概念：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2十bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二使古程 一元二次方程的一般形式：a2十bx十c-0(a,b,c为常数，a≠0)，其中ax叫做二必项，a叫做二汝项藥数，bx 叫做一染项，b叫做一使项華敲，C网做常鼓项. O1基础 ◆02提能力 知识点1一元二次方程的概念 6.(2024一2025新余月考)关于x的一元二次 1.(2024一2025抚州临川区月考)下列关于x 方程(4-a)x十a2x=16.x十1化为一般形 的方程中，一定是一元二次方程的是( 式后不含一次项，则a的值为 () A.x2+2xy+y2=0B.x2-2x+3=0 A.0 B.士4C.4 D.-4 C.x2-1=0 7.若关于x的方程(a-1)x2十4x-3=0是一 D.ax2+c=0 元二次方程，则a的取值范围是 知识点2一元二次方程的一般形式 2.关于x的一元二次方程2x2-7x=5的二次 8.若方程(m一2)xm2+3x=0是关于x的一 项、一次项、常数项分别为 元二次方程，则m的值为 A.7x,2x2,5 B.2x2,-7x,5 9.(教材变式)三个连续奇数的平方和为251，求 C.2x2,-7x,-5 D.2x2,7x,5 这三个数.若设最小的奇数为x,则可列方程为 3.把一元二次方程(3x+1)(2x-1)=x2十2 化成一般形式为 10.已知关于x的方程(m2-4)x2+(m十2)x 知识点3一元二次方程模型的建立 一5=0.当m为何值时，这个方程是一元二 4.某种商品原来每件售价为150元，经过连续 次方程？ 两次降价后，该种商品每件售价为96元，设 平均每次降价的百分率为x,根据题意，所列 方程正确的为 ( A.150(1-x)=96B.150(1-x)=96 C.150(1-x)2=96D.150(1-2x)=96 5.如图，在宽为20m、长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的 道路（图中阴影部分），余下 第5题图 部分种植草坪，要使草坪的面积为540m2, 设道路的宽为xm,则可列方程为 数学九年级BS版 第2课时一元二次方程的解及其估算 要点提示 一元二次方程的解：能够使一元二次方程而政相号的未如数的值，叫做一元二使方程的解， 元二次方程的近似解：能够使一元二次方程两边悬幸相等的未知数的值，叫做一元二次方程的近似解 O1固基础● ……念02提能力 知识点1一元二次方程的解 7.若x=1是关于x的一元二次方程ax8十bx 1.下面是一元二次方程x2十2x十1=0的解的 +5=0(a≠0)的解，则2025-a-b的值是 是 ( () A.x=-1B.x=1C.x=2D.x=0 A.2025B.2020 C.2030D.2035 2.已知x=2是一元二次方程x2十bx一c=0 8.根据下表可知，方程x2十2x-10=0的一个 的解，则-4b十2c= ( 近似解为x≈ (结果精确到 A.8 B.-8 C.4 D.-4 0.1). 3.(2024一2025邵阳期中)若a是方程x2-x -4.2 -4.3 一4.4 -4.5 一4.6… 一1=0的一个根，则a一a2-a十2024的值 x2+2x-10…-0.76-0.110.561.251.96 为 9.关于x的一元二次方程a(x十m)2十b=0 4.(2024-2025吉安月考)若m是方程x2-2x (a,b,m均为常数)的解是x=一2，x2=1, 一4=0的一个根，则代数式2032一2m2十 则关于x的一元二次方程a(x十m十2)2+b 4m的值为 =0的解是 知识点2估算一元二次方程的近似解 10.若x=m是方程2x2-3x-1=0的一个 5.(教材变式)根据一元二次方程x2十x十q 根，则5一6m2+9m的值为 =0可列表如下，则方程x2十px十q=0的 11.在一元二次方程x2-2ax十b=0中，若a2 一个根满足 ( 一b>0,则称a是该方程的中点值 0.9 1.1 1.2 (1)方程x2-8x+3=0的中点值是 1 x2+px+q -3.39 1-2 -0.590.84 (2)已知x2一m.x十n=0的中点值是3，其 A.根的整数部分是0，十分位是5 中一个根是2，求n的值. B.根的整数部分是0，十分位是8 C.根的整数部分是1，十分位是1 D.根的整数部分是1，十分位是2 》易错点忽视了一元二次方程中二次 项的系数不为0 6.已知关于x的一元二次方程(a一1)x2 2x十a2-1=0有一个根为x=0,则a的 值为 ( A.0B.±1C.1 D.-1 上册第二弹 21